楊衡，張倩，王群京 ，符夢虎 ，劉超輝，宋金星

(1.安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，安徽合肥 230601；2.安徽大學(xué)高節(jié)能電機(jī)及控制技術(shù)國家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥 230601；3.安徽大學(xué)教育部電能質(zhì)量工程研究中心，安徽合肥 230601)

0 前言

機(jī)電伺服系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于航空系統(tǒng)[1]、數(shù)控機(jī)床[2]、機(jī)器人[3]等領(lǐng)域，其控制性能直接影響裝備的整體指標(biāo)。伺服系統(tǒng)的動態(tài)特性在某些特定的工作狀態(tài)下幾乎是典型的線性，但是由于受溫漂、磁飽和程度變化以及非線性擾動等因素的影響，系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性[4]，這種不確定性會使得系統(tǒng)特性跟隨工況的變化而變化。

傳統(tǒng)的伺服轉(zhuǎn)臺建模通常為傳遞函數(shù)模型[5]、微分方程模型[6]和狀態(tài)空間模型[7]等形式。這種基于線性模型設(shè)計(jì)的控制方法應(yīng)用在含參數(shù)不確定性的實(shí)際系統(tǒng)中時，控制效果會大打折扣。文獻(xiàn)[8]建立磁懸浮直線伺服系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，基于線性矩陣不等式理論設(shè)計(jì)了非脆弱H∞控制器抑制電機(jī)參數(shù)變化。文獻(xiàn)[9]對具有參數(shù)不確定性的電液伺服單閥控缸建立精確的狀態(tài)空間方程模型，并提出了3種不同的單缸控制策略，分別為非線性補(bǔ)償?shù)腜ID控制、前饋控制加PID控制和改進(jìn)自適應(yīng)律的自適應(yīng)魯棒控制。文獻(xiàn)[10]針對參數(shù)不確定性，通過一階低通濾波運(yùn)算和引入輔助中間變量，構(gòu)造的參數(shù)自適應(yīng)律中引入了跟蹤誤差項(xiàng)、系統(tǒng)狀態(tài)誤差項(xiàng)和參數(shù)估計(jì)誤差有關(guān)的切換項(xiàng)。上述研究都顯著改善了系統(tǒng)的控制性能，但未在建模中提出系統(tǒng)性的方法應(yīng)對參數(shù)不確定性。針對此類問題，文中在伺服系統(tǒng)的建模中引入切換系統(tǒng)理論，建立其切換模型。

切換系統(tǒng)是由多個子系統(tǒng)和一個整體的切換規(guī)則組成，通常是由一個狀態(tài)切換到另一個狀態(tài)[11]。含有參數(shù)不確定性的伺服系統(tǒng)，其頻域特性隨轉(zhuǎn)速變化而變化，這一特征符合切換系統(tǒng)。文獻(xiàn)[12]為了提高航空發(fā)動機(jī)的調(diào)速性能，提出了一種基于切換模型的事件觸發(fā)切換控制策略，各子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)采用精確反饋線性化技術(shù)。文獻(xiàn)[13]中針對直接驅(qū)動伺服控制系統(tǒng)存在的外部干擾，建立了系統(tǒng)的誤差切換模型，提出了一種基于干擾觀測器的魯棒滑模切換控制器，該方法可以有效緩解切換系統(tǒng)的顫振，降低切換增益，但是實(shí)際應(yīng)用時需要仔細(xì)調(diào)整切換參數(shù)才可以達(dá)到理想效果。為了解決切換系統(tǒng)的抖振問題，切換系統(tǒng)的平坦度[14-16]已經(jīng)引起了廣泛研究。文獻(xiàn)[15]給出了輸出平坦度的代數(shù)條件，并根據(jù)這個條件提出了一種計(jì)算輸出平坦度的算法。

本文作者首先根據(jù)伺服系統(tǒng)的非線性Bode圖，以速度值為切換信號，劃分為低、中、高三個速度區(qū)域，建立其速度切換模型。其次，考慮控制器可實(shí)現(xiàn)性，將子系統(tǒng)設(shè)計(jì)為三階的狀態(tài)空間方程，并在模擬退火算法中引進(jìn)平坦性算法對未知參數(shù)進(jìn)行辨識。然后，針對建立的速度切換模型，設(shè)計(jì)了基于觀測器的子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器，進(jìn)行穩(wěn)定性分析，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。最后，采用伺服轉(zhuǎn)臺進(jìn)行仿真與實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中所提建模方法和控制策略的有效性。

1 伺服轉(zhuǎn)臺的切換模型

1.1 一般離散切換模型

機(jī)電伺服系統(tǒng)的線性離散切換模型可描述為

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)u(k)

y(k)=Cσ(k)x(k)

(1)

式中：u(k)、y(k)分別為輸入量和輸出量；x(k)為狀態(tài)；Aσ(k)、Bσ(k)和Cσ(k)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出矩陣；k∈N表示離散時間，σ(k)則表示時間為k時由切換信號切換到的模式。

使用正弦掃頻信號u=γsin(ω)觀察系統(tǒng)的頻域特性，得到的Bode圖如圖1所示?？芍恨D(zhuǎn)速逐漸增大時，Bode圖的曲線諧振峰值逐漸減小，且其轉(zhuǎn)折頻率也逐漸變大。根據(jù)Bode圖所示的頻域特性，將速度區(qū)域劃分為低、中、高3個區(qū)域，分別對應(yīng)0～1、1～5、5～10 rad/s。

圖1 不同轉(zhuǎn)速下的Bode圖

1.2 子系統(tǒng)模型

伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示，它由驅(qū)動器、伺服電機(jī)、傳感器和機(jī)械傳動機(jī)構(gòu)組成。

圖2 伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

根據(jù)上述的系統(tǒng)框架圖，建立子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程模型，系統(tǒng)的動態(tài)矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣如下所示：

(2)

模型參數(shù)如表1所示。

表1 伺服系統(tǒng)參數(shù)

由于系統(tǒng)存在參數(shù)不確定性，故將參數(shù)Bm、BL、Jm、JL和Ts設(shè)定為未知。根據(jù)系統(tǒng)不同轉(zhuǎn)速區(qū)域的離線數(shù)據(jù)，將未知參數(shù)當(dāng)作變量進(jìn)行辨識。

根據(jù)辨識結(jié)果得到子系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，將3個區(qū)域的子系統(tǒng)模型組合，以速度值v作為切換信號，即得到最終模型S。

(3)

1.3 切換系統(tǒng)的參數(shù)辨識

由文獻(xiàn)[15]可知，系統(tǒng)的輸入及狀態(tài)可以表達(dá)為輸出y(k)向前或向后移動有限r(nóng)步的函數(shù)，線性離散切換系統(tǒng)式(1)的輸出就是平坦的。由輸入序列u(k∶k+r)和模式序列σ(k∶k+r)驅(qū)動切換系統(tǒng)得到輸出序列為

(4)

(5)

Mσ(k∶k)=Dσ(k)

(6)

(7)

其中

(8)

式中：(Mσ(k∶k+r))?是Mσ(k∶k+r)的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。如果存在非負(fù)整數(shù)K，使得所有模式序列及所有k≥0的矩陣計(jì)算滿足式(9)，則系統(tǒng)輸出是平坦的。

Pσ(k+K-1:k+K-1+r)Pσ(k+K-2:k+K-2+r)…Pσ(k∶k+r)=0

(9)

其中，不同的模式序列可能導(dǎo)致相同的矩陣Pσ(k∶k+r)。為了降低計(jì)算量，采用Q代表不同Pσ(k∶k+r)的集合，Q′σ(k)則表示其中的一個元素。因此，對于受約束的切換系統(tǒng)S(Q)，可以得到式(10)：

Qσ′(k+K-1)Qσ′(k+K-2)…Qσ′(k)=0

(10)

(11)

為了簡化計(jì)算，提出最終算法[15](如式(11)所示)，其算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程

在模擬退火算法中，引入算法式(11)，其適應(yīng)度函數(shù)如下：

f1=min|Sσ(1∶r)|

(12)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)切換控制器

利用得到的具有較高精度的切換模型設(shè)計(jì)基于狀態(tài)觀測器的反饋控制器。所提控制策略的框圖如圖4所示。

圖4 控制策略設(shè)計(jì)框圖

2.2 子系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

為了在物理上實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，將狀態(tài)觀測器引入反饋中，如圖5所示。

圖5 含狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋

圖6 機(jī)電伺服系統(tǒng)

假設(shè)系統(tǒng)為如下的n維系統(tǒng)：

(13)

其中：rankC=q，A∈Rn×n，B∈Rn×p，C∈Rq×n。

步驟1，對于給定系統(tǒng)矩陣C，選擇任意矩陣R∈R(n-q)×n，得到n×n維的非奇異矩陣P。

(14)

步驟2，對P進(jìn)行求逆，并分塊化。

Q?P-1=[Q1?Q2]

(15)

其中：Q1為n×q的矩陣；Q2為n×(n-q)的矩陣。

(16)

步驟4，計(jì)算期望特征多項(xiàng)式。

基于分離性原則，計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣H。設(shè)計(jì)期望閉環(huán)極點(diǎn)λi(i=1，2，…，n)作為性能指標(biāo)。

(17)

對比式(17)的同階項(xiàng)，即可得到矩陣H。同理地，設(shè)觀測器的期望特征值為λoi(oi=1，2，…，n-q)

(18)

步驟6，得到降階觀測器如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

3 穩(wěn)定性分析

定理1[17]，對離散時間線性時不變自治系統(tǒng)，A的全部特征值λi(A)(i=1，2，…，n)的幅值均小于1，這是xe=0(原平衡點(diǎn)狀態(tài))漸近穩(wěn)定的充分必要條件。

切換系統(tǒng)中的任意切換序列為

Γ={(t1,Aσ(1)),(t2,Aσ(2)},…,(tk,Aσ(k))}

(23)

其中：tk取任意正實(shí)數(shù)，表示切換系統(tǒng)的切換時間間隔；Aσ(k)∈{Aσ(1),Aσ(2),…,Aσ(k)}；(tk,Aσ(k))表示在切換系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為Aσ(k)的子系統(tǒng)運(yùn)行tk時間，并在Aσ(k)子系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)束后立即切換到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為Aσ(k+1)的子系統(tǒng)。

x(k+1)=(Aσ(k)-Bσ(k)H)x(k)

(24)

由此，將加上狀態(tài)反饋控制的離散切換系統(tǒng)看作在相同的任意序列下形成的離散自治切換系統(tǒng)式(24)。

由文獻(xiàn)[18]可知，離散自治切換系統(tǒng)在任意切換序列下切換漸近穩(wěn)定，即離散切換系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋控制在任意切換序列下切換漸近穩(wěn)定，定理得證。

4 仿真及實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證文中伺服系統(tǒng)的切換模型的準(zhǔn)確性和控制策略的有效性，使用雙軸伺服系統(tǒng)的方位軸進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖 6所示。伺服系統(tǒng)的控制系統(tǒng)由半實(shí)物仿真平臺RTU-BOX和上位機(jī)編譯系統(tǒng)組成。該伺服系統(tǒng)整體則由伺服電機(jī)、驅(qū)動器、編碼器及系統(tǒng)機(jī)械本體組成，編碼器可實(shí)時記錄輸出系統(tǒng)，頻率為10 kHz。

4.1 伺服系統(tǒng)切換模型驗(yàn)證

子系統(tǒng)的未知參數(shù)分別采用模擬退火算法進(jìn)行辨識[19]，得到不同速度區(qū)域的子系統(tǒng)模型如下：

上述子模型根據(jù)式(11)計(jì)算，在60次迭代后結(jié)果為0，這意味著系統(tǒng)切換滿足平坦條件。以正弦信號作為輸入，辨識得到的子模型速度跟蹤如圖 7所示。

圖7中低速區(qū)非線性較強(qiáng)，且半實(shí)物仿真平臺無法精準(zhǔn)檢測到細(xì)微的轉(zhuǎn)速變化，故圖7(a)跟蹤精度略低。由圖8所示的誤差箱型圖可知：低速區(qū)的誤差值大部分在-0.4%～0.4%內(nèi)，誤差平均值約為0.05%。由于伺服系統(tǒng)存在齒隙、死區(qū)等復(fù)雜結(jié)構(gòu)，故在換向點(diǎn)即過零點(diǎn)處，轉(zhuǎn)速無法精確檢測，此處誤差最大。同理，中速和高速的速度跟蹤曲線中，換向點(diǎn)處的誤差最大，這也是箱型圖中異常點(diǎn)的來源。

圖7 子系統(tǒng)參數(shù)辨識模型結(jié)果比對

圖8 子系統(tǒng)參數(shù)辨識模型結(jié)果誤差

圖9 不同的模型速度跟蹤效果

中速區(qū)和高速區(qū)除換向點(diǎn)外，速度跟蹤效果理想，誤差值大部分在-0.2%～0.2%內(nèi)。中速區(qū)的誤差平均值為-0.05%，高速區(qū)的誤差平均值為0.03%。上述結(jié)果驗(yàn)證了子系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性和精確性。為驗(yàn)證切換模型的有效性，引入傳統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行對比[20]。以不同幅值的正弦信號作為輸入，得到輸出結(jié)果如圖 9所示。可知：除過零點(diǎn)外，低速區(qū)的幾個模型速度跟蹤效果良好。隨著轉(zhuǎn)速逐漸增大，傳遞函數(shù)模型無法實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)跟蹤，在高速區(qū)跟蹤誤差達(dá)到最大。而單獨(dú)的低速區(qū)模型和中速區(qū)模型也在高速區(qū)域的跟蹤效果變差。結(jié)合圖10所示的跟蹤誤差箱型圖分析，4個模型的跟蹤誤差范圍大部分在-2%～2%內(nèi)，切換模型誤差的異常值最小。

圖10 不同的模型速度跟蹤誤差

4.2 伺服系統(tǒng)切換控制策略研究

為驗(yàn)證切換模型控制策略的優(yōu)越性，采取傳統(tǒng)PID控制策略進(jìn)行對比研究?？刂破鞯姆抡婕皩?shí)驗(yàn)均采用文中建立的切換模型。文中設(shè)計(jì)子系統(tǒng)控制器分別如下：

圖11所示為PID與狀態(tài)反饋控制器方法的仿真結(jié)果對比。結(jié)合圖11放大部分可知：整體跟蹤效果狀態(tài)反饋控制器的速度更接近輸入信號值。仿真結(jié)果中，文中提出的基于狀態(tài)反饋的切換控制策略速度跟蹤誤差平均值為-0.003 76 rad/s，低于PID的誤差平均值-0.007 16 rad/s，而其速度跟蹤誤差的方差值也低于PID控制器的0.485 86 rad2/s2。因此仿真實(shí)驗(yàn)中，文中提出的切換控制策略優(yōu)于PID控制器。

圖11 仿真結(jié)果

圖12所示為控制策略的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比。由于過零點(diǎn)轉(zhuǎn)速變化細(xì)微，半實(shí)物仿真平臺無法精確檢測到，故圖中曲線在過零點(diǎn)處誤差較大。根據(jù)轉(zhuǎn)速區(qū)域的劃分，在低速區(qū)非線性較強(qiáng)，PID控制策略在接近過零點(diǎn)處的誤差比狀態(tài)反饋控制器大。在中速區(qū)和高速區(qū)，PID控制器和狀態(tài)反饋切換控制器的跟蹤效果都優(yōu)于低速區(qū)。根據(jù)表2及圖12可知：狀態(tài)反饋控制器的誤差平均值為0.023 241 rad/s，優(yōu)于PID控制策略。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于狀態(tài)反饋控制器的切換控制策略與PID控制器相比，速度跟蹤效果提升了約4%。

表2 仿真及實(shí)驗(yàn)誤差分析

圖12 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 結(jié)論

文中基于伺服系統(tǒng)的非線性Bode圖，得到其頻域特性會隨著轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化。針對切換系統(tǒng)的抖振問題，在模擬退火算法中引入平坦性算法，對子系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識，由此建立了伺服系統(tǒng)的切換模型，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器的切換控制策略。仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：建立的切換模型比傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型更加精確?；谇袚Q模型的切換控制器能實(shí)現(xiàn)精確跟蹤，尤其在非線性強(qiáng)的低速區(qū)，跟蹤效果優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制器。