趙華新, 賀凱麗, 劉娟娟

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

算子半群理論在泛函分析和實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用,經(jīng)過多年的持續(xù)發(fā)展,算子半群種類不斷豐實(shí),算子半群的擾動(dòng)是算子半群理論研究的重要內(nèi)容,許多學(xué)者對(duì)此作了大量研究工作。文獻(xiàn)[1-2]討論了n次積分C半群的擾動(dòng);文獻(xiàn)[3-4]討論了α次積分C半群的擾動(dòng);文獻(xiàn)[5-6]討論了雙參數(shù)C半群的指數(shù)公式、譜及其擾動(dòng);文獻(xiàn)[7-8]討論了擾動(dòng)雙參數(shù)C半群的相關(guān)性質(zhì);文獻(xiàn)[9]研究了指數(shù)有界雙連續(xù)α次積分C半群的擾動(dòng);文獻(xiàn)[10-11]給出了雙連續(xù)n次積分C半群的定義及其性質(zhì);文獻(xiàn)[12-14]討論了n階α次積分C半群擾動(dòng)、指數(shù)有界性和緊性;文獻(xiàn)[15]研究了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的定義及其性質(zhì);文獻(xiàn)[16]討論了指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的生成定理。對(duì)于指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的擾動(dòng)還尚未被研究。本文在此理論基礎(chǔ)上,給出指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的擾動(dòng)的結(jié)果并進(jìn)行證明,從而進(jìn)一步完善了雙連續(xù)n階α次積分C半群的相關(guān)理論。

1 預(yù)備知識(shí)

文中假設(shè)X為無限維的復(fù)Banach空間,B(X)是X上的有界線性算子全體所組成的代數(shù);D(A)為線性算子A的定義域,X′是X的共軛空間,τ是X上的一個(gè)局部凸拓?fù)洳⒕哂幸韵滦再|(zhì):

設(shè)T(t)∈B(X),n∈N,α≥0,

T(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n≥0使JnT(t)=0,t≥0。

2 基本概念和引理

定義4[10]設(shè)C∈B(X)為單射,n∈N,α≥0,若:

2) 存在閉線性算子A,滿足

3) {T(t)}t≥0強(qiáng)τ連續(xù),即對(duì)每個(gè)x∈X,映射t→T(t)xτ連續(xù);

4) {T(t)}t≥0等度雙連續(xù);

則算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群。其中A為其次生成元,把Gτ(M,ω,C)記為X內(nèi)的所有指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群。

定義5[16]設(shè){T(t)}t≥0是由A次生成的指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群,Ra(λ)C=Rc(λ,A)=λn-1(λn-A)-1C,有定義在Banach空間X上的有界逆算子,則稱λ為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的次生成元的C正則點(diǎn),Ra(λ)C是A的C預(yù)解式。

引理1[15]令n∈N,α≥0,C∈B(X)是單射,A:D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC,{T(t)}t≥0?B(X)τ連續(xù)并滿足

有

引理2[16]令n∈N,α≥0,C∈B(X)是單射,A:D(A)?X→X為閉線性算子并滿足A?C-1AC,{T(t)}t≥0?B(X)τ連續(xù)并滿足

若有

則指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元為A。

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,B?B(X),BA=AB,BC=CB,CB∈B(X)為單射,滿足

R(CB)?R(C)及A+B?C-1(A+B)CB,

則C-1(A+B)CB生成雙連續(xù)n階α次積分C半群{TB(t)}t≥0:

證明 由引理1有:

由預(yù)解方程可得:

利用數(shù)學(xué)歸納法可證:

故有:

由引理2知,C-1(A+B)CB生成雙連續(xù)n階α次積分CB半群{TB(t)}t≥0:

定理得證。

推論1 設(shè)A為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,對(duì)于任意復(fù)數(shù)r,Cr∈B(X)為單射,滿足

R(Cr)?R(C)及A+r?C-1(A+r)Cr,

則A+r生成雙連續(xù)n階α次積分Cr半群{Tr(t)}t≥0,

推論2 設(shè)A為指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群{T(t)}t≥0的次生成元,對(duì)于任意復(fù)數(shù)r,CB∈B(X)為單射,BA=AB,BC=CB,滿足:R(CB)?R(C),則rA生成雙連續(xù)n階α次積分CB半群{TrA(t)}t≥0:

TrA(t)=r-αT(rt)C-1CB

證明 由引理1有:

由引理2知,rA生成雙連續(xù)n階α次積分CB半群{TrA(t)}t≥0,

TrA(t)=r-αT(rt)C-1CB。

4 結(jié) 論

本文在指數(shù)有界雙連續(xù)n階α次積分C半群的生成定理的基礎(chǔ)上,得到C-1(A+B)CB生成的雙連續(xù)n階α次積分C半群{TB(t)}t≥0的表達(dá)式。作為2個(gè)特殊情況,對(duì)于任意復(fù)數(shù)r,在推論1中給出A+r生成的雙連續(xù)n階α次積分Cr半群{Tr(t)}t≥0的表達(dá)式,在推論2中給出rA生成的雙連續(xù)n階α次積分CB半群{TrA(t)}t≥0的表達(dá)式,從而豐富了雙連續(xù)n階α次積分C半群理論。