曾超 毛一屹 吳驥宙 苑濤 戴漢寧? 陳宇翱

1) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院,合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家研究中心,合肥 230026)

2) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué),中國科學(xué)院量子信息與量子科技創(chuàng)新研究院,上海量子科學(xué)研究中心,上海 201315)

3) (合肥國家實(shí)驗(yàn)室,合肥 230088)

4) (南方科技大學(xué)物理系,深圳 518055)

對(duì)稱性在理解物質(zhì)的拓?fù)鋺B(tài)方面具有關(guān)鍵作用.過去人們認(rèn)為手征對(duì)稱性保證了一維晶格的量子化Zak 相位及其對(duì)應(yīng)的非平庸拓?fù)湎?本文展現(xiàn)了在一維手征對(duì)稱性破缺的情況下,晶格系統(tǒng)仍具有量子化Zak 相位和非平庸拓?fù)湎?具體而言,在超冷原子動(dòng)量晶格系統(tǒng)中有效地模擬了一個(gè)鏈長為26、手征對(duì)稱性破缺的Zigzag 模型,其中相等的次近鄰耦合強(qiáng)度能夠在保留空間反演對(duì)稱性的同時(shí)破壞手征對(duì)稱性.通過測量原子的時(shí)間平均波包位移來獲得系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?并得到了其對(duì)應(yīng)的量子化的Zak 相位.此外,還觀測到系統(tǒng)隨著最近鄰耦合強(qiáng)度比例的變化會(huì)從非平庸拓?fù)湎噢D(zhuǎn)變?yōu)槠接雇負(fù)湎?本文不僅為對(duì)稱性及拓?fù)湎嗟南嚓P(guān)研究提供了一個(gè)完全可控的平臺(tái),還可以通過控制格點(diǎn)間耦合強(qiáng)度和原子間相互作用,探索例如Tasaki,Aharonov-Bohm caging 模型中的平帶拓?fù)湟约耙胂嗷プ饔醚芯康姆蔷€性拓?fù)洮F(xiàn)象.

1 引言

二維電子氣體中的量子霍爾效應(yīng)引入了拓?fù)湎嗟母拍頪1,2],拓?fù)湎嗟男再|(zhì)由物質(zhì)的拓?fù)湫再|(zhì)決定.由于拓?fù)湎嘣谀蹜B(tài)物理學(xué)[3]中的重要性以及在量子計(jì)算[4]、拓?fù)浣^緣體[5]和其他材料科學(xué)領(lǐng)域[6]的潛在應(yīng)用,拓?fù)湎嘟陙韨涫荜P(guān)注.而拓?fù)漕惪梢愿鶕?jù)系統(tǒng)的維度和對(duì)稱性來區(qū)分[7],對(duì)稱性在拓?fù)湎喾诸惙矫嫫痍P(guān)鍵作用.因此,開展對(duì)稱性及拓?fù)湎嗟难芯坑兄诶斫馔負(fù)洳牧系男再|(zhì).在一維系統(tǒng)中,一般認(rèn)為非平庸拓?fù)湫允艿搅耸终鲗?duì)稱性的保護(hù)[7,8].例如,在具有手征對(duì)稱性的Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型中[9],不同平臺(tái)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)表明SSH 模型確實(shí)具有量子化Zak 相位[10]及對(duì)應(yīng)的非平庸拓?fù)湎郲11–13].特別地,在超冷原子系統(tǒng)中,人們利用光晶格模擬了SSH 模型并研究了模擬系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì),包括直接測量Zak相位[11],研究模型中受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)的魯棒性[14],以及探索周期驅(qū)動(dòng)的SSH 模型的拓?fù)湫再|(zhì)[15]等.此外,在引入相互作用后還可以研究多體局域化[16]和非線性效應(yīng)[17]等問題.

在SSH 模型中引入次近鄰耦合可以破壞其手征對(duì)稱性,對(duì)應(yīng)的模型也被稱為Zigzag 模型[18–20].在一般的Zigzag 模型中,唯一剩下的對(duì)稱性就是時(shí)間反演對(duì)稱性.根據(jù)Altland-Zirnbauer 分類[21,22],系統(tǒng)處于AI類,無對(duì)稱性保護(hù)的非平庸拓?fù)湎?通過設(shè)置次近鄰耦合強(qiáng)度相等,系統(tǒng)額外獲得了空間反演對(duì)稱性,此時(shí)系統(tǒng)具有對(duì)稱性保護(hù)的非平庸拓?fù)湎郲23].目前,人們僅在光子波導(dǎo)系統(tǒng)中對(duì)手征對(duì)稱性被破壞的一維系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究[24].而超冷原子系統(tǒng)具有精確可控與相互作用可調(diào)節(jié)的特性,是研究此問題的一個(gè)理想平臺(tái),同時(shí)也有助于開展相互作用引起的拓?fù)鋺B(tài)研究[25,26].

本文在一維超冷原子動(dòng)量晶格實(shí)驗(yàn)中,通過在SSH 模型中引入相等的次近鄰耦合,實(shí)現(xiàn)了鏈長為26 的手征對(duì)稱性破缺Zigzag 系統(tǒng).利用原子的連續(xù)演化過程測量時(shí)間平均波包位移以獲得系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?從而得到相應(yīng)的Zak 相位信息.同時(shí),通過調(diào)節(jié)最近鄰耦合強(qiáng)度的比例,系統(tǒng)被調(diào)制在不同的拓?fù)湮飸B(tài)中,通過時(shí)間平均波包位移的測量,觀測得到了系統(tǒng)由非平庸拓?fù)鋺B(tài)向平庸拓?fù)鋺B(tài)的轉(zhuǎn)變.本文為對(duì)稱性及拓?fù)湎嗟南嚓P(guān)研究提供了一個(gè)理想的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),可進(jìn)一步擴(kuò)展對(duì)平帶及非線性拓?fù)涞难芯?

本文第2 節(jié)是Zigzag 模型的對(duì)稱性、拓?fù)洳蛔兞考巴負(fù)鋺B(tài)相關(guān)理論;第3 節(jié)在實(shí)驗(yàn)上對(duì)Zigzag模型的拓?fù)洳蛔兞窟M(jìn)行測量,并對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)鋺B(tài)進(jìn)行分析;第4 節(jié)對(duì)超冷原子動(dòng)量晶格中對(duì)稱性及拓?fù)鋺B(tài)研究進(jìn)行總結(jié)與展望.

2 理論部分

圖1(a)為本文要實(shí)現(xiàn)的一維Zigzag 晶格模型,該模型由兩種格點(diǎn)組成,這里分別被標(biāo)記為A 和B.由于最近鄰耦合和次近鄰耦合的存在,粒子會(huì)在A 和B 之間、A 和A 之間以及B 和B 之間輸運(yùn).該系統(tǒng)的哈密頓量為

圖1 (a) 一維Zigzag 模型示意圖,格點(diǎn)之間的最近鄰耦合強(qiáng)度為 u1和u2,次近鄰耦合強(qiáng)度為 v1和v2 ;(b) Zigzag 模型的能帶分布圖;(c),(d)在系統(tǒng)不同的 u1/u2 情況下,Zigzag 模型的環(huán)繞數(shù)和Zak 相位的變化結(jié)果,參數(shù)為 v1=v2,v1/u2=0.4Fig.1.(a) Schematic diagram of a one-dimensional (1D) Zigzag model with nearest-neighbor coupling strengths u1 and u2 and next-nearest-neighbor coupling strengths v1 and v2 ;(b) band structure of the Zigzag model;(c),(d) variations of the winding number and Zak phase of the Zigzag model as a function of u1/u2,with parameters v1=v2 and v1/u2=0.4 .

其中,σ0是一個(gè)2 × 2 的單位矩陣,σ1,σ2和σ3是泡利矩陣.k為準(zhǔn)動(dòng)量,且-π ≤k≤π .可以求得系統(tǒng)能帶的能級(jí)色散關(guān)系:

圖1(b)為v1=v2,v1/u2=0.4且u1/u2=0.5的Zigzag 模型能帶圖.當(dāng)v1=v20時(shí),系統(tǒng)兩能帶的Zak 相位相等,此時(shí)Zak 相位γ和環(huán)繞數(shù)W滿足γ=πW.固定v1=v2,當(dāng)u1u2時(shí),系統(tǒng)的環(huán)繞數(shù)和Zak 相位均為0,系統(tǒng)處于平庸拓?fù)鋺B(tài),結(jié)果分別如圖1(c)和圖1(d)所示.

當(dāng)v1=v20時(shí),系統(tǒng)的手征對(duì)稱性被破壞,但系統(tǒng)仍然具備時(shí)間反演對(duì)稱性H?(-k)=H(k)和空間反演對(duì)稱性σ1H(-k)σ1=H(k) .根據(jù)具有空間反演對(duì)稱性的拓?fù)浞诸惐韀23]可知,AI 類且具有空間反演對(duì)稱性的系統(tǒng)存在非平庸拓?fù)湎?具體到本系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞慷?此時(shí)系統(tǒng)沒有σ3項(xiàng),系統(tǒng)在布洛赫球表征下被限定σ1-σ2平面繞轉(zhuǎn),因此系統(tǒng)的拓?fù)淇梢杂善鋸囊痪S動(dòng)量空間到布洛赫球面上的一維空間映射的繞轉(zhuǎn)數(shù)確定,其繞轉(zhuǎn)數(shù)結(jié)果對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的Zak 相位.

為了研究手征對(duì)稱性破缺系統(tǒng)的拓?fù)湫?可以用一個(gè)可觀測的物理量來探測此系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?這里定義一個(gè)物理量平均波包位移:

其中,an(t)和bn(t) 是模型中第n個(gè)晶胞中A,B格點(diǎn)的占據(jù)振幅.對(duì)于一個(gè)無限長的演化時(shí)間T,時(shí)間平均波包位移(time-averaged mean displacement,TAMD)為[24,27]

因此,只要實(shí)驗(yàn)上系統(tǒng)經(jīng)過足夠長時(shí)間的演化,就可以通過測量TAMD 獲得對(duì)應(yīng)的環(huán)繞數(shù)和Zak 相位.

3 實(shí)驗(yàn)部分

圖2(a)的上部分為實(shí)驗(yàn)上利用Bragg 過程實(shí)現(xiàn)一維動(dòng)量晶格的示意圖[28].本文使用數(shù)量約為6×104的87Rb 的玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate,BEC)原子,通過兩束波長λ 為1064 nm,波數(shù)k=2π/λ,頻率分別為ω+和的激光對(duì)向傳播并耦合出動(dòng)量晶格的一系列動(dòng)量態(tài),其中ω+是單頻激光,是多頻激光.圖2(a)的下部分為實(shí)驗(yàn)上利用時(shí)間飛行測量方法探測單格點(diǎn)的時(shí)間相關(guān)原子概率分布,通常選擇探測原子自由飛行24 ms 后的原子概率分布.

圖2 實(shí)現(xiàn)一維Zigzag 晶格(a)利用Bragg 過程實(shí)現(xiàn)一維動(dòng)量晶格(上部分)和通過時(shí)間飛行成像探測原子數(shù)分布(下部分);(b)動(dòng)量晶格中的原子色散曲線,分別利用一階和二階Bragg 躍遷耦合最近鄰和次近鄰格點(diǎn)Fig.2.Realization of 1D Zigzag lattice: (a) 1D momentum lattice realized using Bragg processes (upper part) and visualized via time-of-flight imaging (lower part);(b) atomic dispersion curve in the momentum lattice includes first-order and second-order Bragg transitions,which are used to couple the nearest-neighbor and next-nearest-neighbor lattice sites.

圖2(b)為動(dòng)量晶格中最近鄰和次近鄰格點(diǎn)的耦合機(jī)制[29],可以通過一階和二階雙光子Bragg躍遷過程實(shí)現(xiàn)格點(diǎn)間最近鄰耦合和次近鄰耦合的精準(zhǔn)調(diào)控.利用對(duì)打的兩束光耦合出一系列動(dòng)量態(tài)作為動(dòng)量晶格的格點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的動(dòng)量為pn=2n?k,反沖能量Er=?2k2/2mRb.對(duì)于最近鄰動(dòng)量態(tài)p=0 和2?k的耦合,需要一階Bragg 共振(圖2(b)中實(shí)心黑色箭頭w+和w0,1)使兩個(gè)激光場的光子能量差與具有動(dòng)量p=2?k的運(yùn)動(dòng)原子的附加動(dòng)能相匹配,動(dòng)量態(tài)p=2?k和p=4?k之間的耦合也類似.所以通過兩束具有合適頻率差的激光能耦合對(duì)應(yīng)的最近鄰動(dòng)量態(tài)pn和pn+1.而為了耦合次近鄰動(dòng)量態(tài),需要同時(shí)使用一階和二階Bragg 共振(圖2(b)中虛線紅色箭頭).對(duì)于次近鄰動(dòng)量態(tài)p0和pn=4?k的耦合,需要一階Bragg 共振(圖2(b)中虛線紅色箭頭w+和w0,1′)和二階Bragg 共振(圖2(b)中虛線紅色箭頭w0,1′和w1′,2)共同實(shí)現(xiàn),所以通過具有合適頻率差的激光能耦合對(duì)應(yīng)的次近鄰動(dòng)量態(tài)pn和pn+2.這里,?是單光子失諧量,而δ 是為了避免在次近鄰動(dòng)量態(tài)耦合過程中對(duì)最近鄰動(dòng)量態(tài)耦合產(chǎn)生影響設(shè)置的Bragg 雙光子躍遷過程失諧量.由于每個(gè)最近鄰或次近鄰耦合相關(guān)的動(dòng)量態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率都是獨(dú)立的,所以Zigzag 模型的耦合強(qiáng)度、格點(diǎn)能量和耦合相位都可以通過激光的功率、頻率和相位進(jìn)行單獨(dú)控制.

實(shí)驗(yàn)上構(gòu)建一個(gè)鏈長L=26 的Zigzag 系統(tǒng),通過引入強(qiáng)度為v1=v2=0.15 kHz 的次近鄰耦合,使得系統(tǒng)只有空間反演對(duì)稱性和時(shí)間反演對(duì)稱性.這里先對(duì)一種平庸拓?fù)鋺B(tài)的情況進(jìn)行觀測,此時(shí)系統(tǒng)最近鄰耦合強(qiáng)度為u1=0.7kHz,u2=0.35 kH,圖3(a)為對(duì)應(yīng)的原子在格點(diǎn)間的動(dòng)力學(xué)演化,演化時(shí)長為3.1?/u2,時(shí)間間隔為0.11?/u2,實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果和數(shù)值模擬結(jié)果在整個(gè)演化過程中都基本符合.根據(jù)原子的演化過程可得u1/u2=2時(shí)的TAMD,如圖3(b)所示,系統(tǒng)的TAMD 在短時(shí)間內(nèi)收斂至0 附近,且和數(shù)值模擬的收斂曲線基本符合.根據(jù)(5)式可知,對(duì)應(yīng)的環(huán)繞數(shù)W以及Zak 相位都為0,系統(tǒng)此時(shí)處于平庸拓?fù)湎?隨后也對(duì)一種非平庸拓?fù)鋺B(tài)的情況進(jìn)行觀測,此時(shí)系統(tǒng)最近鄰耦合強(qiáng)度u1=0.14kHz,u2=0.35 kHz,此條件下的原子在格點(diǎn)間的動(dòng)力學(xué)演化過程如圖3(c)所示,整個(gè)演化過程中實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果都一致.同樣如圖3(d)所示,當(dāng)u1/u2=0.4 時(shí)TAMD 收斂至–0.5 附近,此時(shí)W ≈-1 以及Zak相位為-π,系統(tǒng)處于非平庸拓?fù)湎?

圖3 時(shí)間平均波包位移的測量(a) u1/u2=2時(shí),系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程,其中左圖為實(shí)驗(yàn)結(jié)果,右圖為數(shù)值模擬結(jié)果;(b) 通過(5)式得到的圖(a)對(duì)應(yīng)的TAMD 的演化結(jié)果;(c),(d) u1/u2=0.4時(shí),測量得到的動(dòng)力學(xué)演化過程和TAMD 演化結(jié)果.圖中采用的實(shí)驗(yàn)參數(shù): L=26,v1=v2=0.15kHz,u2=0.35kHz,演化時(shí)長為3.1?/u2,時(shí)間間隔為0.11?/u2Fig.3.Measurement of time-averaged wavepacket displacement: (a) Dynamics evolution of the system for u1/u2=2,where the left plot shows experimental results,and the right plot presents numerical simulations;(b) evolution of TAMD corresponding to panel (a) obtained using Eq.(5);(c),(d) dynamics evolution and TAMD results were obtained for u1/u2=0.4 .Experimental parameters: L=26,v1=v2=0.15kHz,u2=0.35kHz,an evolution time of 3.1?/u2,and a time interval of 0.11?/u2 .

為觀測系統(tǒng)從非平庸拓?fù)鋺B(tài)到平庸拓?fù)鋺B(tài)的轉(zhuǎn)變,對(duì)不同u1/u2情況的演化進(jìn)行了測量,并計(jì)算得到了相應(yīng)的TAMD.理想情況下,當(dāng)u1/u2<1時(shí),對(duì)應(yīng)的TAMD 收斂值是–0.5,而當(dāng)u1/u2>1時(shí),對(duì)應(yīng)的TAMD 是0.實(shí)驗(yàn)上分別測量了L=26,u2=0.35kHz,v1=v2=0.15 kHz,演化時(shí)長為3.1?/u2的Zigzag 模型在u1/u2分別為0.05,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0 時(shí)的TAMD.結(jié)果如圖4 所示,系統(tǒng)從u1/u2<1到u1/u2>1 過程中,TAMD 基本從–0.5 逐漸變成0,Zak 相位γ也從–π 轉(zhuǎn)變?yōu)?,對(duì)應(yīng)的環(huán)繞數(shù)W也從–1 逐漸變成0,此時(shí)系統(tǒng)從非平庸拓?fù)湎噙^渡到平庸拓?fù)湎?因此,對(duì)于一個(gè)手征對(duì)稱性被破壞的一維晶格系統(tǒng),其Zak 相位仍然是量子化且存在非平庸拓?fù)湎?

圖4 不同 u1/u2 的Zigzag 模型對(duì)應(yīng)的TAMD 變化曲線.圖中灰色虛線是理想模型對(duì)應(yīng)的結(jié)果Fig.4.Variation curves of TAMD for different u1/u2 in the Zigzag model.Gray dashed lines indicate results from the ideal model.

4 結(jié)論

本文研究了動(dòng)量晶格系統(tǒng)中一維手征對(duì)稱性破缺晶格系統(tǒng)的拓?fù)湫?實(shí)驗(yàn)上利用87Rb 原子的BEC 模擬鏈長為26 的一維Zigzag 系統(tǒng).通過調(diào)制激光功率使得所有次近鄰格點(diǎn)耦合強(qiáng)度都相等,此時(shí)系統(tǒng)手征對(duì)稱性被破壞.基于原子的連續(xù)演化過程測量時(shí)間平均波包位移以獲得系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?證明了一維手征對(duì)稱性破缺晶格系統(tǒng)仍具有量子化Zak 相位和非平庸拓?fù)湎?此外,還觀測到在u1/u2=1時(shí),系統(tǒng)從非平庸拓?fù)鋺B(tài)轉(zhuǎn)變成平庸拓?fù)鋺B(tài).本工作為對(duì)稱性和拓?fù)湎嗟南嚓P(guān)研究提供了一個(gè)完全可控的平臺(tái),可進(jìn)一步引入相互作用研究非線性拓?fù)洮F(xiàn)象[17].此外,還可以用于研究基于SSH 模型的拓展模型.例如研究加上長程的格點(diǎn)耦合的拓展SSH 模型的相變臨界現(xiàn)象[30]和平帶能級(jí)結(jié)構(gòu)[31],以及不同對(duì)稱性對(duì)拓展SSH 模型拓?fù)湫再|(zhì)的影響[20].通過控制格點(diǎn)間耦合強(qiáng)度,探索具有更多能級(jí)結(jié)構(gòu)的模型的拓?fù)湫再|(zhì),比如三能級(jí)結(jié)構(gòu)的Aharonov-Bohm caging 模型[32–35]具有的奇異平帶性質(zhì).