? 天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué) 宋亞南 韓雅凝 肖偉華

? 天津市第七中學(xué) 李耀鵬

試題命制是一項(xiàng)系統(tǒng)性較強(qiáng)的工作,具有一定的難度和挑戰(zhàn)性.命題者在高考試題的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編,以中國(guó)“航天夢(mèng)”為載體,通過(guò)教科書(shū)封面的引入,將飛行器軌跡與橢圓方程緊密銜接,揭示了數(shù)學(xué)與天文學(xué)的緊密聯(lián)系.改編題目考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1 改編題目及原題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程;

(2)直線l:y=kx+m(m≠1)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求證:直線l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

原題(2022·浙江·高考卷第21題)

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

2 試題命制過(guò)程

中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中明確指出,需要通過(guò)設(shè)計(jì)生活實(shí)踐情境和學(xué)習(xí)探索情境作為載體,實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生學(xué)科基本概念、原理、技能和思維方法的考查和選拔.中國(guó)航天飛行器的運(yùn)動(dòng)軌跡是以地球?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓,在解析幾何試題編制過(guò)程中以此為情境進(jìn)行切入.

2.1 改編題第(1)問(wèn)第一稿

天宮一號(hào),為中國(guó)載人航天工程發(fā)射的第一個(gè)目標(biāo)飛行器,是中國(guó)第一個(gè)空間實(shí)驗(yàn)室,它圍繞地球飛行的軌跡可近似看作一個(gè)橢圓(圖1).在手機(jī)地圖(圖2)中,可隨時(shí)查看中國(guó)空間站飛行運(yùn)動(dòng)的基本數(shù)據(jù),且實(shí)時(shí)進(jìn)行更新.

圖1

(1)求橢圓C的方程.

說(shuō)明：?jiǎn)栴}情境中提到了天宮一號(hào)的運(yùn)行軌跡和手機(jī)地圖中呈現(xiàn)的中國(guó)空間站飛行運(yùn)動(dòng)的基本數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)過(guò)多不易理清頭緒,所以不宜采用.參考人教A版選擇性必修第一冊(cè)教科書(shū)第115頁(yè)第7題、第145頁(yè)第1題,題目中涉及到了“近日(地)點(diǎn)”“遠(yuǎn)日(地)點(diǎn)”的概念,并提到了離心率,于是再做修改.

2.2 改編題第(1)問(wèn)第二稿

(1)求橢圓C的方程.

2.3 改編題第(1)問(wèn)第三稿

(1)求橢圓C方程.

說(shuō)明：通過(guò)“相似橢圓”這個(gè)概念,將空間站運(yùn)行的軌道方程與題目中橢圓C的方程相結(jié)合.其中,特征三角形的定義源于人教A版選擇性必修第一冊(cè)教科書(shū)第106頁(yè)的“思考”.這個(gè)過(guò)程既有對(duì)新定義的理解,也將中國(guó)空間站這一情境創(chuàng)設(shè)與橢圓C方程結(jié)合起來(lái),激發(fā)出學(xué)生對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”“航天夢(mèng)”的熱情,符合“課程思政”的理念.

2.4 改編題第(2)問(wèn)第一稿

參考2022年浙江高考第21題,改編試題時(shí)將第(2)問(wèn)分解為兩個(gè)小問(wèn),得到初稿.

(2)直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求直線AB的方程;

說(shuō)明：令直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1),其斜率為定值1,目的是減少運(yùn)算量,解得m=-3,不滿足直線AB:y=x+m(m≠0,m≠1)與橢圓C聯(lián)立之后的判別式Δ>0的范圍,這與直線AB和橢圓交于A,B兩點(diǎn)矛盾,所以進(jìn)行修改.

2.5 改編題第(2)問(wèn)第二稿

(2)直線l:y=kx+m(m≠1)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB的斜率分別記為k1,k2.

①若k1k2=1,求證:直線AB過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

說(shuō)明：直線l:y=kx+m(m≠1)包含兩個(gè)參數(shù)k,m,在化簡(jiǎn)的過(guò)程中消去k,最終化簡(jiǎn)成為只含有m的表達(dá)式,這個(gè)運(yùn)算過(guò)程和第一稿中已知斜率k=1時(shí)的計(jì)算量差別不大.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一,故將題目改成直線l:y=kx+m(m≠1)過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

3 改編題第(2)問(wèn)解題分析的思維導(dǎo)圖

(Ⅰ)改編題第(2)問(wèn)中第①問(wèn)解題分析的思維導(dǎo)圖如圖3所示.

(Ⅱ)改編題第(2)問(wèn)中第②問(wèn)解題分析的思維導(dǎo)圖如圖4所示.

圖4

如何通過(guò)選取適宜的素材,創(chuàng)設(shè)合適的科學(xué)情境,在真實(shí)的背景下發(fā)揮核心價(jià)值的引領(lǐng)作用,運(yùn)用必備知識(shí)和關(guān)鍵能力去解決實(shí)際問(wèn)題,全面展現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)水平,這確實(shí)是一個(gè)值得研究的方向.教師不僅要具備精湛的命題技術(shù)還要具備深厚的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),并要密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,善于將生活情境、社會(huì)熱點(diǎn)融入到試題命制當(dāng)中,注重提升學(xué)生的思維品質(zhì),以推動(dòng)學(xué)生全面發(fā)展.