? 安徽省臨泉第一中學(xué) 潘宏俊

高中數(shù)學(xué)試題中,經(jīng)常會(huì)碰到一些“三次”問(wèn)題(主要涉及三次方程或三次函數(shù)等).涉及此類的“三次”問(wèn)題,設(shè)置的思維方式就是利用“降次”,將“三次”問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化為“二次”問(wèn)題,借助數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化,往往導(dǎo)致解題過(guò)程比較繁瑣,運(yùn)算量比較大,給問(wèn)題的分析與解決造成困難.

有時(shí)利用相應(yīng)的三次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)分析與解決此類“三次”問(wèn)題,處理起來(lái)更加直接有效,簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,因此,基于高中數(shù)學(xué)教材中的“閱讀與思考”欄目,充分挖掘其應(yīng)用顯得尤為必要.

1 追根溯源

一些高考試題、競(jìng)賽試題的命題背景、知識(shí)應(yīng)用等,都是源于教材,來(lái)自教材中的例(習(xí))題,或基于教材的“思考”“閱讀與思考”等欄目,通過(guò)合理創(chuàng)設(shè),進(jìn)一步加以轉(zhuǎn)化、深入、變形、拓展與提升,實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的應(yīng)用.

〔人民教育出版社2019年人教A版《數(shù)學(xué)(必修第二冊(cè))》第七章“復(fù)數(shù)”第81頁(yè)閱讀與思考——代數(shù)基本定理〕設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0=0(a3≠0)在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為x1,x2,x3,可以得到

以上對(duì)應(yīng)的三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,就是三次方程的韋達(dá)定理,是二次方程的韋達(dá)定理的深入與拓展,為高考命題與競(jìng)賽命題提供了更多的場(chǎng)景與應(yīng)用.

2 應(yīng)用例析

三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理,在解決一些“三次”問(wèn)題中有奇效,可以很好地優(yōu)化解題過(guò)程,提升解題效益.

2.1 代數(shù)式的求值問(wèn)題

例1(2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽)若x1=1,x2=1-i,x3=1+i(i為虛數(shù)單位)為方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)解,則a+b-c=______.

分析：根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,正確建立三次方程對(duì)應(yīng)系數(shù)的方程組,進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)系數(shù)的值,為相應(yīng)代數(shù)式的求值提供條件.

解析：依題意,利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得

解得a=-3,b=4,c=-2.

所以a+b-c=-3+4+2=3.故填:3.

點(diǎn)評(píng)：在已知三次方程的三個(gè)根或三次函數(shù)零點(diǎn)的基礎(chǔ)上,經(jīng)常可以直接利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,建立對(duì)應(yīng)系數(shù)與三個(gè)根或零點(diǎn)之間的關(guān)系式,對(duì)于確定系數(shù)值、代數(shù)式的值以及與之相關(guān)問(wèn)題的應(yīng)用等,都可以起到很好的作用.

2.2 系數(shù)范圍的確定問(wèn)題

例2(2020屆“超級(jí)全能生”浙江省高三3月模擬C卷)已知a,b∈R,函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則a+b的取值范圍是( ).

A.(-∞,0) B.(-∞,-1)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,設(shè)出三次函數(shù)的兩個(gè)非零的零點(diǎn),利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,建立相應(yīng)的關(guān)系式,通過(guò)消參把參數(shù)a,b均表示為關(guān)于x1的關(guān)系式,并確定x1的取值范圍,進(jìn)而通過(guò)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題.

解析：由于函數(shù)f(x)=ax3+bx2+x+1(a<0)恰有兩個(gè)零點(diǎn),而f(0)=1,因此可設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)非零的零點(diǎn)分別為x1,x2(不失一般性,不妨設(shè)x1

利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可以得到

故選擇:D.

點(diǎn)評(píng)：在未知三次方程的三個(gè)根或三次函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題中,經(jīng)常借助對(duì)應(yīng)根或零點(diǎn)的設(shè)置,方便利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,綜合待定系數(shù)法、等量代換等思維方式,合理化歸與轉(zhuǎn)化,為相關(guān)參數(shù)(或參數(shù)式)的取值范圍求解指明方向,思路直接流暢,方法簡(jiǎn)潔明了,操作簡(jiǎn)單快捷.

2.3 三次方程的應(yīng)用問(wèn)題

例3(2023年北京大學(xué)測(cè)試卷)方程組x+y+z=4,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=10的解的個(gè)數(shù)為( ).

A.0 B.3

C.6 D.其他三個(gè)選項(xiàng)均不對(duì)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,直接求解三次方程組存在非常大的困難,而利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,分別確定三個(gè)數(shù)的和、三個(gè)數(shù)兩兩乘積的和以及三個(gè)數(shù)的積,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與三個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)的三次方程問(wèn)題,利用三次方程的確定以及對(duì)應(yīng)根的求解來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,轉(zhuǎn)變視角,迂回解決.

解析：依題意,由(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=6+2(xy+yz+zx)=16,可得xy+yz+zx=5.

又由x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=4×(6-5)=4,可得xyz=2.

點(diǎn)評(píng)：高次方程(三次及以上)的綜合應(yīng)用問(wèn)題,其基本解題思路就是化歸與轉(zhuǎn)化以及“除次”處理.而涉及三次方程的綜合應(yīng)用問(wèn)題,可以直接利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)達(dá)到目的,關(guān)鍵在于構(gòu)建三次方程以及對(duì)應(yīng)系數(shù)與根之間的關(guān)系,巧妙創(chuàng)設(shè)聯(lián)系,構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程或關(guān)系式.

2.4 綜合應(yīng)用的判定問(wèn)題

例4(2023屆廣東省深圳市高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題)(多選題)已知函數(shù)f(x)=x(x-3)2,若滿足f(a)=f(b)=f(c),其中a

A.1

C.a+b>2 D.abc的取值范圍是(0,4)

分析：根據(jù)題設(shè)條件,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,結(jié)合函數(shù)的大致圖象確定f(x)-t=0的三個(gè)根的取值范圍,利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系加以綜合與應(yīng)用,進(jìn)而判定與之相應(yīng)的綜合應(yīng)用問(wèn)題.

解析：由f(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x,借助求導(dǎo)處理,得f′(x)=3x2-12x+9=3(x-3)(x-1).令f′(x)=0,解得x=1或x=3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1)和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).又f(3)=0,f(1)=f(4)=4,則對(duì)應(yīng)f(x)的圖象如圖1所示.

圖1

設(shè)f(a)=f(b)=f(c)=t,數(shù)形結(jié)合可知0

而f(x)-t=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-6x2+9x-t,利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系,可得a+b+c=6,abc=t∈(0,4),故選項(xiàng)B,D正確.

又3

故選擇答案:BCD.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些涉及三次方程或函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題中,合理變形,巧妙轉(zhuǎn)化,將對(duì)應(yīng)問(wèn)題巧妙化歸為相應(yīng)的三次方程或函數(shù)問(wèn)題,進(jìn)而利用三次方程根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)綜合應(yīng)用.這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在,也是問(wèn)題的重要切入點(diǎn)之一.

3 教學(xué)啟示

在新教材、新課程、新高考的“三新”背景下,基于數(shù)學(xué)教材的高考命題成為一個(gè)熱點(diǎn)與基本點(diǎn),數(shù)學(xué)教材也逐漸成為高考命題的一個(gè)重要依托與“源題庫(kù)”.因此,要合理回歸教材,從教材中的基本知識(shí)點(diǎn)入手,深入挖掘教材的典型例(習(xí))題以及一些相關(guān)欄目等,都可以為深度學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考提供有益的材料,在教與學(xué)的過(guò)程中要加以高度重視.