? 四川省溫江中學(xué) 王奮際 張 君 楊永清

2023年高考早已落下帷幕,筆者作為一線數(shù)學(xué)教師,結(jié)合自己和部分同行做全國甲卷理科數(shù)學(xué)試題的感受,以及筆者的學(xué)生在考場上和考后的感受,對2023年全國甲卷數(shù)學(xué)理科試題進行評析與反思.筆者所在學(xué)校的學(xué)生大致處于中等及中等偏上的水平,對試卷整體的感受有一定的代表性.

1 全面考查而重點突出

2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)理科試題較2022年甲卷數(shù)學(xué)理科試題,難度有所增加,但總體保持平穩(wěn).試卷沒有偏題、怪題,注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀理解難度,與2022年甲卷(約1 600字)相比,2023年甲卷約1 300字,減少約19%.但題目簡潔不等于試題簡單,表面看平平無奇,內(nèi)里卻蘊含深刻思想.

1.1 知識考查有重點

統(tǒng)觀全卷,全面考查高中數(shù)學(xué)知識,分布合理,兼顧基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性.某些板塊與其他板塊聯(lián)系廣泛,比如三角函數(shù)板塊,第7,10,11,12,13,16,21等近三分之一的題目都不同程度對其進行了考查.

1.2 素養(yǎng)考查有側(cè)重

喻平教授指出:“邏輯推理、直觀想象是基礎(chǔ),數(shù)學(xué)運算是媒介,數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析是應(yīng)用,其本質(zhì)是數(shù)學(xué)抽象.”可見,六大核心素養(yǎng)聯(lián)系緊密,亦有側(cè)重.

令人印象最深刻的有兩點:一是直觀想象素養(yǎng)的考查,以第11,18題為代表的立體幾何題目,讓學(xué)生暴露出不少問題,學(xué)生不甚適應(yīng),考后普遍感覺難算、難想;二是數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查貫穿全卷,學(xué)生普遍反映選填題運算較花時間,個別學(xué)生甚至因為選填題用時過多,導(dǎo)致解答題時間不足.

1.3 難度設(shè)置反套路

全卷送分題不多,都需要一定的運算與思維,但難度特別大的題目沒有.單獨看選擇題第12題、填空題第16題等傳統(tǒng)意義上的壓軸題,難度并不大;第1題開始就體現(xiàn)了一定的抽象性,第10,11題難度適中,基本與第12題持平;學(xué)生原本認(rèn)為應(yīng)該容易“過關(guān)”的第18題難度陡升,對學(xué)生心理素質(zhì)和臨場決策能力是一個巨大的考驗.

1.4 情感態(tài)度價值觀

情境創(chuàng)設(shè)方面,全卷堅持立德樹人,緊跟時代大潮.第6題以滑雪為背景,呼應(yīng)2022年北京冬奧會后的冰雪經(jīng)濟;第9題以志愿者公益活動為背景,引導(dǎo)服務(wù)社會的意識;第19題以研究臭氧效應(yīng)的科學(xué)實驗為背景,引導(dǎo)環(huán)境保護的意識.

全卷服務(wù)于優(yōu)秀創(chuàng)新人才的選拔.第10,11,21題都有一定的創(chuàng)新性,思維難度大,運算量也大,要求學(xué)生兼具創(chuàng)新品質(zhì)與堅強意志.

反思與啟示1:注重知識跨板塊、跨學(xué)科的遷移應(yīng)用.如,三角函數(shù)、平面向量等.事實上,人教A版高中數(shù)學(xué)(2019年)新教材不僅增加了很多實際應(yīng)用例子,還專門設(shè)置了數(shù)學(xué)探究欄目,比如在數(shù)學(xué)必修第二冊中就有“用向量法研究三角形的性質(zhì)”探究欄目.

反思與啟示2:對學(xué)生臨場決策能力的訓(xùn)練很重要,如改變解答題出現(xiàn)順序、不同難度題目出現(xiàn)順序、難題對應(yīng)知識板塊等,讓學(xué)生對高考試卷的變化有心理準(zhǔn)備.

反思與啟示3:在平時教學(xué)中注重結(jié)合正能量、社會熱點情境,關(guān)注教材中有現(xiàn)實背景的例題教學(xué).如,一般科學(xué)實驗的方法、個人所得稅納稅方式等.

2 立體幾何中的反套路

本套試卷的立體幾何題成為學(xué)生答題過程中的攔路虎.普遍反映選擇題中第11題比第12題更難,解答題中第18題讓很多學(xué)生不知該用哪種方法,決策困難,影響全卷答題.

第18題:如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.

圖1

(1)證明:A1C=AC;

(2)已知AA1與BB1的距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

此題第(1)問的難點在于條件“A1到平面BCC1B1的距離為1”,同時一條棱長未知.對于線面距離的處理,切入點較多,但每個切入點又都有其難度,學(xué)生在選擇方法時容易陷入困難.

圖2

代數(shù)角度:以C為原點,CA,CB,CA1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,但CA,CB的長度未直接給出,需要先設(shè)未知數(shù),通過列方程組解得,部分考生在考場上難以準(zhǔn)確算出答案.

此題第(2)問也可以從兩個角度分別思考.

本題的解答,綜合運用幾何和代數(shù)兩種方法,可使解題過程得到最大的簡化,充分體現(xiàn)立體幾何的考查要有幾何味,不能一味靠建立坐標(biāo)系來解答.

反思與啟示4:在教學(xué)中,采用單元整體教學(xué),幫助學(xué)生建立知識的整體架構(gòu)并體會研究問題的一般觀念,正如章建躍博士談到的“研究對象在變,研究套路不變,思想方法不變”,讓學(xué)生掌握并熟練應(yīng)用這些“不變”的思想方法.學(xué)生不能因為學(xué)習(xí)了空間直角坐標(biāo)系,就忽略研究幾何問題的一般方法.

3 處處可見的數(shù)學(xué)運算

數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)是六大核心素養(yǎng)的媒介,本套試卷重點進行了考查,計算量較以往增加了不少,特別是選填題部分,給考生的時間分配提出了挑戰(zhàn).

(1)求p;

此題第(2)問條件簡潔,圖形簡單,比較容易入手選擇面較廣,可以設(shè)直線MN的方程,也可以設(shè)點M,N的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為不等式求最值問題,還可以考慮用拋物線焦半徑公式或極坐標(biāo)解題,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題,但具體操作時又會遇到不同的情況.

圖3

反思與啟示5:新課程標(biāo)準(zhǔn)指出,數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)包括理解運算對象、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等.因此,教學(xué)中除了訓(xùn)練數(shù)學(xué)運算的速度、熟練度外,還要培養(yǎng)合理選擇運算方法和程序的能力.比如,從幾何、代數(shù)、數(shù)形結(jié)合等不同角度思考問題;利用函數(shù)、向量、不等式、三角函數(shù)等不同的數(shù)學(xué)工具完成計算.

4 關(guān)注數(shù)據(jù)分析的過程

本套試卷對概率統(tǒng)計的考查,給出了列聯(lián)表的生成過程,統(tǒng)計味十足.

如,第19題,難度不大,展現(xiàn)了一個簡單的科學(xué)實驗過程,如何將連續(xù)數(shù)據(jù)(體重增加量)轉(zhuǎn)化為二元分類數(shù)據(jù)(是否小于中位數(shù)),再利用卡方檢驗回答“小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量是否有差異”的問題.“小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量是否有差異”是沒有固定答案的,如果改變數(shù)據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn),如用下四分位數(shù)、上四分位數(shù)等代替中位數(shù),可能得到不同的結(jié)果.

無獨有偶,2023年新高考Ⅱ卷19題也是關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)的選定,題目告訴考生:沒有一個臨界值能夠做到不誤診、不漏診,只能盡量滿足少誤診、少漏診.

反思與啟示6:統(tǒng)計學(xué)的學(xué)科邏輯與其他高中數(shù)學(xué)內(nèi)容不一樣,推理方法上屬于不完全歸納,統(tǒng)計推斷有可能犯錯,結(jié)論具有不確定性,統(tǒng)計對結(jié)論的判斷標(biāo)準(zhǔn)有好與壞之分,而非對與錯.教學(xué)中讓學(xué)生準(zhǔn)確理解統(tǒng)計思想,有助于考場上迅速理解題意.

5 抓基礎(chǔ)促進綜合能力

全卷落實“四翼”考查要求.以綜合性的考查為例,第10題則綜合了三角函數(shù)圖象與直線方程,第21題則綜合了導(dǎo)數(shù)、不等式和三角函數(shù).但筆者認(rèn)為,基礎(chǔ)性、綜合性、創(chuàng)新性與應(yīng)用性的考查并不獨立.

(1)當(dāng)a=8時,討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)

此題第(2)問是典型的恒成立求參數(shù)范圍問題,學(xué)生從高一學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容開始,就知道此類問題可以含參討論或分離參數(shù),學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后還可以靈活選擇切線等更多方法,這些都是高中數(shù)學(xué)解題的“童子功”,體現(xiàn)了基礎(chǔ)性.同時,三角函數(shù)最具特點的性質(zhì)有周期性、有界性等,抓住特點解題就不難,這是需要學(xué)生建立的基本觀念.

反思與啟示7:本題的解答,切入點是高中數(shù)學(xué)同類問題的基本方法,利用三角函數(shù)的核心性質(zhì),解題時可以用到換元、數(shù)形結(jié)合、研究特殊點、放縮、洛必達法則等常用技巧.教學(xué)中,綜合性難題的突破應(yīng)該是建立在基礎(chǔ)知識、基本技能之上的.這也是新課程提出的,讓學(xué)生明確研究一個對象的基本套路,在一般觀念下研究數(shù)學(xué)對象.

綜上所述,2023年全國甲卷數(shù)學(xué)理科試題體現(xiàn)了新課程理念,為一線教師指明了教學(xué)方向,是一套精彩的好試卷.