周思陽(yáng),張 瑩 ,柯楚賢

(1.交通運(yùn)輸部水運(yùn)科學(xué)研究所,北京 100088;2.武漢理工大學(xué) 交通與物流工程學(xué)院,湖北 武漢 430063)

0 引言

控制圖作為一種有效的統(tǒng)計(jì)過(guò)程控制(Statistical Process Control, SPC)工具,被廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工業(yè)生產(chǎn)。在一些生產(chǎn)場(chǎng)景中,成分間的比例關(guān)系是一種關(guān)鍵質(zhì)量特性,需要對(duì)其進(jìn)行監(jiān)控以保證產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性,這些場(chǎng)景大致分為兩類:①生產(chǎn)過(guò)程中混合物的成分之間存在特定的比例關(guān)系,如食品生產(chǎn)中原料的配比[1]和港口配煤作業(yè)中原煤的配比[2];②生產(chǎn)過(guò)程中涉及物理或化學(xué)反應(yīng)等特定操作前后產(chǎn)品成分的比例,如在電池回收過(guò)程中可回收部分的重量比例[3]。因此近年來(lái),如何利用控制圖監(jiān)控兩個(gè)變量之間的比例關(guān)系逐漸成為研究熱點(diǎn)。

在比例控制圖研究中,CELANO等[1]首先在樣本容量n=1的情況下對(duì)兩個(gè)正態(tài)變量之比進(jìn)行監(jiān)控,提出Shewhart-RZ 控制圖,并對(duì)其統(tǒng)計(jì)性能進(jìn)行了研究;隨后,這項(xiàng)研究由CELANO等[4]擴(kuò)展到樣本容量n>1的情形;NGUYEN等[5]提出單邊Shewhart-RZ控制圖,并利用線性協(xié)變量模型研究了測(cè)量誤差對(duì)其性能的影響;ZAIDI等[6]和TRAN等[7]將對(duì)兩個(gè)變量間比例的監(jiān)控?cái)U(kuò)展到對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)的監(jiān)控,從而可以同時(shí)對(duì)混合物中的多種成分進(jìn)行監(jiān)控。當(dāng)比例特性偏移較大時(shí),Shewhart-RZ控制圖能較快發(fā)現(xiàn)過(guò)程失控,但由于其僅能利用當(dāng)前樣本信息,當(dāng)比例特性的偏移較小時(shí),往往需要較長(zhǎng)時(shí)間才能發(fā)現(xiàn)過(guò)程失控。研究中通常采用附加運(yùn)行規(guī)則、與合格品鏈長(zhǎng)(Conforming Run Length,CRL)控制圖相結(jié)合、變抽樣區(qū)間和變樣本容量等策略中的一種或多種對(duì)Shewhart控制圖進(jìn)行優(yōu)化,以改善其在偏移較小時(shí)的性能。其中針對(duì)Shewhart-RZ控制圖,CELANO等[8]和NGUYEN等[9]分別將雙邊和單邊Shewhart-RZ控制圖與合格品鏈長(zhǎng)控制圖結(jié)合;TRAN等[10]和TRAN[11]采用不同附加運(yùn)行規(guī)則對(duì)雙邊Shewhart-RZ控制圖進(jìn)行優(yōu)化;NGUYEN等[12]采用變抽樣區(qū)間策略對(duì)單邊Shewhart-RZ控制圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。目前采用變樣本容量策略對(duì)單邊Shewhart-RZ控制圖進(jìn)行優(yōu)化的研究比較缺乏,有些研究采用兩種記憶性控制圖,即指數(shù)移動(dòng)加權(quán)平均(Exponentially Weighted Moving Average, EWMA)和累計(jì)和(CUmulative SUM, CUSUM)控制圖,對(duì)二元正態(tài)變量間的比例關(guān)系進(jìn)行監(jiān)控[13-17],計(jì)算結(jié)果表明其性能優(yōu)于Shewhart-RZ控制圖。

分析發(fā)現(xiàn),動(dòng)態(tài)控制圖中的變樣本容量策略能有效提高Shewhart型控制圖的性能,并具有易于實(shí)施的良好特性。然而,目前比例控制圖研究多集中于靜態(tài)控制圖領(lǐng)域,對(duì)動(dòng)態(tài)控制圖的研究較少,且均未考慮變樣本容量策略在比例控制圖中的應(yīng)用。本文提出一種單邊變樣本容量Shewhart比例控制圖,即VSS Shewhart-RZ*控制圖,來(lái)監(jiān)控二元正態(tài)變量間的比例關(guān)系,并比較其與單邊Shewhart-RZ控制圖的性能,結(jié)果表明相同情況下VSS Shewhart-RZ*控制圖具有更小的ARL。

1 比例Z分布

假設(shè)W=(X,Y)T為二元正態(tài)隨機(jī)向量,W～N(μW,∑W),μW為均值向量,∑W為協(xié)方差矩陣,具體計(jì)算公式如下:

(1)

(2)

式中ρ為變量X,Y之間的相關(guān)性系數(shù)。此時(shí)變量X,Y的變異系數(shù)可定義為γX=σX/μX,γY=σY/μY,同時(shí)記X,Y的標(biāo)準(zhǔn)差之比為ω=σX/σY。

令X,Y的比值為Z,Z=X/Y,由于無(wú)法得到比例Z的累計(jì)分布函數(shù)的準(zhǔn)確表達(dá)式,CELANO等[4]對(duì)其近似估計(jì)為

(3)

式中:Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù);A和B為參數(shù)z,γX,γY,ω,ρ的函數(shù),

(4)

(5)

比例Z的概率分布函數(shù)可近似估計(jì)為

(6)

式中φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率分布函數(shù)。

比例Z累積分布函數(shù)的反函數(shù)可由式(3)推導(dǎo)得到

(7)

式中C1,C2,C3是參數(shù)γX,γY,ω,ρ的函數(shù):

(8)

(9)

(10)

為了在生產(chǎn)過(guò)程中監(jiān)控比例Z,在時(shí)刻i(i=1,2,…)抽取樣本容量為n的樣本{Wi,1,Wi,2,…,Wi,n},Wi,j=(Xi,j,Yi,j)T～N(μW,i,∑W,i)(j=1,…,n)為二元正態(tài)隨機(jī)向量,其均值向量和協(xié)方差矩陣分別為

(11)

(12)

與CELANO等[4]的研究相同,對(duì)樣本數(shù)據(jù)做以下假設(shè):①不同抽樣時(shí)刻下產(chǎn)品的規(guī)格可以發(fā)生變化,即當(dāng)i≠k時(shí),有μW,i≠μW,k,∑W,i≠∑W,k;②對(duì)于不同的樣本,變量X,Y的變異系數(shù)γX,γY為已知常數(shù),即對(duì)樣本{Wi,1,Wi,2,…,Wi,n}可得σX,i=γX×μX,i,σY,i=γY×μY,i;③當(dāng)過(guò)程處于受控狀態(tài)時(shí),變量X,Y的比例為已知常數(shù)z0=μX,i/μY,i(i=1,2,…)。此時(shí)觀測(cè)統(tǒng)計(jì)量為

(13)

(14)

(15)

2 VSS Shewhart-RZ*控制圖

2.1 VSS Shewhart-RZ*控制圖的實(shí)施流程

由于比例Z的分布不對(duì)稱,本文設(shè)計(jì)了兩個(gè)單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖分別監(jiān)控比例向上或向下的偏移,以避免性能損失。在抽樣時(shí)樣本容量n有兩種可能的取值,即小樣本容量nS和大樣本容量nL,nS

(1)在進(jìn)行控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí),需要計(jì)算n(i)=nS時(shí)的警戒限和控制限{(LWLS,LCLS),(UWLS,UCLS)},以及n(i)=nL時(shí)的警戒限和控制限{(LWLL,LCLL),(UWLL,UCLL)},因此需要花費(fèi)更多的計(jì)算資源和時(shí)間對(duì)控制圖的參數(shù)組合進(jìn)行尋優(yōu)。

(2)在實(shí)際使用過(guò)程中,使用者需要檢查每個(gè)樣本點(diǎn)所處的位置,以判斷是否需要更換控制限和警戒限組合,增加了使用者的操作難度。

(16)

此時(shí)上單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的控制限和警戒限可固定為

UCL=z0×KU,

(17)

UWL=z0×WU。

(18)

與之類似,下單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的控制限和警戒限為

LCL=z0×KD,

(19)

LWL=z0×WD。

(20)

式中:KU,KD為控制限系數(shù),WU,WD為警戒限系數(shù),且滿足WU≤KU和KD≤WD。

上單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的區(qū)域劃分如圖1a所示,工作機(jī)制如下:

下單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的區(qū)域劃分如圖1b所示,工作機(jī)制與上單邊控制圖的工作機(jī)制類似,不再贅述。

2.2 VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能指標(biāo)

在變樣本容量控制圖研究中,常采用平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL和平均樣本容量ASS作為控制圖的性能指標(biāo)。ARL指從過(guò)程開(kāi)始運(yùn)行到控制圖發(fā)出過(guò)程失控信號(hào)時(shí)所經(jīng)過(guò)的平均樣本數(shù),受控狀態(tài)下的ARL0越大越好,此時(shí)控制圖虛發(fā)警報(bào)的概率降低,可避免多余的停機(jī)檢查;失控狀態(tài)下的ARL1越小越好,此時(shí)控制圖漏發(fā)警報(bào)的概率降低,可以快速檢測(cè)到異常因素。ASS為樣本容量的均值,ASS=E(n(i)),當(dāng)控制圖的性能達(dá)到需求時(shí),ASS越小越好,更小的平均樣本數(shù)表示抽樣檢測(cè)成本更小。比較VSS型控制圖與固定樣本容量的靜態(tài)控制圖時(shí),使受控狀態(tài)下的ARL0和ASS0保持一致,比較失控狀態(tài)下的ARL1和ASS1,更小的ARL1或ASS1表示擁有更好的性能。

假設(shè)過(guò)程失控時(shí),過(guò)程中存在異常因素使受控狀態(tài)下的比例z0偏移至z1=τ×z0,其中τ>0,τ的取值表示偏移的大小和方向,τ>1對(duì)應(yīng)比例向上的偏移,τ<1對(duì)應(yīng)比例向下的偏移,過(guò)程處于受控狀態(tài)時(shí)τ=1。同時(shí)考慮失控狀態(tài)下,變量(X,Y)間的相關(guān)系數(shù)也可能發(fā)生偏移,即從受控狀態(tài)下的ρ=ρ0偏移至ρ=ρ1。

采用馬爾可夫鏈推導(dǎo)單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能指標(biāo)。將單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖建模為一個(gè)含有3種狀態(tài)的馬爾可夫鏈,其中前兩種為受控狀態(tài),分別對(duì)應(yīng)使用小樣本容量n(i)=nS的情形和使用大樣本容量n(i)=nL的情形,第3種為失控狀態(tài),在馬爾可夫鏈模型中為吸收態(tài)。馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

(21)

式中:Q為2×2的轉(zhuǎn)移概率矩陣,1=(1,1)T,r為2×1的向量,r=1-Q1,即矩陣P中每一行的和為1;pS(n(i))和pL(n(i))分別為從當(dāng)前狀態(tài)轉(zhuǎn)移至小樣本容量和大樣本容量的概率,n(i)∈{nS,nL}表示當(dāng)前狀態(tài)。對(duì)于上單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖,

(22)

(23)

對(duì)于下單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖,

(24)

(25)

此時(shí)控制圖的ARL為

ARL=qT(I-Q)-11。

(26)

式中:I為2×2的單位矩陣,q為初始概率向量,1=(1,1)T。當(dāng)設(shè)定第1組樣本為小樣本容量,即n(1)=nS時(shí),q=(1,0)T;當(dāng)設(shè)定第1組樣本為大樣本容量,即n(1)=nL時(shí),q=(0,1)T。

計(jì)算ASS時(shí)需要先將轉(zhuǎn)移矩陣P轉(zhuǎn)換成P*,當(dāng)n(1)=nS時(shí),

(27)

當(dāng)n(1)=nL時(shí)

(28)

與矩陣P不同,P*沒(méi)有吸收態(tài),當(dāng)馬爾可夫鏈到達(dá)失控狀態(tài)時(shí),消除過(guò)程中的異常因素后立刻重啟,使馬爾可夫鏈恢復(fù)至初始狀態(tài)。由P*定義的馬爾可夫鏈有穩(wěn)態(tài)概率向量π=(πS,πL,πOOC)T,可由下式求得:

(29)

其中穩(wěn)態(tài)概率(πS,πL,πOOC)與樣本容量(nS,nL,n(1))相聯(lián)系。當(dāng)n(1)=nS時(shí),矩陣R可由矩陣P*先轉(zhuǎn)置,再將對(duì)角線元素減1,并將第1行元素替換為1,得到

(30)

當(dāng)n(1)=nL時(shí),矩陣R可由矩陣P*先轉(zhuǎn)置,對(duì)角線元素減1后,將第2行元素替換為1,得到

(31)

此時(shí)ASS可由下式計(jì)算:

ASS=(nS,nL,n(1))π。

(32)

2.3 VSS Shewhart-RZ*控制圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)

VSS Shewhart-RZ*控制圖的優(yōu)化目標(biāo)是在特定的比例偏移τ和相關(guān)系數(shù)ρ1下,確定最優(yōu)的控制限系數(shù)KU(或KD)、警戒限系數(shù)WU(或WD)和樣本容量組合(nS,nL),使受控狀態(tài)下控制圖的平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL0=L0,平均樣本容量ASS0=n0,同時(shí)使失控狀態(tài)下的ARL1最小。其中:L0與受控狀態(tài)下控制圖誤發(fā)警報(bào)的概率α密切相關(guān),L0=1/α;失控狀態(tài)下的ARL1與漏發(fā)警報(bào)的概率β相關(guān),ARL1=1/(1-β)?？刂茍D的優(yōu)化過(guò)程即在給定可接受的誤發(fā)警報(bào)概率α下,使失控狀態(tài)下控制圖漏發(fā)警報(bào)的概率β最小。由于在實(shí)際應(yīng)用中樣本容量的最大值一般會(huì)有限制,與之前的研究[21-23]類似,本文設(shè)置樣本容量可取的最大值為31,則nS,nL需要滿足1≤nS

minARL1(nS,nL,WU,KU,γX,γY,ρ1,τ,z0)。

s.t.

ARL0(nS,nL,WU,KU,γX,γY,ρ0,τ=1,z0)=L0;

ASS0(nS,nL,WU,KU,γX,γY,ρ0,τ=1,z0)=n0;

WU≤KU;

1≤nS

nS,nL∈N+。

(33)

下單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的數(shù)學(xué)模型與上單邊類似,僅警戒限和控制限之間大小關(guān)系的約束略有不同,需將其改寫(xiě)為KD≤WD。其中L0的取值一般需要事先給定,基于3σ原理常取L0=370.4,本文為了方便比較,與之前研究[4]保持一致,取ARL0=200。n0的取值為實(shí)際過(guò)程中受控狀態(tài)下樣本容量的期望值,為方便比較,本文取n0∈{5,15}。

由于非凸的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問(wèn)題屬于NP-hard問(wèn)題,求解非常困難,目前缺少有效的求解算法,本文將整數(shù)變量分離,使問(wèn)題化簡(jiǎn)為對(duì)多個(gè)非線性方程組來(lái)求解,具體過(guò)程為(如圖2):

(1)確定γX,γY,ρ0,ρ1,τ,z0,n0,L0等參數(shù)的取值。

(2)令nS=1。

(3)令nL=n0+1。

(4)在當(dāng)前參數(shù)下,采用MATLAB軟件中的fslove函數(shù)求解由兩個(gè)等式約束構(gòu)成的非線性方程組,得到一組警戒限和控制限變量的取值(WU,KU)或(WD,KD)。

(5)根據(jù)當(dāng)前(nS,nL,WU,KU)或(nS,nL,WD,KD)的取值計(jì)算ARL1指標(biāo)。

(6)保持nS不變,令nL=nL+1。

(7)重復(fù)(4)～(6),直至nL=31。

(8)令nS=nS+1。

(9)重復(fù)(3)～(8),直至nS=n0-1。

3 數(shù)值分析及性能比較

在不同參數(shù)設(shè)置下求得單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的最優(yōu)決策變量組合,計(jì)算ARL1性能指標(biāo),并與固定樣本容量(Fixed Sample Size,FSS)的單邊Shewhart-RZ控制圖[5]、單邊Synthetic-RZ控制圖[9]和單邊VSI Shewhart-RZ控制圖[12]進(jìn)行比較。同時(shí)由2.2節(jié)可知,n(1)取值會(huì)對(duì)控制圖性能產(chǎn)生影響,目前變樣本容量控制圖文獻(xiàn)中大多只研究了n(1)=nS的情況,對(duì)n(1)=nL的情形研究較少,因此將在不同n(1)取值下研究單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能。為方便對(duì)比,采用與文獻(xiàn)[4]的參數(shù)組合,如n0∈{5,15},γX∈{0.01,0.2},γY∈{0.01,0.2},ρ∈{0.0,±0.4,±0.8},τ∈{0.9,0.95,0.98,0.99,1.01,1.02,1.05,1.1},考慮γX=γY,γX≠γY,ρ0=ρ1和ρ0≠ρ1等場(chǎng)景。

圖3和圖4所示為單邊Shewhart-RZ控制圖和單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖(包括n(1)=nS和n(1)=nL兩種情形,沒(méi)有特別指明時(shí)默認(rèn)n(1)=nS),在過(guò)程失控且X,Y的相關(guān)系數(shù)保持不變(ρ0=ρ1)時(shí),ARL1的值隨比例偏移變化的情況。圖3主要展示變量X,Y的變異系數(shù)相等(γX=γY)時(shí)的情形,其中左邊兩列圖為γX=γY=0.01的情形,右邊兩列圖為γX=γY=0.2的情形。圖4主要展示γX≠γY時(shí)的情形,其中左邊兩列圖為(γX=γY)=(0.01,0.2)的情形,右邊兩列圖為(γX=γY)=(0.2,0.01)的情形。單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖與單邊Synthetic-RZ控制圖、單邊VSI Shewahrt-RZ控制圖的性能比較在圖3中進(jìn)行了展示,其中單邊Synthetic-RZ控制圖的性能指標(biāo)為ARL,單邊VSI Shewahrt-RZ控制圖的性能指標(biāo)為平均報(bào)警時(shí)間ATS。從圖3和圖4可得以下結(jié)論:

(1)單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖性能受(γX,γY)和ρ影響。變量(X,Y)的變異系數(shù)(γX,γY)取值越小,控制圖的性能越好。例如當(dāng)ρ=-0.8,n0=5,τ=0.9時(shí),若(γX,γY)=(0.01,0.01)則ARL1=1,若(γX,γY)=(0.2,0.2)則ARL1=19.8。ρ>0時(shí)控制圖的性能優(yōu)于ρ<0時(shí)的性能,即變量(X,Y)之間呈正相關(guān)時(shí)控制圖的性能更好。例如當(dāng)(γX,γY)=(0.2,0.2),n0=5,τ=0.9時(shí),若ρ=-0.8則ARL1=19.8,若ρ=0.8則ARL1=2.6。

(2)對(duì)于相同百分比的偏移ΔZ=100×|τ-1|,當(dāng)γX=γY時(shí)單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖對(duì)下偏移的檢測(cè)性能略好于對(duì)上偏移的檢測(cè)性能。例如當(dāng)(γX,γY)=(0.2,0.2),n0=5,ρ=-0.8,τ=0.99(或τ=1.01),即ΔZ=1%時(shí),可得下單邊控制圖的ARL1=170.3(上單邊控制圖ARL1=170.6),如圖3所示。當(dāng)γX≠γY時(shí),單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖對(duì)上下偏移的性能趨勢(shì)取決于變異系數(shù)(γX,γY)之間的大小關(guān)系。當(dāng)γX<γY時(shí),控制圖對(duì)下偏移的檢測(cè)性能更好;當(dāng)γX>γY時(shí),控制圖對(duì)上偏移的檢測(cè)性能更好。例如當(dāng)(γX,γY)=(0.01,0.2),n0=5,ρ=-0.8,τ=0.99(或τ=1.01)時(shí),ARL1=137.8(或ARL1=157.4);當(dāng)(γX,γY)=(0.2,0.01),n0=5,ρ=-0.8,τ=0.99(或τ=1.01)時(shí),ARL1=157(或ARL1=138.3),如圖4所示。

圖5所示為單邊Shewhart-RZ控制圖和單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖,當(dāng)過(guò)程失控X,Y的相關(guān)系數(shù)發(fā)生變化(ρ0≠ρ1,n0=5)時(shí),ARL1隨比例偏移變化的情況。受控狀態(tài)下ρ0=±0.4,受異常因素影響偏移至ρ1=0.5×ρ0或ρ1=2×ρ0。從圖5可以觀察到以下趨勢(shì):增強(qiáng)負(fù)相關(guān)性會(huì)提高單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖對(duì)比例偏移的敏感性,例如(γX,γY)=(0.01,0.2),ρ1=0.5×ρ0=-0.2,τ=0.99時(shí),ARL1=148.1,如果ρ1=ρ0=-0.4則ARL1=136.6,如果ρ1=2×ρ0=-0.8則ARL1=117.5;增強(qiáng)正相關(guān)性會(huì)降低控制圖對(duì)比例偏移的敏感性,例如(γX,γY)=(0.01,0.2),ρ1=0.5×ρ0=0.2,τ=0.99時(shí),ARL1=123.3,如果ρ1=ρ0=0.4則ARL1=134.1,如果ρ1=2×ρ0=-0.8則ARL1=160.5。

在圖3～圖5中,通過(guò)對(duì)比可知,對(duì)于單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖,第1次抽樣采用大樣本容量(n(1)=nL)的性能優(yōu)于第1次抽樣采用小樣本容量(n(1)=nS),在(γX,γY)=(0.01,0.01)、偏移較小時(shí)性能優(yōu)勢(shì)尤為顯著。n(1)=nL時(shí),雖然單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖擁有更小的ARL1,但是同時(shí)也擁有更大的ASS1,例如(γX,γY)=(0.01,0.01),n0=5,ρ0=ρ1=-0.8,τ=0.99,如果n(1)=nS則ARL1=4.7,ASS1=8.7,如果n(1)=nL則ARL1=1.7,ASS1=28.9。

在圖3～圖5中,通過(guò)對(duì)比可知,單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能優(yōu)于單邊FSS Shewhart-RZ控制圖,說(shuō)明變樣本容量策略起到了很好的優(yōu)化效果。當(dāng)變量X,Y的變異系數(shù)均較小時(shí),VSS策略對(duì)小偏移的優(yōu)化效果更為明顯;當(dāng)變量X,Y的變異系數(shù)有一者較大時(shí),VSS策略對(duì)大偏移的優(yōu)化效果更為明顯。在一些場(chǎng)景下,FSS Shewhart-RZ控制圖與VSS Shewhart-RZ*控制圖都能取得很好的效果,使ARL1=1,但是VSS Shewhart-RZ*控制圖可以使ASS1

在圖3中通過(guò)對(duì)比可知,在以下兩種情況下,單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能優(yōu)于單邊Synthetic-RZ控制圖:

(1)變量X,Y的變異系數(shù)較小,即(γX,γY)=(0.01,0.01)時(shí),n(1)=nL的單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖性能優(yōu)于單邊Synthetic-RZ控制圖,且偏移較小時(shí)優(yōu)勢(shì)更為顯著。例如(γX,γY)=(0.01,0.01),ρ0=ρ1=-0.8,n0=5,τ=1.01時(shí),單邊Synthetic-RZ控制圖ARL1=5.2,n(1)=nL的單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖ARL1=1.8。

(2)當(dāng)變量X,Y的變異系數(shù)較大,即(γX,γY)=(0.2,0.2),比例偏移較大(τ>1.1或τ<0.9)且受控狀態(tài)下的樣本容量較小(n0=5)時(shí),單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖同樣擁有更好的性能。例如(γX,γY)=(0.2,0.2),ρ0=ρ1=0,n0=5,τ=1.1時(shí),單邊Synthetic-RZ控制圖ARL1=14.1,n(1)=nL的單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖ARL1=8.4。

在VSS Shewhart-RZ*控制圖與VSI Shewhart-RZ控制圖的性能對(duì)比中,以平均報(bào)警時(shí)間ATS=E(h)×ARL作為性能指標(biāo)。其中E(h)為平均抽樣間隔,對(duì)于VSS Shewhart-RZ*控制圖,其抽樣間隔h為固定值,取h=1,則ATS=ARL。因?yàn)閂SI Shewhart-RZ控制圖在設(shè)計(jì)時(shí)滿足受控狀態(tài)下平均抽樣區(qū)間E(h)0=1的約束,所以可以通過(guò)比較失控狀態(tài)下VSI Shewhart-RZ控制圖ATS1指標(biāo)與VSS Shewhart-RZ*控制圖ARL1指標(biāo)的數(shù)值,來(lái)對(duì)比兩者的性能。圖3展示了抽樣區(qū)間組合(hS,hL)=(0.1,1.1),τ∈{0.95,0.98,0.99,1.01,1.02,1.05}時(shí),VSI Shewhart-RZ控制圖失控狀態(tài)下的ATS1[12]?？芍谝韵聝煞N情況下,單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖的性能優(yōu)于VSI Shewhart-RZ控制圖:

(1)當(dāng)變量X,Y的變異系數(shù)較小,且相關(guān)系數(shù)ρ≤0、偏移和受控狀態(tài)下的樣本容量較小時(shí),例如 (γX,γY)=(0.01,0.01),n0=5 ,ρ0=ρ1=-0.4 ,τ=1.01時(shí),單邊VSI Shewhart-RZ控制圖ATS1=5.9,單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖ARL1=4.0。

(2)當(dāng)變量X,Y的變異系數(shù)較大,且偏移較大時(shí),例如(γX,γY)=(0.2,0.2)n0=5,ρ0=ρ1=0,τ=0.95時(shí),單邊VSI Shewhart-RZ控制圖ATS1=64.7,單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖ARL1=53.5。

4 案例說(shuō)明

表1 案例樣本數(shù)據(jù)

針對(duì)τ=1.01的偏移,在ARL0=200,n0=5的條件下對(duì)采用的4種控制圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),得到最優(yōu)參數(shù)。對(duì)于單邊Shewhart-RZ控制圖計(jì)算可得UCL=1.015 4;對(duì)于單邊Synthetic-RZ控制圖,參考文獻(xiàn)[9]計(jì)算可得合格品鏈長(zhǎng)子圖的控制限為H=4,單邊Shewhart-RZ子圖的控制限為UCL=1.010 7;對(duì)于單邊VSI Shewhart-RZ控制圖,參考文獻(xiàn)[12]計(jì)算可得抽樣間隔組合(hS,hf)=(0.1,1.1),警戒限UWL=1.007 5,控制限UCL=1.015 4;對(duì)于單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖(n(1)=nS),根據(jù)第2章計(jì)算可得樣本容量組合(nS,nL)=(3,20),警戒限UWL=1.159 0,控制限UCL=2.575 8。

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)及控制圖參數(shù)繪制4種比例控制圖如圖6所示,其中Synthetic-RZ控制圖僅繪制了單邊Shewhart-RZ子圖。由圖6可知,在前10個(gè)受控樣本下,所有控制圖均未誤發(fā)警報(bào);當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程失控后,根據(jù)4種控制圖各自的運(yùn)行規(guī)則,單邊Shewhart-RZ控制圖在第14個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)出警報(bào),報(bào)警時(shí)間tSh=4;單邊Synthetic-RZ控制圖在第12個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)出警報(bào),報(bào)警時(shí)間tSyn=2;單邊VSI Shewhart-RZ控制圖在第14個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)出警報(bào),報(bào)警時(shí)間tVSI=2.4;單邊VSS Shewhart-RZ*控制圖在第11～14樣本點(diǎn)發(fā)出警報(bào),報(bào)警時(shí)間tVSS=1。當(dāng)過(guò)程處于失控狀態(tài)時(shí),4種比例控制圖均在較短時(shí)間內(nèi)發(fā)出了警報(bào),說(shuō)明了其有效性。其中VSS Shewhart-RZ*控制圖在第11個(gè)點(diǎn)處及時(shí)發(fā)出警報(bào),報(bào)警時(shí)間最短,且連續(xù)4點(diǎn)報(bào)警,具有很好的穩(wěn)定性,效果最好。實(shí)際應(yīng)用中,生產(chǎn)者應(yīng)在VSS Shewhart-RZ*控制圖發(fā)出警報(bào)后及時(shí)停產(chǎn)檢查,在消除引起比例偏移的異常因素后再恢復(fù)生產(chǎn),以免產(chǎn)生大量不合格品,保證產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性。

VSS Shewhart-RZ*控制圖性能優(yōu)秀,且易理解、易實(shí)施,可廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。首先其原理簡(jiǎn)單易理解,即檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量距離控制限較遠(yuǎn),過(guò)程失控的可能性較小時(shí),采用小樣本容量抽樣,以減少抽樣成本;檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量距離控制限較近,過(guò)程失控的可能性較大時(shí),采用大樣本容量抽樣,以更好地了解當(dāng)前過(guò)程狀態(tài)。其次,VSS策略在應(yīng)用中僅需改動(dòng)每次抽樣的產(chǎn)品數(shù)量,便于操作,可廣泛應(yīng)用于人工抽樣檢測(cè)、自動(dòng)化抽樣檢測(cè)等作業(yè)場(chǎng)景。

5 結(jié)束語(yǔ)