? 江蘇省東??h第二高級中學 胡陳梅
平面向量的范圍與最值問題是熱點問題,也是難點問題.此類問題綜合性強,體現(xiàn)了知識的交匯整合,其基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值,比如,向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等;解決思路是建立目標函數(shù)的解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時向量兼有“數(shù)”與“形”雙重身份,故平面向量的范圍與最值問題的另一種思路是數(shù)形結(jié)合.
題型1與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)問題
圖1
分析:根據(jù)題設(shè)條件,通過平面向量的線性表示與轉(zhuǎn)化,利用線性組合的構(gòu)建,結(jié)合三點共線的等價條件得到系數(shù)x,y之間的等量關(guān)系,代入目標關(guān)系式進行消參處理,進而利用基本不等式加以放縮處理,得以確定系數(shù)關(guān)系式的最值問題.
感悟提升:解此類問題一般分兩步走.第一步,利用平面向量的運算、性質(zhì)等將問題中的系數(shù)等相關(guān)信息轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系;第二步,運用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.
圖2
題型2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題
分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cosα,借助兩向量的夾角的構(gòu)建與應(yīng)用來合理變形與轉(zhuǎn)化,通過平面幾何思維來直觀,有時也是解決此類問題時比較常用的一種技巧方法.這里要注意的是平面向量的夾角應(yīng)與平面幾何中的對應(yīng)角加以聯(lián)系,結(jié)合圖形直觀來分析即可.
圖3
感悟提升:求數(shù)量積的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)坐標法.通過建立直角坐標系,運用向量的坐標運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理;(2)向量法.運用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識解決.
題型3與模有關(guān)的最值(范圍)問題
例3已知平面向量a,b,c滿足|a|=1,b·c=0,a·b=1,a·c=-1,則|b+c|的最小值為( ).
分析:根據(jù)平面向量的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)屬性,構(gòu)建平面直角坐標系,合理引入平面向量的坐標,利用平面向量中的相關(guān)要素,轉(zhuǎn)化為涉及坐標的函數(shù)、方程或不等式等,進而從代數(shù)視角來數(shù)學運算與邏輯推理.這里通過平面向量所對應(yīng)的坐標的構(gòu)建,利用題設(shè)條件確定對應(yīng)坐標的關(guān)系式,再利用基本不等式、三角函數(shù)的應(yīng)用等來確定最值.
解析:在平面直角坐標系xOy中,設(shè)向量a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),如圖4所示.
圖4
感悟提升:求向量模的最值(范圍)的方法通常有兩種.(1)代數(shù)法.把所求的模表示成某個變量的函數(shù),或通過建立平面直角坐標系,借助向量的坐標表示;需要構(gòu)造不等式,利用基本不等式、三角函數(shù),再用求最值的方法求解.(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法).弄清所求的模表示的幾何意義,注意題目中所給的垂直、平行,以及其他數(shù)量關(guān)系,合理的轉(zhuǎn)化,使得過程更加簡單;結(jié)合動點表示的圖形求解.
針對訓練若向量a,b互相垂直,且滿足(a+b)·(2a-b)=2,則|a+b|的最小值為( ).
題型4與夾角有關(guān)的最值(范圍)問題
例4平面向量a,b滿足|a-b|=3,|a|=2|b|,則a-b與a夾角最大時,|a|為( ).
分析:根據(jù)題設(shè),由平面向量的數(shù)量積運算加以合理變形與轉(zhuǎn)化,通過平面向量的夾角公式合理消參,利用基本不等式的應(yīng)用進行放縮,進而確定夾角的余弦值的最小值,利用三角函數(shù)的性質(zhì)來進一步分析與處理.
感悟提升:求夾角的最值(范圍)問題時,往往要選取對應(yīng)夾角的三角函數(shù)值,以選取夾角余弦值為主,通過余弦值的三角函數(shù)表達式,利用關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進行求解.
平面向量中的最值(范圍)問題,是高考對平面向量比較常見的考查形式之一,也是??汲P碌幕究键c之一,主要考查的知識點涉及平面向量的模、坐標、夾角、數(shù)量積以及相關(guān)的參數(shù)等.在實際解答與應(yīng)用時,挖掘題目內(nèi)涵,結(jié)合題意,從平面向量的本質(zhì)出發(fā),選取函數(shù)法、三角法、不等式法、圖形法等行之有效的基本方法來解決,進而達到解決相關(guān)的最值(范圍)問題的目的.