? 北京市通州區(qū)潞河中學(xué) 劉 進(jìn)

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說:“就數(shù)學(xué)本身而言,是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥乏味的人,只是看到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,而沒有體會(huì)出數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)充分發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科的美育價(jià)值,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,從而發(fā)揮學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造力.數(shù)學(xué)美育和藝術(shù)美育具有一定的共性,都要依托可感的美的形象和事物才能實(shí)施,以愉悅的情感體驗(yàn)來感染受教育者.數(shù)學(xué)美育又有其特性,需要充分理解數(shù)學(xué)知識,探討美的形式、美的結(jié)構(gòu)、美的方法、美的過程所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì).下面以“曲線與方程”教學(xué)為例,探索如何以數(shù)學(xué)美育驅(qū)動(dòng)教學(xué).

1 教學(xué)分析

高中生學(xué)習(xí)了圓與方程、圓錐曲線與方程,初步體會(huì)了曲線與方程的關(guān)系.在幾種基本曲線學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,可適當(dāng)引入稍微復(fù)雜的方程,利用方程研究曲線的性質(zhì),開闊思路與眼界.本設(shè)計(jì)從圓的方程x2+y2=1出發(fā),學(xué)生修改方程,用GeoGebra軟件作圖,探索未知曲線,以數(shù)學(xué)美為推動(dòng)力進(jìn)一步研究曲線與方程的關(guān)系.

2 教學(xué)片段

2.1 欣賞——感受美

師:如圖1,這些賞心悅目的圖案實(shí)際上是某類方程的曲線.這些圖形為什么給我們以“美”的感覺?

圖1

生:這些圖形和自然界的某些植物的花朵、葉子、果實(shí)形狀相似.

生:這些圖形具有對稱性,看上去很和諧.

師:我們能否利用已經(jīng)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,創(chuàng)造出一些美麗的曲線呢?

設(shè)計(jì)意圖：以精美的數(shù)學(xué)圖形誘發(fā)學(xué)生的愉悅感,思考美的成因,感受數(shù)學(xué)語言對大自然描述的精準(zhǔn),激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

2.2 探究——發(fā)現(xiàn)美

師:古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說過“一切平面圖形中最美的是圓形”,同時(shí)圓的方程在形式上也是簡潔、對稱、優(yōu)美的.如果適當(dāng)變化圓的方程x2+y2=1,如改變系數(shù)、指數(shù)或者添減、替換某些項(xiàng),對應(yīng)的曲線會(huì)有怎樣的變化?可以用GeoGebra軟件作出相應(yīng)的圖形.

生1:改變方程中x2,y2的系數(shù),得到的方程是橢圓方程,畫出的圖形是橢圓(如圖2).

圖2

生2:改變方程中x,y的指數(shù),可以得到一系列圖形(如圖3).

師:你能總結(jié)出什么規(guī)律?

生1:當(dāng)方程中x,y的的指數(shù)為奇數(shù)或指數(shù)的分子為奇數(shù)時(shí),曲線不是封閉圖形;方程中x,y的指數(shù)為偶數(shù)或指數(shù)的分子為偶數(shù)時(shí),曲線是封閉的圖形.

生2:當(dāng)x與y的指數(shù)相同時(shí),如果指數(shù)為奇數(shù)或指數(shù)的分子為奇數(shù),曲線關(guān)于直線y=x對稱;如果指數(shù)為偶數(shù)或指數(shù)的分子為偶數(shù),曲線關(guān)于x軸、y軸、直線y=±x以及原點(diǎn)對稱;當(dāng)x與y的指數(shù)不相同時(shí),曲線不關(guān)于直線y=x對稱(如圖4).

圖4

生3:當(dāng)x,y的指數(shù)大于1時(shí),曲線在第一象限向外凸,指數(shù)越大,就越向外凸;當(dāng)x,y的指數(shù)小于1時(shí),曲線在第一象限向內(nèi)凹,指數(shù)越小,就越向內(nèi)凹.

(這里的分?jǐn)?shù)指數(shù)均為最簡分?jǐn)?shù).)

師:你能從“方程”的角度解釋這些結(jié)論嗎?

生1:類比研究圓錐曲線的方法,可以說明曲線是否為封閉圖形.例如,將x3+y3=1變形為y3=1-x3,可知y的絕對值隨x的絕對值的增大而增大,可以無限大;將x4+y4=1變形為y4=1-x4,可得x,y的范圍均為[-1,1],所以對應(yīng)的曲線是封閉圖形.

生2:對稱性可以用圓錐曲線中學(xué)到的方法來解釋.例如,若把x換成-x,方程不變,則曲線關(guān)于y軸對稱;將x和y互換方程不變,則曲線關(guān)于直線y=x軸對稱;等等.

生3:凹凸性可以用x,y的范圍來解釋.與線段x+y=1對比,當(dāng)曲線中x,y的指數(shù)小于1時(shí),x,y的絕對值比較小,它們的和就可以達(dá)到1,所以曲線在x+y=1內(nèi)部;當(dāng)曲線中x,y的指數(shù)大于1時(shí),x,y的絕對值比較大,它們的和才可以達(dá)到1,所以曲線在x+y=1外部.如圖5所示.

圖5

師:非常好!改變方程的系數(shù)和指數(shù),圖形仍然具有對稱性,帶給我們美感.還可以怎樣改變方程,得到不同的曲線?

生:還可以在方程中添加某些項(xiàng).例如,添加二次項(xiàng)xy,得到的曲線(如圖6)好像是斜著放置的橢圓.

圖6

師:到底是不是呢?如何來驗(yàn)證?

生:可以嘗試找到焦點(diǎn),證明曲線上任意一點(diǎn)都滿足橢圓的定義;也可以旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸,證明方程是橢圓的方程.

師:還可以對方程作怎樣的改變?

圖7

設(shè)計(jì)意圖：從熟知的圓與方程入手,在改變方程及畫出曲線的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的變化規(guī)律,探討變化中不變的數(shù)學(xué)原理,從而深刻理解曲線與方程的關(guān)系.引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的簡潔美和對稱美,用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,發(fā)現(xiàn)世界.

2.3 變換——?jiǎng)?chuàng)造美

圖8

將曲線方程中的某些項(xiàng)加上絕對值或者將其平方,可以變換得到相應(yīng)的對稱圖形,例如x2+y2-|x|y=1(如圖9-1),(x2+y2)4=x2y2(如圖9-2):

圖9-1

圖9-2

這些圖形形狀優(yōu)美,寓意美好.請同學(xué)們觀察已經(jīng)探索得到的曲線,從中提取需要的元素,自由設(shè)計(jì)具有美感的圖形.

以下是學(xué)生設(shè)計(jì)的圖形(圖10):

圖10

圖10中對應(yīng)的曲線的方程分別為:

(1)(x2+y2-xy-1)(x2+y2+xy-1)=0.

(5)(x2+y2-|x|y-1)[(x-2)2+(y-2)2-|x-2|(y-2)-1](x-y)=0.

設(shè)計(jì)意圖：通過變換方程,得到更優(yōu)美有趣的曲線,讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)方程,畫出曲線,調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造熱情.在生動(dòng)活潑的作品背后,是學(xué)生對知識的深入理解與思考.

3 教學(xué)反思

3.1 形式之美

愛美之心人皆有之,美的形式可以激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望,提高學(xué)習(xí)興趣.本課充分挖掘了數(shù)學(xué)內(nèi)容中美的因素,從審美的角度為學(xué)生設(shè)置思維情境.通過優(yōu)美的曲線引入,學(xué)生可以直接感受到曲線之美;再通過自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流,自主設(shè)計(jì)得到“屬于自己的曲線”,實(shí)現(xiàn)對美的追求.在課堂教學(xué)中,教師以引導(dǎo)啟發(fā)為主,尊重學(xué)生的成果和感受,與學(xué)生共同營造具有和諧美的課堂.

3.2 內(nèi)在之美

數(shù)學(xué)課只有美的形式是不夠的,還要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì).上述探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)以最簡單的二次曲線“圓”為起點(diǎn),通過改變方程的系數(shù)、指數(shù)、項(xiàng),得到一個(gè)個(gè)新的方程,再利用GeoGebra軟件畫出相應(yīng)的曲線,認(rèn)識曲線與方程的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步對方程進(jìn)行處理,通過曲線組合和對稱變換,得到優(yōu)美的圖形.學(xué)生在認(rèn)識方程、研究曲線時(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)的對稱美、統(tǒng)一美;整個(gè)探究過程循序漸進(jìn)、由簡到繁,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯美、和諧美;思考千變?nèi)f化的圖形背后不變的數(shù)學(xué)原理,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美、理性美.

3.3 獨(dú)特之美

在教材的基礎(chǔ)上對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行拓展,將學(xué)生可以理解的曲線梳理為一個(gè)有機(jī)的整體,引導(dǎo)學(xué)生用GeoGebra軟件大膽嘗試,嚴(yán)謹(jǐn)論述,最后進(jìn)行自主創(chuàng)造,這在以往的研究中是比較少見的.研究未知曲線一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),本設(shè)計(jì)以數(shù)學(xué)審美為推動(dòng)力,從心理上克服了學(xué)生的畏難情緒,合理的設(shè)計(jì)更是使整個(gè)教學(xué)過程顯得自然而然.