廖慶洪，宋夢林，孫建，邱海燕

（南昌大學(xué) 電子信息工程系，南昌 330031）

0 引言

腔磁系統(tǒng)是由三維微波腔和鐵磁材料釔鐵石榴石（Y3Fe5O12， YIG）球體耦合組成的，可以用來研究腔場與磁子之間的強(qiáng)耦合性和量子相干性。在腔磁系統(tǒng)中，YIG 材料自身具有低阻尼率、高可調(diào)節(jié)性和高自旋密度等優(yōu)勢，一直以來被視為完美的機(jī)械振子。磁振子與微波腔光子之間的耦合強(qiáng)度可以達(dá)到強(qiáng)耦合態(tài)甚至超強(qiáng)耦合狀態(tài)，這為量子信息科學(xué)的研究打下了堅實的基礎(chǔ)［1］。此外，在強(qiáng)耦合狀態(tài)下，高品質(zhì)的微波光子和磁振子可以導(dǎo)致腔磁振子發(fā)生自旋極化［2-7］。磁子還可以與彈性波［8］和光子［9］耦合，它們?yōu)榻閷?dǎo)微波光子、光學(xué)光子和聲學(xué)聲子之間相互轉(zhuǎn)換的信息傳感器的制備提供了可能。

隨著對腔磁系統(tǒng)不斷深入的研究，已有實驗證明了腔磁系統(tǒng)中的磁力誘導(dǎo)透明（Magnomechanically Induced Transparency， MMIT）和吸收［10］是磁子與聲子耦合產(chǎn)生的量子邊帶干涉效應(yīng)。磁力誘導(dǎo)透明與電磁誘導(dǎo)透明（Electromagnetically Induced Transparency， EIT）［11］類似，是一種相干現(xiàn)象。XIONG Hao 等［12］從理論上討論了基于非線性磁振子-聲子相互作用的磁力誘導(dǎo)透明和慢光。文獻(xiàn)［13］實現(xiàn)了YIG 球和原子系綜復(fù)合腔磁系統(tǒng)中磁力誘導(dǎo)透明現(xiàn)象和可調(diào)快慢光效應(yīng)?？烧{(diào)諧多窗口磁力誘導(dǎo)透明［14］已在耦合單個微波腔模式的兩個YIG 球組成的系統(tǒng)中提出。對磁力誘導(dǎo)透明的研究促進(jìn)了基于磁致伸縮力的可控慢光研究［15］。此外，快慢光效應(yīng)為壓縮空間中的光能量和光信號傳輸提供了可能性，快慢光效應(yīng)有利于加強(qiáng)光與物質(zhì)的相互作用，減少設(shè)施占用的空間［16-17］。根據(jù)快慢光的群延遲特性，能夠進(jìn)行光緩沖、光信號、光開關(guān)的時間速度控制［18］。

腔磁系統(tǒng)中還出現(xiàn)許多有趣的現(xiàn)象，例如基于克爾效應(yīng)的非互易性［19］、高階奇異點［20］、磁振子阻塞［21］、相干光傳輸［22］和高階邊帶［23-24］。同樣，人們對宏觀系統(tǒng)中量子效應(yīng)的產(chǎn)生給予了足夠的關(guān)注。例如，LI Jie等利用帶通約瑟夫遜參量放大器的非線性［25］和磁致伸縮相互作用［26］為實現(xiàn)微腔光子、磁振子和聲子模式之間的三體糾纏提供了一個簡單可行的理論框架。此外，通過利用微波腔［27］、克爾非線性［28］和磁致伸縮非線性［29］研究了兩個宏觀YIG 球的糾纏特性。在最近的一項研究［30］中發(fā)現(xiàn)，與沒有光學(xué)參量放大器（Optical Parametric Amplifier， OPA）的系統(tǒng)相比，腔磁系統(tǒng)中OPA 的存在可以改善微腔光子、磁子和聲子之間的糾纏。其中OPA 用于產(chǎn)生強(qiáng)機(jī)械壓縮［31］、兩個光學(xué)模式之間的糾纏［32］以及光學(xué)模式和機(jī)械模式之間的糾纏［33］。

基于以上研究，本文提出了一個由非線性介質(zhì)OPA 輔助的復(fù)合腔磁力系統(tǒng)。在復(fù)合腔磁力系統(tǒng)存在磁振子-聲子有效耦合時，輸出場吸收譜出現(xiàn)兩個透明窗口，透明窗口的特性可以通過調(diào)節(jié)磁振子-聲子之間的耦合強(qiáng)度改變。進(jìn)一步討論系統(tǒng)加入OPA 后，腔磁耦合強(qiáng)度對系統(tǒng)探測場吸收和色散的影響。腔磁系統(tǒng)中非線性介質(zhì)OPA 的加入也可以增加系統(tǒng)的傳輸速率，同時可以增強(qiáng)腔磁系統(tǒng)的快慢光傳播。與之前的工作［12］相比，引入了非線性O(shè)PA 介質(zhì)后，磁力誘導(dǎo)透明和快慢光效應(yīng)更加靈活可調(diào)。實驗上已經(jīng)實現(xiàn)了YIG 小球與三維微波腔的耦合［34］，其中YIG 小球放置在三維微波腔中，通過磁偶極相互作用與微波腔耦合。磁振子通過磁致伸縮相互作用與聲子耦合［10］。因此，該系統(tǒng)在實驗上可行。

1 模型與系統(tǒng)哈密頓量

1.1 模型

如圖1 所示，復(fù)合腔磁系統(tǒng)由內(nèi)置YIG 球體的微波腔和OPA 組成。YIG 球體被放置在腔模中，接近腔場的最大磁場，并處于一個均勻的偏置場中，該場負(fù)責(zé)磁振子-光子耦合。通過施加微波場以增強(qiáng)磁振子-聲子耦合。在YIG 球體位置，腔模的磁場（沿x軸）、驅(qū)動磁場（沿y方向）和偏置磁場（沿z方向）相互垂直。該系統(tǒng)支持三種不同類型的激發(fā)，即光子、磁子和聲子。磁振子模是由于鐵磁系統(tǒng)中大量自旋的集體運(yùn)動，例如典型直徑為250 μm 的YIG 球體［35］。將均勻偏置場（z方向）施加到Y(jié)IG 球上，激發(fā)磁偶極子與通過腔場耦合的磁振子模式之間的相互作用。球體內(nèi)部磁振子模的激發(fā)會導(dǎo)致磁化，引起球體的晶格結(jié)構(gòu)發(fā)生形變，聲子模式的形成是由這種幾何形變產(chǎn)生的。磁致伸縮力導(dǎo)致YIG 振動，從而在球體中建立磁振子-聲子相互作用。

圖1 OPA 輔助的腔磁系統(tǒng)模型Fig.1 Schematic diagram of the hybrid cavity magnetic system assisted by an OPA

1.2 系統(tǒng)哈密頓量

考慮高質(zhì)量的YIG 球體，直徑為250 μm，由密度為ρ=4.22×1027m-3的Fe+3鐵離子組成，會產(chǎn)生S=5 2ρVm的總自旋，其中Vm表示YIG 球體的體積，S滿足對易關(guān)系。系統(tǒng)的哈密頓量(?=1)可以表示為

式中，ωaa?a、ωmm?m和ωbb?b分別表示腔場、磁子和聲子的自由哈密頓量；gma(a?m+eiΦam?)、gmbm?m(b+b?)和iG(eiθa?2e-2iω0t-e-iθa2e2iω0t)分別表示腔場與磁子耦合、磁子和聲子耦合、腔場與OPA 之間相互作用的哈密頓量；i(Ede-iω0tm?-H.c.)和i(Epe-iωpta?-H.c.)表示驅(qū)動場和探測場的哈密頓量；ωa、ωm和ωb分別表示腔場、磁子和聲子的頻率；a(a?)、m(m?)和b(b?)分別表示腔場、磁子和聲子的湮滅（產(chǎn)生）算符；gma表示腔磁的耦合強(qiáng)度；磁子和聲子之間的相互作用通常以較小的磁力耦合強(qiáng)度gmb來表示，然而，在強(qiáng)大的微波場驅(qū)動下，微波場提高了這個耦合強(qiáng)度；Φ表示耦合相位［36-37］；G表示OPA 的非線性增益；θ表示驅(qū)動OPA 的激光相位；ω0表示頻率表示驅(qū)動強(qiáng)度，γ表示旋磁比，N表示YIG 球的總自旋數(shù)，B0表示驅(qū)動場振幅；Ep為弱探測場振幅；ωp表示探測場的頻率。此外，忽略磁子模進(jìn)行強(qiáng)驅(qū)動而產(chǎn)生的非線性項κm?m?mm（κ是克爾系數(shù)），必須使κ|m|3＜＜Ed［32］。

在以驅(qū)動場頻率為ω0旋轉(zhuǎn)的框架中，系統(tǒng)哈密頓量可以整理為

式中，Δa=ωa-ω0，Δm=ωm-ω0和δ=ωp-ω0分別表示腔場、磁子、探測場與驅(qū)動場之間的失諧量。

2 系統(tǒng)量子動力學(xué)和光學(xué)漲落譜

2.1 系統(tǒng)量子動力學(xué)

基于系統(tǒng)總哈密頓量方程式（2），忽略耗散項，系統(tǒng)的量子動力學(xué)可由海森堡-朗之萬方程描述為

式中，κa和κm分別表示腔模和磁子的耗散率；γb表示聲子的耗散速率；δ表示探測場與驅(qū)動場之間的失諧量。

假設(shè)朗之萬噪聲項的平均值為零。為了求解非線性方程，使用平均場近似方法AB=A B［11］，其中A和B代表兩個任意算符。如果使用強(qiáng)泵浦場驅(qū)動復(fù)合腔磁系統(tǒng)，使得|m|?1，可以使系統(tǒng)的動力學(xué)線性化。類似地，強(qiáng)腔磁相互作用產(chǎn)生較大的腔場振幅(|a|?1)?？紤]到探測場的擾動，每個算符可以分解為穩(wěn)態(tài)和漲落項之和，O=OS+δO(O=a，m，b)，其中OS(δO)是輸出探測場的穩(wěn)態(tài)項（漲落項）。通過這些近似，可以得到算符穩(wěn)態(tài)值為

式中，λ1=。根據(jù)已有的實驗參數(shù)，近似認(rèn)為Δ1～Δm。由于驅(qū)動場強(qiáng)度遠(yuǎn)大于探測場強(qiáng)度，可以安全地忽略系統(tǒng)的非線性項igmb(δb+δb?)δm和igmbδm?δm。只考慮系統(tǒng)的一階邊帶效應(yīng)，得到漲落項的運(yùn)動方程為

式中，K=gmbms表示磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度。為了求解系統(tǒng)對探測場的平均響應(yīng)，圍繞穩(wěn)態(tài)值對量子海森堡-朗之萬方程進(jìn)行線性化，并且只取波動算子中的一階項。每個算符可以寫成

式中，A-(M-，B-)和A+(M+，B+)分別表示一階上邊帶和一階下邊帶的系數(shù)。利用式（8）的擬設(shè)，帶入式（7）可得

令F1=-iδ+iΔa+κa，F(xiàn)2=-iδ-iΔa+κa，F(xiàn)3=-iδ+iΔ1+κm，F(xiàn)4=-iδ-iΔ1+κm，F(xiàn)5=-iδ+iωb+γb，F(xiàn)6=-iδ-iωb+γb。最終求得一階上邊帶系數(shù)為

2.2 光學(xué)漲落譜

為了研究系統(tǒng)對弱探測場的響應(yīng)，根據(jù)腔磁系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)輸入-輸出關(guān)系，輸出場的振幅可以表示為

式中，μp和νp是εout的實部和虛部，分別表示輸出場的吸收和色散。另外，由于透明窗口處的變化通常伴隨著快速的相位色散，導(dǎo)致群延遲的急劇變化，因此，可以得到透射光的群速度延遲表達(dá)式為

式中，?(ωp)=arg[εout(ωp)]。群延遲τ＞0，系統(tǒng)顯示慢光效應(yīng)；群延遲τ＜0，系統(tǒng)則顯示快光效應(yīng)。

3 數(shù)值分析與結(jié)果

在復(fù)合腔磁系統(tǒng)中，為了研究非線性介質(zhì)OPA 對于磁力誘導(dǎo)透明、傳輸速率和群延遲的影響，選用實驗上可行的數(shù)據(jù)［10，17］：ωa=ωm=2π×10 GHz，ωb=2π×10 MHz，κa=2π×2.1 MHz，κm=2π×0.1 MHz，γb=2π×102Hz，gma=2π×1.5 MHz，Φ=0，θ=0。

3.1 含有光學(xué)參量放大器的復(fù)合腔磁系統(tǒng)中的磁力誘導(dǎo)透明現(xiàn)象

首先，研究了無OPA 加入(G=0)時，磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度對探測場吸收譜和色散譜的影響。如圖2（a）所示，繪制了不同磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度K下，輸出探測場的吸收μp作為歸一化失諧δ ωb的函數(shù)，其中ωa=ωm=2π×10 GHz，ωb=2π×10 MHz，κa=2π×2.1 MHz，κm=2π×0.1 MHz，γb=2π×102Hz，gma=2π×1.5 MHz，Φ=0，G=0，θ=0。在K=0 時，系統(tǒng)僅存在腔場和磁振子之間的耦合，可以看出輸出探測場的吸收譜有兩個峰值（品紅色虛線），即系統(tǒng)存在一個磁力誘導(dǎo)透明窗口。然而當(dāng)K≠0 時，觀察輸出探測場的吸收與色散譜曲線可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)吸收譜曲線出現(xiàn)三個峰值（藍(lán)色點虛線和綠色實線），意味著系統(tǒng)出現(xiàn)了雙重磁力誘導(dǎo)透明窗口，這是由于腔磁系統(tǒng)中除了腔磁之間相互作用外，還存在著磁振子與聲子之間相互耦合，導(dǎo)致探測場在中心位置完全被吸收，透明窗口數(shù)量增加。當(dāng)微波腔與磁子的相互作用保持不變時，隨著磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度的增強(qiáng)，透明窗口的深度加深，探測場吸收譜曲線的中心峰峰值變寬，吸收譜曲線兩側(cè)峰值之間的距離也不斷增加。上述現(xiàn)象是由于加入磁振子-聲子耦合，腔內(nèi)會出現(xiàn)強(qiáng)耦合作用。圖2（b）為圖2（a）相對應(yīng)的色散譜曲線，可以看出磁振子與聲子相互作用時，在δ ωb=1 左右兩側(cè)的對稱位置會發(fā)生猛烈的色散現(xiàn)象，即色散曲線在吸收譜透明窗口位置變得陡峭，這種特性在腔磁系統(tǒng)的快慢光傳播中有著十分重要的作用。

圖2 在不同的磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度K 下，輸出探測場的吸收μp 和色散νp 作為歸一化失諧δ ωb 的函數(shù)Fig.2 Absorption μp and dispersion νp of output detection field as a function of normalized detuning δ ωb under different magnonphonon effective coupling strengths K

為了研究OPA 對于腔磁系統(tǒng)磁力誘導(dǎo)透明的影響，繪制了圖3，在不同OPA 增益G下，輸出探測場的吸收譜μp作為歸一化失諧δ ωb的函數(shù)，其中K=2π MHz，其他參數(shù)同圖2 參數(shù)一致。由式（4）可以看出，OPA 增益G會改變腔場的穩(wěn)態(tài)效應(yīng)，從而改變腔磁系統(tǒng)內(nèi)的光子數(shù)，影響系統(tǒng)的磁力誘導(dǎo)透明強(qiáng)度。從圖3 可以看出，在共振頻率左側(cè)黃色比共振頻率右側(cè)黃色明顯，意味著在左側(cè)的吸收比右側(cè)更明顯，吸收光譜存在不對稱現(xiàn)象，這是由于加入非線性介質(zhì)OPA 改變了腔磁系統(tǒng)中的平均光子數(shù)，非線性效應(yīng)得到改變，造成腔磁振子之間的相互作用發(fā)生改變。另外還發(fā)現(xiàn)隨著OPA 增益增加，吸收峰峰值也逐漸增加，說明調(diào)節(jié)OPA 相關(guān)參數(shù)可以調(diào)制腔磁系統(tǒng)磁力誘導(dǎo)透明特性。

圖3 不同的OPA 增益G 下，輸出探測場的吸收譜μp 作為歸一化失諧δ ωb 的函數(shù)Fig.3 The absorption spectrum μp of the output detection field as a function of normalized detuning δ ωb under different OPA gains G

為了深入探究腔磁力系統(tǒng)中加入OPA 后，腔磁耦合強(qiáng)度對輸出探測場的磁力誘導(dǎo)透明現(xiàn)象的影響，繪制了不同微波腔與磁子相互作用強(qiáng)度gma下系統(tǒng)輸出場的吸收譜和色散譜。如圖4 所示，其中K=2π MHz，G=0.5κa，其他參數(shù)同圖2 參數(shù)一致。觀察圖4 可以發(fā)現(xiàn)吸收譜曲線有三個峰值，在保持OPA 增益G和磁振子-聲子有效耦合強(qiáng)度K不變的情況下，隨著微波腔與磁子相互作用強(qiáng)度gma增大，在共振頻率δ ωb=1 處的吸收譜峰變得尖銳，兩側(cè)的峰逐漸變寬，峰值變化不明顯，透明窗的谷深度隨之增加，寬度也隨之變寬。這說明隨著微波腔與磁子相互作用強(qiáng)度增強(qiáng)，腔磁力系統(tǒng)誘導(dǎo)透明效果也隨之增強(qiáng)。一一對應(yīng)的色散譜曲線變得越來越陡峭，譜范圍也隨著微波腔與磁子相互作用強(qiáng)度增強(qiáng)而變寬。因此，通過改變腔磁耦合強(qiáng)度gma改變吸收光譜和色散光譜的傳輸特性，并且選擇不同的相互作用強(qiáng)度對探測場吸收峰的影響是不同的。

圖4 在不同腔磁耦合強(qiáng)度gma下，輸出探測場的吸收譜μp（綠色實線）和色散譜νp（品紅色點虛線）作為歸一化失諧δ ωb 的函數(shù)Fig.4 Under different cavity-magnon coupling strength gma， the absorption spectrum μp （green solid line） and dispersion spectrum νp （magenta dotted line） of the output detection field are used as normalized detuning functions δ ωb

3.2 光學(xué)參量放大器對傳輸速率和快慢光效應(yīng)的影響

進(jìn)一步討論非線性介質(zhì)OPA 的增益G對于探測場傳輸速率|tp|2和群延遲效應(yīng)的影響。

探測場傳輸速率可以表示為

通過設(shè)置OPA 的不同增益G來研究其對腔磁系統(tǒng)探測場傳輸速率的影響，如圖5 所示。反斯托克斯場和探測場之間的破壞性干擾可以抑制腔內(nèi)探測場的建立，并導(dǎo)致窄的透明窗口。在磁子與聲子有效耦合強(qiáng)度K=2π MHz 時，可以發(fā)現(xiàn)隨著OPA 增益G的增大，在δ/ωb=1 處的透明窗口深度加深。而共振頻率兩側(cè)的探測場傳輸速率谷值變化恰恰相反，左側(cè)的谷值隨OPA 增益增加而變淺，右側(cè)則隨之加深，即出現(xiàn)明顯的不對稱現(xiàn)象，這意味著OPA 的增益和磁子與聲子有效耦合強(qiáng)度影響腔內(nèi)光子數(shù)，進(jìn)而影響了傳輸速率。此外，發(fā)現(xiàn)在共振頻率處的傳輸速率大于1，說明通過增加OPA 的增益強(qiáng)度，進(jìn)一步放大了傳輸速率，即透射光譜可以由OPA 的增益控制。

圖5 在不同的OPA 增益G(K=2π MHz)下，腔磁系統(tǒng)的探測場傳輸速率|tp|2作為歸一化失諧δ ωb 的函數(shù)Fig.5 Under different OPA gains G(K=2π MHz)， the transmission rate |tp|2 of the detection field in the cavity magnetic system as a function of normalized detuning δ ωb

最后，研究了OPA 對復(fù)合腔磁系統(tǒng)中群延遲的影響。圖6 繪制了在腔磁耦合強(qiáng)度gma=2π×1.8 MHz，K=2π MHz 下，腔磁系統(tǒng)的群延遲τ與歸一化失諧δ ωb和OPA 增益的函數(shù)關(guān)系。OPA 增益G的取值為G=0.5κa，G=2κa和G=5κa?？梢钥闯鰣D中三條群延遲曲線均含有正值和負(fù)值，分別對應(yīng)慢光效應(yīng)和快光效應(yīng)。在共振頻率δ=ωb處，τ＞0，此時為慢光傳播，隨著OPA 增益增大，慢光效應(yīng)增強(qiáng)。同時，對OPA的調(diào)控，改變了共振頻率兩側(cè)群延遲峰值的大小，并且隨著增益G的增加，兩側(cè)的正值增大，負(fù)值減小，說明系統(tǒng)慢光效應(yīng)隨之增強(qiáng)，快光效應(yīng)隨之減弱。這是因為加入OPA 后增加了復(fù)合腔磁系統(tǒng)磁振子與腔模之間的耦合強(qiáng)度，導(dǎo)致在共振頻率兩側(cè)出現(xiàn)快速的相位色散，影響群延遲，改變快慢光效應(yīng)。此外，還可以發(fā)現(xiàn)群延遲為負(fù)數(shù)的位置隨OPA 增益的變化改變不明顯，快光效應(yīng)依舊出現(xiàn)在δ=0.89ωb和δ=1.09ωb處，說明復(fù)合腔磁系統(tǒng)的快光效應(yīng)對于OPA 增益的變化存在魯棒性。為了實現(xiàn)腔磁力系統(tǒng)中快慢光的轉(zhuǎn)換，可以選擇合適的OPA 參數(shù)控制系統(tǒng)的快慢光效應(yīng)，為靈敏光轉(zhuǎn)換開關(guān)的研究提供參考。

圖6 在不同OPA 的增益G 下，腔磁系統(tǒng)的群延遲τ 作為歸一化失諧δ ωb 的函數(shù)Fig.6 Under different OPA gains G， the group delay τ of the cavity magnetic system as a function of normalized detuning δ ωb

4 結(jié)論

本文研究了光學(xué)參量放大器輔助的腔磁系統(tǒng)中磁力誘導(dǎo)透明和快慢光效應(yīng)。數(shù)值模擬結(jié)果表明，存在磁振子-聲子耦合時，通過改變磁振子-聲子耦合強(qiáng)度實現(xiàn)了輸出場透明窗口數(shù)量、寬度和深度的轉(zhuǎn)換。加入OPA 之后對于腔磁系統(tǒng)探測場吸收和色散譜曲線的影響表明，腔場的穩(wěn)態(tài)效應(yīng)依賴于OPA 增益的改變，從而導(dǎo)致腔磁系統(tǒng)內(nèi)聲子數(shù)的改變，吸收光譜因此存在不對稱現(xiàn)象，且吸收譜的峰值隨之增加。另外，腔磁耦合強(qiáng)度也改變了吸收光譜和色散光譜的傳輸特性。增加OPA 的增益提高了系統(tǒng)的傳輸速率，從而實現(xiàn)了對窗口透射譜的調(diào)控。最后，OPA 對系統(tǒng)群延遲影響的分析結(jié)果顯示選擇合適的OPA 參數(shù)實現(xiàn)了增強(qiáng)的慢光效應(yīng)和快慢光的切換。