? 江蘇省常熟市滸浦高級中學(xué) 李寶香

函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,也是高考的核心考點,二者既相互聯(lián)系又相互區(qū)別.它們與其他知識點也有著密切的聯(lián)系,學(xué)好這部分知識點對學(xué)生提高數(shù)學(xué)水平、提升數(shù)學(xué)能力都有著非常重要的意義.方程與函數(shù)相結(jié)合的題目比較靈活,學(xué)生解題時常常因為找不到合適的切入點而望而卻步.數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法,其在解決函數(shù)與方程問題中有著重要的應(yīng)用.日常教學(xué)中,教師應(yīng)讓學(xué)生充分體會函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化關(guān)系,重視啟發(fā)學(xué)生借助圖象的直觀來解決一些抽象的方程、不等式、函數(shù)單調(diào)性等問題,以此提高解題效率.下面筆者結(jié)合實例談?wù)勛约涸谶@部分知識教學(xué)時的一些心得體會,若有不足,請指正.

1 利用數(shù)形結(jié)合思想研究一元二次方程的根的分布問題

方程的根與函數(shù)的零點既是高中數(shù)學(xué)的重點,也是難點.在這部分知識教學(xué)中,教師應(yīng)重視基礎(chǔ)知識的講解,讓學(xué)生理解并掌握二者之間的等價關(guān)系,并學(xué)會用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題,感悟數(shù)形結(jié)合思想方法在解決此類問題中的價值,發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.1 探尋基礎(chǔ),溝通聯(lián)系

在函數(shù)與方程的教學(xué)中,教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生將方程中的相關(guān)結(jié)論用函數(shù)圖象來表達,以此將方程的根與函數(shù)的零點建立聯(lián)系,通過數(shù)形結(jié)合,讓學(xué)生深刻理解二者的等價關(guān)系,從而為后期的應(yīng)用奠基.

設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,且x1≤x2,有以下重要結(jié)論.

根據(jù)結(jié)論1,結(jié)合二次函數(shù)圖象得到函數(shù)零點的分布情況,如圖1.

圖1

同理,結(jié)合結(jié)論1的研究經(jīng)驗,根據(jù)結(jié)論2可以得到對應(yīng)的二次函數(shù)圖象,如圖2.

圖2

圖3

圖4

“數(shù)”與“形”建立聯(lián)系,為研究方程的根的分布情況帶來了便利,促進了學(xué)生高階思維能力的發(fā)展.

1.2 靈活應(yīng)用,深化認知

例1假設(shè)x2-2(m-1)x+2m+6=0.

(1)如果方程有兩個根均大于0,求實數(shù)m的取值范圍;

(2)如果方程的兩個根一個比1大,一個比1小,求實數(shù)m的取值范圍;

(3)如果方程的兩個根均大于1,求實數(shù)m的取值范圍.

問題給出后,教師讓學(xué)生獨立完成.教師巡視,發(fā)現(xiàn)大多學(xué)生選擇運用初中所學(xué)的方程知識來求解.有的因為運算復(fù)雜而望而卻步,有的因為漏解最終導(dǎo)致結(jié)果錯誤,解題效果一般.在解決此類問題時,教師要引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想,借助圖形的直觀去研究已知,探尋未知,有效避免錯誤的發(fā)生.

教學(xué)中,教師選擇了一些典型性解答過程進行展示,以下是學(xué)生給出的解問題(3)的解答過程.

所以m≥5.

在此基礎(chǔ)上,教師可以引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)零點分布的知識重新思考問題(1)和問題(2),以此通過對比分析發(fā)現(xiàn)不同解法的優(yōu)缺點.以上問題求解后,教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生向一般轉(zhuǎn)化,思考這樣幾個問題:已知方程ax2+bx+c=0(a>0)有兩個根.若方程有兩個正根,此時應(yīng)滿足什么條件?若方程兩根都比m大,又應(yīng)滿足什么條件呢?若方程一個根比m大,另一個根比m小呢?由此通過由特殊到一般的轉(zhuǎn)化,幫助學(xué)生總結(jié)二次函數(shù)零點分布的解法,提高學(xué)生解題技能.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,不應(yīng)僅將目光聚焦于問題解決上,還應(yīng)思考問題解決過程中涉及的數(shù)學(xué)思想方法,讓學(xué)生學(xué)會從整體、全局的角度去思考問題,通過深入探究提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

2 利用數(shù)形結(jié)合思想解方程和不等式

函數(shù)是方程與不等式的擴展,三者相互溝通、相互轉(zhuǎn)化.談起解方程,大家腦海中大多浮現(xiàn)的是解一元一次方程、一元二次方程(組),其實方程的類型遠不止于此,有些方程直接求解可能很難找到合理的切入點,需要將其轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用函數(shù)思想求解往往可以事半功倍.其實,在研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等一些特殊形式的函數(shù)時,都會要求學(xué)生畫出這些函數(shù)的圖象,然后運用一些特殊方程與函數(shù)的交點問題來研究方程的根.

3 利用數(shù)形結(jié)合思想研究函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個難點內(nèi)容.之所以難是因為函數(shù)單調(diào)性的概念比較抽象,部分學(xué)生直接應(yīng)用定義法研究函數(shù)單調(diào)性時容易遇到障礙,從而影響解題效果.其實我們在學(xué)習(xí)新函數(shù)時,都會研究其圖象,然后根據(jù)函數(shù)圖象研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).因此,在研究初等函數(shù)或者由初等函數(shù)復(fù)合而來的函數(shù)的單調(diào)性問題時,可以結(jié)合函數(shù)圖象來分析,以此借助“形”的直觀讓問題更加形象,消除學(xué)生的畏難情緒,提高解題信心.

例2求函數(shù)y=x|x|-2|x|的單調(diào)區(qū)間.

數(shù)形結(jié)合在研究函數(shù)與方程問題中有著重要的應(yīng)用,若在教學(xué)中合理加以利用可以淡化數(shù)學(xué)的抽象性,幫助學(xué)生更好地理解知識、解決問題,提高解題信心.因此,在課堂教學(xué)中,教師不僅要講授知識,還要滲透思想與方法,以此提高教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).