彭九英，廖海英，張 軍

（湖南勞動(dòng)人事職業(yè)學(xué)院，湖南 長沙）

引言

傳統(tǒng)機(jī)器人控制方法，如PID 控制、經(jīng)典的軌跡規(guī)劃等，雖然在一定程度上能夠滿足工業(yè)需求，但隨著應(yīng)用場景的復(fù)雜化，這些方法逐漸顯露出局限性。例如，它們可能難以適應(yīng)快速變化的環(huán)境，或者在處理非線性系統(tǒng)時(shí)效率不高。因此，研究和開發(fā)更加高效、精確的軌跡跟蹤與運(yùn)動(dòng)控制方法成為了機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)重要課題。

1 基礎(chǔ)理論與方法

1.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究機(jī)器人運(yùn)動(dòng)和位置的基礎(chǔ)理論，涉及了機(jī)器人的構(gòu)造和動(dòng)力學(xué)特性，以及機(jī)器人在三維空間中的位置和姿態(tài)描述。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)中，有兩個(gè)主要方面需要考慮：正運(yùn)動(dòng)和逆運(yùn)動(dòng)。除了正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)之外，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)還涉及了坐標(biāo)變換、雅克比矩陣、關(guān)節(jié)限制和奇異點(diǎn)等概念，具體如表1所示。

1.2 高級控制方法

1.2.1 模型預(yù)測控制（MPC）

模型預(yù)測控制（MPC）是一種先進(jìn)的機(jī)器人軌跡跟蹤和運(yùn)動(dòng)控制方法，它在實(shí)際應(yīng)用中表現(xiàn)出色。MPC 的關(guān)鍵步驟包括以下內(nèi)容：建模與預(yù)測、性能指標(biāo)、優(yōu)化控制輸入、重復(fù)迭代等。MPC 具有許多優(yōu)點(diǎn)，包括對非線性系統(tǒng)的有效控制、能夠處理約束和不確定性以及適用于各種機(jī)器人類型和應(yīng)用場景。然而，MPC 也面臨著計(jì)算復(fù)雜性高、實(shí)時(shí)性要求較高等挑戰(zhàn)，需要仔細(xì)的參數(shù)調(diào)整和算法優(yōu)化，以在實(shí)際機(jī)器人系統(tǒng)中取得成功應(yīng)用。

1.2.2 自適應(yīng)控制

自適應(yīng)控制的關(guān)鍵特點(diǎn)包括以下幾個(gè)方面：實(shí)時(shí)反饋調(diào)整、模型不確定性處理、性能指標(biāo)追蹤、適用性廣泛等。自適應(yīng)控制可以幫助機(jī)器人系統(tǒng)在復(fù)雜和動(dòng)態(tài)的環(huán)境中實(shí)現(xiàn)高精度的軌跡跟蹤和運(yùn)動(dòng)控制，應(yīng)用潛力在各個(gè)領(lǐng)域都非常廣泛，為提高機(jī)器人系統(tǒng)的性能和魯棒性提供了有效的解決方案。

1.2.3 強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法

在強(qiáng)化學(xué)習(xí)中，機(jī)器人被視為一個(gè)智能體，它可以感知環(huán)境狀態(tài)，采取行動(dòng)，并根據(jù)行動(dòng)的結(jié)果獲得獎(jiǎng)勵(lì)或懲罰。強(qiáng)化學(xué)習(xí)的核心思想是通過優(yōu)化累積獎(jiǎng)勵(lì)來學(xué)習(xí)最佳策略，使機(jī)器人能夠自主地進(jìn)行決策。這種方法的關(guān)鍵組成部分包括：狀態(tài)空間和動(dòng)作空間定義、獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)、值函數(shù)和策略、學(xué)習(xí)算法等[1-2]。

2 高精度軌跡跟蹤方法

2.1 直線軌跡規(guī)劃

假設(shè)已知在笛卡爾空間中的某一直線的初始點(diǎn)坐標(biāo)為：P0(x0,y0,z0)、終點(diǎn)坐標(biāo)為：Pf(xf,yf,zf)；那么，通過線性插值的算法能夠求解出空間直線軌跡上的中間各插補(bǔ)點(diǎn)的位置?？臻g直線模型如圖1 所示。

圖1 空間直線軌跡

如圖1 所示，空間直線中各插補(bǔ)點(diǎn)的位置坐標(biāo)值可由公式（1）求解得到

式中，π 表示歸一化因子；△x、△y、△z 分別為x 軸、y軸和z 軸方向上的位置增量，其求解過程如公式（2）所示

歸一化因子 π是通過線性函數(shù)和拋物線函數(shù)平滑銜接而成的帶有拋物線過渡的線性函數(shù)。在這種情況下，規(guī)劃軌跡的兩端拋物線段具有相同的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和數(shù)值相等、符號(hào)相反的加速度。則歸一化因子 π的求解步驟如下：

假設(shè)規(guī)劃軌跡的中間直線段的速度取v，其兩端的拋物線段的加速度取a，則拋物線段運(yùn)動(dòng)時(shí)間與位移為

由公式（2）、公式（3）可知，空間直線的長度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間能夠計(jì)算如下

因此，空間直線規(guī)劃的歸一化因子 π能夠計(jì)算如下

使用所述算法，規(guī)劃一條從初始點(diǎn)(0.4，0.0，0.2)至終點(diǎn)(0.3，0.1，0.1)的空間直線軌跡，單位為米。該直線段的速度設(shè)定為0.1 米/秒，拋物線段的加速度為0.2 m/s2。仿真時(shí)長為1 秒，步長為0.000 1 秒。

2.2 基于多項(xiàng)式曲線的Minimum Snap 軌跡規(guī)劃

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡通常能夠具有多種表達(dá)形式，例如圓弧曲線、多項(xiàng)式曲線以及樣條曲線等等。本節(jié)使用n 階多項(xiàng)式表示機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，其表達(dá)式可以寫為

式中，b0、b1、b2表示軌跡參數(shù)，t 為時(shí)間變量，通過將參數(shù)向量設(shè)置為：b = [b,b,b…b]，則運(yùn)動(dòng)軌跡的表達(dá)式可改寫為

隨著科技的發(fā)展，機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，其運(yùn)動(dòng)路徑的復(fù)雜性也在不斷增加。在這種情況下，單一的多項(xiàng)式曲線已難以充分表達(dá)機(jī)器人的預(yù)期軌跡。為解決這個(gè)問題，可以將整體軌跡分割成多個(gè)部分，每部分使用一個(gè)獨(dú)立的多項(xiàng)式曲線進(jìn)行描述，既能保證軌跡的準(zhǔn)確性，又能提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的效率。

然而，機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)不僅僅是一個(gè)幾何問題，還涉及到動(dòng)力學(xué)屬性。因此，在路徑規(guī)劃過程中，還需要考慮軌跡的Snap(t)參數(shù)。Snap(t)參數(shù)描述了機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中速度的變化情況，對于保證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性具有重要意義。通過最小化軌跡的Snap(t)參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)路徑規(guī)劃，可以采用Minimum Snap 方法進(jìn)行最優(yōu)軌跡規(guī)劃。則Minimum Snap 軌跡規(guī)劃過程可表示為

3 運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

3.1 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

移動(dòng)機(jī)器人是一種能夠在地面上自主移動(dòng)的機(jī)器人，其機(jī)理主要分為兩個(gè)方面：運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)注的是機(jī)器人的位置和姿態(tài)隨時(shí)間的變化，這是早期研究的主要焦點(diǎn)。然而，隨著科技的發(fā)展，研究人員開始更多地關(guān)注基于動(dòng)力學(xué)的研究，這涉及到外部環(huán)境、機(jī)器人結(jié)構(gòu)和內(nèi)部參數(shù)等多種因素，更加復(fù)雜。輪式移動(dòng)機(jī)器人是一種常見的移動(dòng)機(jī)器人，其構(gòu)造如圖2 所示。它包括半徑為r 的車輪，兩輪中心距離為2a，總質(zhì)量為m。在這樣的結(jié)構(gòu)中，左輪的速度記為vl，右輪的速度為vr，機(jī)器人中心點(diǎn)Q 的速度為v，轉(zhuǎn)向角度為?。為了展示移動(dòng)機(jī)器人的姿態(tài)，需要使用全局坐標(biāo)系統(tǒng)來確定其在實(shí)際環(huán)境中的具體位置[3]。

圖2 移動(dòng)機(jī)器人示意

在分析點(diǎn)鎮(zhèn)定控制問題時(shí)，可以構(gòu)建如圖3 所示的坐標(biāo)系，有助于更好地理解和控制機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)。通過坐標(biāo)系，可以更準(zhǔn)確地分析機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而為機(jī)器人的控制提供理論依據(jù)。同時(shí)，移動(dòng)機(jī)器人的中心點(diǎn)Q 被用作局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，用以描述機(jī)器人本身的姿態(tài)。當(dāng)機(jī)器人執(zhí)行旋轉(zhuǎn)或移動(dòng)操作時(shí)，局部坐標(biāo)系將相應(yīng)地發(fā)生變化。

圖3 移動(dòng)機(jī)器人坐標(biāo)

3.2 點(diǎn)鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

在機(jī)器人控制領(lǐng)域，精確且穩(wěn)定地定位機(jī)器人在目標(biāo)點(diǎn)是一項(xiàng)重要的任務(wù)。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，本文設(shè)計(jì)了控制器用于調(diào)節(jié)v 和w 兩個(gè)變量。通過構(gòu)建點(diǎn)定位閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（如圖4 所示），將實(shí)際位姿與期望位姿相結(jié)合，計(jì)算位姿誤差方程，可后續(xù)的控制器設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。同時(shí)，根據(jù)位姿誤差方程進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。位姿誤差方程是控制器輸出的重要依據(jù)，通過對它的處理，可以得到v 和w 的控制參數(shù)，這些控制參數(shù)將指導(dǎo)機(jī)器人移動(dòng)，從而達(dá)到精確定位的目標(biāo)。得到控制參數(shù)后，需要將它們輸入到運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可以計(jì)算出機(jī)器人實(shí)際的運(yùn)動(dòng)情況，從而確定機(jī)器人的位姿。在實(shí)際操作中，機(jī)器人可能會(huì)受到各種因素的影響，控制器之間的切換可能會(huì)導(dǎo)致控制輸出的不連續(xù)性。然而，這種不連續(xù)性并不會(huì)妨礙機(jī)器人持續(xù)地移動(dòng)至目標(biāo)點(diǎn)，因?yàn)槲覀兊目刂葡到y(tǒng)具備良好的魯棒性，能夠在各種情況下保持穩(wěn)定的控制效果[4-5]。

圖4 點(diǎn)鎮(zhèn)定閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

結(jié)束語

綜上所述，本文深入探討了機(jī)器人高精度軌跡跟蹤與運(yùn)動(dòng)控制的方法。通過創(chuàng)新的算法和控制策略，顯著提高了軌跡跟蹤的準(zhǔn)確性和效率。這一研究不僅為高精度軌跡跟蹤與運(yùn)動(dòng)控制提供了新的理論和技術(shù)支持，也為機(jī)器人技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用提供了新的思路。未來還需進(jìn)一步優(yōu)化這些方法，并探索它們在更復(fù)雜環(huán)境中的應(yīng)用，如不穩(wěn)定地形和動(dòng)態(tài)障礙物中的機(jī)器人導(dǎo)航，以期達(dá)到更廣泛的應(yīng)用和技術(shù)突破。