? 新疆生產(chǎn)建設兵團第二師華山中學 周振梅

1 教學分析

1.1 教學目標

(1)比較底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與斜率大于0的一次函數(shù)增長的差異.

(2)由特殊到一般歸納出不同函數(shù)增長快慢的基本方法.

(3)通過三種函數(shù)在不同階段增長的快慢變化,卻在某點之后趨勢明顯,借以說明做事不為眼前,要立足長遠.

1.2 教學重難點

教學重點:學會比較不同函數(shù)增長快慢的一般方法.

教學難點:理解變化率在刻畫不同函數(shù)增長快慢的意義.

1.3 學情分析

2 教學過程設計

2.1 創(chuàng)設情境,引入新課

問題你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有兩種投資方案供你選擇,這兩種方案的回報如下:

方案一:第一天回報5元,以后每一天比前一天多回報5元.

方案二:第一天回報2元,以后每天的回報比前一天翻一番.

如果讓你選擇,你會選擇哪種投資方案?

生:時間較長,我會選擇方案二;時間較短,我會選擇方案一.

師:為什么?

生:因為方案二的日回報增長量會比方案一快.

師:請列出7天的回報量進行比較.

師生活動:學生嘗試列出7天的日回報量和累計回報量.教師巡視觀察,請同學分享學習成果.

學生列出表1與表2.

表1 日回報量

表2 累計回報量

追問:有同學說時間短選方案一,時間長選方案二,時間長短的選擇在表格中有體現(xiàn)嗎?

生:由表2可知,前5天方案一的累計回報量高于方案二,但是5天以后方案二的累計回報量高于方案一,且方案二增加的速度越來越快.

追問:方案二的增加速度越來越快,從哪里體現(xiàn)?

生:由表1可看出,方案二日回報量的增加速度在5天后遠大于方案一,所以累計回報量就會更多.

追問:從日回報量的角度分析,有哪些函數(shù)模型?

方案一對應的函數(shù)模型是一次函數(shù),方案二對應的函數(shù)模型是指數(shù)函數(shù).

教師總結(jié):一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的增長方式存在很大差異,它們是不同類型現(xiàn)實問題具有不同增長規(guī)律的反映．把握了不同函數(shù)增長方式的差異,就可以根據(jù)現(xiàn)實問題的增長情況,選擇合適的函數(shù)模型刻畫其變化規(guī)律.

2.2 數(shù)形結(jié)合,探索新知

探究1：研究函數(shù)y=2x和y=2x,探索它們在區(qū)間[0,+∞)上的增長差異.

師生活動:小組合作探究,解決問題.

學生交流的問題大致如下:

(1)為什么在區(qū)間[0,+∞)上探究?

(2)以什么路徑展開研究?

(3)如何探究兩個函數(shù)的增長差異?

(4)如何用數(shù)學符號語言準確表述它們的增長差異?

生:(1)[0,+∞)有實際意義;(2)利用數(shù)形結(jié)合進行研究;(3)通過數(shù)據(jù)的計算及觀察圖形研究.

生:觀察表格和圖象可以發(fā)現(xiàn)——一次函數(shù)是一條直線,指數(shù)函數(shù)的圖象是一條曲線;共有兩個交點(1,2)和(2,4).當02時,指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)相應的函數(shù)值;當1

追問:對于上述情況,還可以從哪個角度進行分析?

生:列表從數(shù)的角度分析增長速度.

追問:怎么刻畫增長速度?在物理中學習了平均速度,通常用Δv表示,那么怎么定義Δv?

生:物理課上,用平均速度來描述物體在一定時間內(nèi)位移的改變量.平均速度是指在一段時間內(nèi),物體所經(jīng)過的位移與這段時間的比值.通過比較不同時間段內(nèi)的平均速度,可以刻畫出物體位置改變的速度,也就是增長速度.

師:數(shù)學中怎么刻畫增長速度?

生:用一定范圍內(nèi)函數(shù)值的增加量刻畫增長速度.例如,自變量每間隔一個單位長度,一次函數(shù)y=2x的函數(shù)值相差2,指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值差值則越來越大.

師:表3中,你能看出一次函數(shù)的增長速度嗎?

表3

生:一次函數(shù)的增長速度是一個定值,指數(shù)函數(shù)的增長速度一直在變大.

“形”的角度比較:在同一坐標系中畫出y=2x和y=2x的圖象(如圖1),演示y=2x與y=2x增加量的變化情況,提示學生觀察自變量的增加量相同時函數(shù)值的增量Δy的變化特征,如表3、表4所示:

圖1

表4

活動：請小組討論,歸納這兩個函數(shù)在[0,+∞)上的增長差異.

生:(1)函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同,而且不在一個“檔次”.

(2)隨著x的增大,y=2x的增長速度越來越快,會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.

(3)盡管在一定范圍內(nèi),2x<2x,但由于y=2x的增長速度最終會大于y=2x的增長速度,因此總會存在一個x0,當x>x0時,恒有2x>2x.

師:什么叫做“爆炸式增長”?它的增長速度有沒有特點?

生:它是翻倍式的增長.

師:能否推廣到一般情況?

生:一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長情況與上述情況類似.即使k值遠遠大于a值,y=ax(a>1)的增長速度最終都會超過y=kx(k>0)的增長速度.

探究2：類比探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異,你可以探究出對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異嗎?

學生類比探究1探究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的差異.

師:你們組觀察得非常細致,從圖象交點個數(shù)及不同區(qū)間上兩個函數(shù)的函數(shù)值大小關系進行了總結(jié).一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的增長特點是什么?

生:一般地,雖然對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增,但它們的增長速度不同.隨著x的增大,一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度,而對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a值比k值大多少,在一定范圍內(nèi),logax(a>1)可能會大于kx,但由于logax(a>1)的增長會慢于kx的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,恒有l(wèi)ogax

生:仍然有.

師:對!現(xiàn)在我們分別研究了一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的增長特點,如果把這三種函數(shù)放在一起研究,它們的增長差異是什么?

生:一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)相比,對數(shù)函數(shù)有一部分函數(shù)值大于一次函數(shù),但是對數(shù)函數(shù)的增長速率越來越小,所以總有一個x0,當x>x0時,一次函數(shù)的函數(shù)值恒大于對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值.一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相比,因為指數(shù)函數(shù)的增長速率越來越大,會有一部分函數(shù)值小于一次函數(shù)的函數(shù)值,但也會像對數(shù)函數(shù)一樣存在一個x0,當x>x0時,指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值恒大于一次函數(shù)的函數(shù)值.

教師總結(jié):隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度越來越大,會超過并遠遠大于y=kx(k>0)的增長速度,而y=logax(a>1)的增長速度則會越來越慢.因此,總會存在一個x0,當x>x0時,有l(wèi)ogax

師:我們比較了三種不同類型函數(shù)增長的快慢,那對于同類函數(shù)增長的快慢,應該如何去表示呢?

生:可以通過平均變化率去表示.

師:對于一般函數(shù)的增長快慢怎么去比較?

生:也是通過平均變化率.

師:那么我們可以通過平均變化率去比較任意兩個函數(shù)的增長快慢.

2.3 課堂練習

練習1如圖2中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿,其身流線自若、紋理分明,展現(xiàn)了古代中國精湛的制造技術．科研人員為了測量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時30 s注滿,設注水過程中,壺中水面高度為h,注水時間為t,則下面選項中最符合h關于t的函數(shù)圖象的是( ).

圖2

生:此題問的是壺高和注水時間的變化,觀察圖形,發(fā)現(xiàn)這個壺底部的面積比較小,中部的面積比較大,上部的面積比較小.因為是勻速注水,所以高的變化情況是底部和上部增長快,中部增長慢,因此選擇A.

練習2已知三個變量y1,y2,y3隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表5:

表5

則反映y1,y2,y3隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是( ).

A．y1=x2,y2=2x,y3=log2x

B．y1=2x,y2=x2,y3=log2x

C．y1=log2x,y2=x2,y3=2x

D．y1=2x,y2=log2x,y3=x2

生:通過今天所學的知識,我們知道指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及對數(shù)函數(shù)平均變化率的大小關系,然后觀察表格,發(fā)現(xiàn)y1,y2,y3的平均變化率依次遞減.因此選擇B.

練習3有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車,其跑車時間均為x小時,跑過的路程分別滿足關系式:f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log3(x+1),f4(x)=2x-1,則5個小時以后跑在最前面的為( ).

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

生:觀察函數(shù)的形式,f1(x)是冪函數(shù),f2(x)是一次函數(shù),f3(x)是對數(shù)型函數(shù),f4(x)是指數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù)平均變化速率是最大的,所以5個小時以后跑在最前面的是丁,故選D;還可以通過計算得當x=5.f4(x)最大,所以也選D.

2.4 課堂小結(jié)

本節(jié)課由特殊到一般、由具體到抽象研究了一次函數(shù)y=kx(k>0)、指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)及對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在定義域上的不同增長方式.可以用一首詩來形容本節(jié)課:“指對線同時增加,比大小初不確定,喻開始波瀾不驚,待將來厚積薄發(fā)”.

請同學們賞析這首小詩和本節(jié)課的聯(lián)系.

生:這首詩與本節(jié)課內(nèi)容緊密相關.詩中提到指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞增,但最初的增長速度并不能確定未來的趨勢.指數(shù)函數(shù)的增長初緩慢后迅速,超越一次函數(shù).以時間為x,成就為y,能力為平均變化率,時間、能力與成就如同指數(shù)函數(shù),即使最初能力不出眾,隨著時間的推移,能力增長越來越快,未來成就也會越來越大.

師:謝謝,說得非常好!希望同學們因為喜歡數(shù)學而學習數(shù)學,也因為學習數(shù)學而更熱愛數(shù)學.下課!

注：掃圖3可觀看課堂視頻.

圖3

3 課堂反思

備課時,教師準備用幾何板演示三種函教模型的增長差異,這樣使得分析更直觀.實際上課的時候,由于給學生自主學習和討論交流的時間較充裕,學生自己總結(jié)出了三種函數(shù)模型的增長差異,所以沒有演示.這樣可能會使得結(jié)論的說服力不是很強,也失去了一些趣味性.在備課時應盡量宏觀考慮,力爭做到在有限的時間內(nèi)取得更佳的教學效果.

語言不夠精煉,有些地方重復,有些地方表述不到位.既然給了學生小組討論的時間,就應該讓學生盡可能多展示他們自學和交流的結(jié)果,然后根據(jù)展示情況進行精講.沒有做到“以學定教”,浪費了一部分時間.

師生的交往互動沒有達到很好的狀態(tài),雖然學生總體愿意回答,但是引導還不到位,應該更多使用幾何畫板和Excel處理數(shù)據(jù),使教學增加趣味性和說服力.