? 安徽省臨泉第一中學(xué) 牛 明

數(shù)學(xué)承載著思想和文化,通盤滲透“數(shù)學(xué)文化”是人教版教材非常鮮明的特色.數(shù)學(xué)文化在人教版教材中主要體現(xiàn)在三個方面:數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)思想和方法.本文中基于人教版教材分析數(shù)學(xué)文化融入函數(shù)主題的情境設(shè)計.

1 銜接單元:一元二次函數(shù)、方程和不等式

文化素材:ag糖水中含有bg糖,若再添加mg糖,生活常識告訴我們糖水會更甜.根據(jù)這個生活常識,你能提煉出一個不等式嗎?并給出證明.

2 函數(shù)

文化素材:(1)對函數(shù)概念的再認(rèn)識(函數(shù)起始課);(2)函數(shù)概念的形成與發(fā)展(數(shù)學(xué)文化專題).

設(shè)計意圖：介紹函數(shù)概念發(fā)展的歷程.第一階段,解析式表示的函數(shù).函數(shù)萌芽于17世紀(jì),伽利略對運(yùn)動學(xué)的研究,促進(jìn)了笛卡兒對動點軌跡的研究.函數(shù)是用運(yùn)動、變化的觀點研究客觀世界中相互關(guān)聯(lián)的量之間的依賴關(guān)系.第二階段,18世紀(jì)伯努利和學(xué)生歐拉給出的函數(shù)概念.這個階段的函數(shù)概念很接近初中的定義,突出函數(shù)是變量的依賴關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系.概念中有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)胤?如“變量x的每一個值”中變量在什么范圍內(nèi)取值?在什么范圍內(nèi)變化?第三階段,20世紀(jì)初美國的維布倫將變量的取值范圍看成集合.將函數(shù)看成兩個集合之間的對應(yīng)關(guān)系,得到高中函數(shù)的定義.第四階段,現(xiàn)代函數(shù)的應(yīng)用已滲透到數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、自然科學(xué)乃至人文科學(xué)的各個領(lǐng)域中,由于物理學(xué)的推動和數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要,函數(shù)概念也有了新發(fā)展,出現(xiàn)測度函數(shù)、廣義函數(shù)等新的研究分支.

3 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

3.1 冪函數(shù)

文化素材:(1)指數(shù)冪概念的推廣;(2)冪函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用.

設(shè)計意圖：(1)理解用有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪的數(shù)學(xué)思想方法;(2)教材結(jié)合物理知識探究“小水滴掉不下來形成霧的原因”,得到三種正整數(shù)次冪函數(shù),又結(jié)合“點光源發(fā)出強(qiáng)度與距離x的平方成反比”引出負(fù)整數(shù)次冪函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.

3.2 指數(shù)函數(shù)

文化素材:教材例舉了大量指數(shù)爆炸和指數(shù)衰減的現(xiàn)實素材,如C14的指數(shù)式衰減用于考古學(xué)檢測生物體死亡時間,核鈾變、GDP是指數(shù)式增長模型,等等.

設(shè)計意圖：激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活,同時又指明研究的對象.引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,經(jīng)歷分析問題的過程,直至解決問題,讓數(shù)學(xué)成為刻畫現(xiàn)實世界運(yùn)動變化的工具.

3.3 對數(shù)函數(shù)

文化素材:鈷60射線穿過鉛板后強(qiáng)度指數(shù)式衰減,已知強(qiáng)度比,求鉛板厚度;介紹對數(shù)發(fā)明者納皮爾;用對數(shù)計算地震震級;數(shù)學(xué)文化專題——歷史上的對數(shù).

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)問題情境,從實際應(yīng)用中引出一種新的運(yùn)算——對數(shù)運(yùn)算;附加式融入數(shù)學(xué)史,介紹數(shù)學(xué)家;例題中滲透對數(shù)的實際應(yīng)用;以數(shù)學(xué)文化專題的形式介紹對數(shù)發(fā)展史.

3.4 函數(shù)與方程

文化素材:方程的根與函數(shù)的零點;用二分法求方程的近似解.

設(shè)計意圖：介紹函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;教材中以檢修電路創(chuàng)設(shè)生活情境,從中抽象出二分法求解方程近似解的數(shù)學(xué)思想.注重知識的應(yīng)用背景,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活,是對現(xiàn)實的高度抽象,體會逼近的數(shù)學(xué)思想.

3.5 函數(shù)模型及其應(yīng)用

文化素材:(1)幾種函數(shù)增長快慢的比較.例舉大量生活案例(如城市的電話號碼升級、合理編排辭典查單詞的工作量、互聯(lián)網(wǎng)搜索),使學(xué)生進(jìn)一步體會“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”,并對不同函數(shù)增長的差異形成鮮明的認(rèn)知.(2)數(shù)學(xué)應(yīng)用——形形色色的函數(shù)模型.(3)習(xí)題——函數(shù)增長快慢與圖象的凹凸性.

設(shè)計意圖：(1)人教版教材在編寫時,在語言上適度口語化,盡量用貼近學(xué)生生活和情感的、通俗易懂的語言來講明數(shù)學(xué)內(nèi)容最精華的內(nèi)核.這節(jié)課以函數(shù)運(yùn)動會的形式來表現(xiàn)不同類型函數(shù)增長的快慢,這樣的呈現(xiàn)新穎活潑、趣味盎然.具體分為四部分,即問題引入、同組比賽、不同組比賽、函數(shù)增長速度變化.利用信息技術(shù)將圖象延伸,展示各函數(shù)的走勢與整體,就能比較得出結(jié)論.借助圖象可以比較直觀地看出不同函數(shù)增長的快慢,但這還不夠,還需要從定量的角度展開研究.利用定性與定量相結(jié)合的研究方式,感知并理解不同函數(shù)的增長差異.(2)數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式,教師要鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題,進(jìn)而構(gòu)建模型、確定參數(shù)、計算求解、驗證結(jié)果、改進(jìn)模型,最終解決實際問題.學(xué)生經(jīng)歷有聲有色的數(shù)學(xué)建模過程,有助于發(fā)展問題意識和創(chuàng)新意識,并內(nèi)化為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).(3)習(xí)題設(shè)計:

向高為H的水瓶中注水,注滿為止.如果注水量V和水深h的關(guān)系如圖1所示,那么水瓶的形狀是( ).

圖1

在習(xí)題中滲透數(shù)學(xué)史:琴生(Jensen)不等式.函數(shù)“越跑越快”,滿足不等式

函數(shù)“越跑越慢”滿足不等式

4 三角函數(shù)

文化素材:(1)弧度制的引入;(2)弧度制和角度制互化;(3)習(xí)題——航海上最初規(guī)定地球子午圈的1分弧長為1海里,根據(jù)此規(guī)定計算1海里的長度;(4)正弦型函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的應(yīng)用模型,參數(shù)A,ω,φ的物理意義.

5 三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

文化素材:(1)例1研究單擺小球離開平衡位置時的位移隨時間呈周期性變化的問題;例2以摩天輪為現(xiàn)實背景,經(jīng)歷勻速圓周運(yùn)動的數(shù)學(xué)建模過程.(2)數(shù)學(xué)文化專題——三角學(xué)的歷史.

設(shè)計意圖：(1)三角函數(shù)的應(yīng)用問題大致分為三類.第一類是勻速圓周運(yùn)動問題,如摩天輪、筒車的勻速圓周運(yùn)動的問題;第二類是簡諧振動(單擺、彈簧等)、聲波、交變電流等物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象的刻畫;第三類是取材于現(xiàn)實生活的近似周期問題,如潮汐問題等.教材通過兩個典型例題,讓學(xué)生體會圓周運(yùn)動與三角函數(shù)模型之間的內(nèi)在聯(lián)系,感受數(shù)學(xué)建模思想,增強(qiáng)應(yīng)用意識.(2)滲透三角學(xué)數(shù)學(xué)史.三角學(xué)是研究三角函數(shù)和解三角形的數(shù)學(xué)分支.它的發(fā)展和天文學(xué)、幾何學(xué)有著不可分割的關(guān)系.其發(fā)展分為三個時期——早期三角學(xué)隸屬于天文學(xué),起源于對三角形邊角關(guān)系的定量考察;后來三角學(xué)脫離天文學(xué)而獨立,成為數(shù)學(xué)的一個分支,這一時期里編制了大量的三角函數(shù)表;第三時期歐拉首先提出三角函數(shù)的概念,使三角學(xué)從靜止地研究解三角形問題,發(fā)展到用三角函數(shù)去反應(yīng)運(yùn)動和變化的過程.三角學(xué)進(jìn)一步演變?yōu)檠芯咳呛瘮?shù)的三角學(xué),并成為分析學(xué)的一個分支.

每個數(shù)學(xué)知識發(fā)現(xiàn)的過程,一定是數(shù)學(xué)家醉心發(fā)現(xiàn)、探究的過程,源于數(shù)學(xué)之美對人類的召喚.一線教師要研讀教材中數(shù)學(xué)文化內(nèi)容,多閱讀數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)名著以及數(shù)學(xué)哲學(xué)方面的書籍,提升自身數(shù)學(xué)文化素養(yǎng),并將其適當(dāng)?shù)貪B透到教學(xué)中.