摘" 要：通過(guò)類比函數(shù)的抽象與表達(dá)，從隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布中抽象出正態(tài)分布的密度函數(shù)，并以解析形式給出定義，類比函數(shù)的性質(zhì)，研究一般正態(tài)分布的特征、類比函數(shù)的應(yīng)用求解概率問(wèn)題等都體現(xiàn)了借助確定性數(shù)學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象的方法. 讓學(xué)生在正態(tài)分布的研究過(guò)程中逐步體會(huì)一般觀念在概率學(xué)習(xí)中發(fā)揮的重要的思維引領(lǐng)作用.

關(guān)鍵詞：一般觀念；正態(tài)分布；函數(shù)；思維引領(lǐng)

中圖分類號(hào)：G633.6" " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A" " "文章編號(hào)：1673-8284（2024）11-0010-06

章建躍博士在一般觀念的定義中列舉了部分一般觀念，包括“概率的性質(zhì)指什么”. 經(jīng)過(guò)實(shí)踐探索，筆者認(rèn)為應(yīng)該從“怎樣研究概率”這個(gè)角度進(jìn)行回答. 概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用的研究工具是確定性數(shù)學(xué). 以高中階段為例，常用工具為代數(shù)、函數(shù)、幾何等知識(shí). 因此，我們可以從這個(gè)角度理解概率的一般觀念.

以正態(tài)分布為例，可以類比函數(shù)的研究過(guò)程，包括類比函數(shù)的抽象與表達(dá)，從隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布中抽象出密度函數(shù)，類比函數(shù)的性質(zhì)研究一般正態(tài)分布的特征，類比函數(shù)的應(yīng)用求解概率問(wèn)題等. 以“正態(tài)分布”教學(xué)實(shí)踐完成后的再設(shè)計(jì)為例，通過(guò)借助函數(shù)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，類比函數(shù)的研究過(guò)程來(lái)研究概率分布，發(fā)揮一般觀念在研究數(shù)學(xué)對(duì)象中的思想引領(lǐng)作用.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

通過(guò)研究服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量，初步了解正態(tài)分布.

2. 內(nèi)容解析

正態(tài)分布既是概率論中的一種重要分布，又是自然界中的一種常見(jiàn)分布. 例如，測(cè)量誤差、動(dòng)物和植物的生理指標(biāo)、自動(dòng)流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量誤差等都近似服從正態(tài)分布. 一般地，若受諸多因素影響的某種數(shù)量指標(biāo)，其中的任意單一因素對(duì)它的影響都非常小，則該指標(biāo)服從正態(tài)分布. 正態(tài)分布具有許多性質(zhì)，所以在滿足精度要求的情況下，會(huì)把許多分布用正態(tài)分布近似表示. 因此，在理論研究中，正態(tài)分布十分重要.

連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布規(guī)律的刻畫和研究方法可以類比連續(xù)函數(shù)的研究過(guò)程，即按照研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本套路“實(shí)例抽象—定義—表示—性質(zhì)—應(yīng)用”進(jìn)行. 函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、最值、周期性、對(duì)稱性等，而某些隨機(jī)變量同樣具有上述性質(zhì)，當(dāng)然也包括概率的非負(fù)性、概率之和為1等. 即使看似是隨機(jī)變量所特有的均值和方差，也不過(guò)是因?yàn)楸容^而產(chǎn)生的度量性概念而已. 與之前建立二項(xiàng)分布和超幾何分布概率模型的方法不同，建立正態(tài)分布模型采用的是從經(jīng)驗(yàn)分布模型過(guò)渡到理論模型的方法. 對(duì)誤差隨機(jī)變量X進(jìn)行觀測(cè)，獲得誤差樣本數(shù)據(jù)，借助直方圖的直觀，描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律. 根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，直觀想象，得到一條鐘形曲線，通過(guò)分析曲線的函數(shù)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)曲邊梯形的面積表示概率，進(jìn)而借助信息技術(shù)獲得密度函數(shù)的解析式，完成正態(tài)分布模型的構(gòu)建. 可見(jiàn)，通過(guò)借助函數(shù)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，類比函數(shù)的研究過(guò)程研究概率分布，能夠發(fā)揮一般觀念在研究一般數(shù)學(xué)對(duì)象過(guò)程中的思想引領(lǐng)作用.

3. 教學(xué)重點(diǎn)

了解正態(tài)分布的特征，理解正態(tài)分布的均值、方差及其分別對(duì)應(yīng)的含義.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 單元目標(biāo)

（1）通過(guò)分析誤差模型，了解隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；通過(guò)分析具體實(shí)例，借助頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布的特征.

（2）了解正態(tài)分布的均值、方差及其分別對(duì)應(yīng)的含義.

2. 目標(biāo)解析

（1）通過(guò)具體實(shí)例，了解連續(xù)型隨機(jī)變量；通過(guò)分析誤差模型，借助頻率分布直方圖，描述樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，理解正態(tài)密度曲線在刻畫隨機(jī)變量取值概率中的作用.

（2）能夠敘述正態(tài)分布的特征（正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性、峰值等）；會(huì)用面積表示概率[Pa≤X≤b]；會(huì)利用信息技術(shù)工具計(jì)算正態(tài)分布的概率，了解參數(shù)對(duì)正態(tài)密度曲線形態(tài)的影響，明白正態(tài)分布的均值、方差及其分別對(duì)應(yīng)的含義，并能夠解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1. 問(wèn)題診斷

（1）雖然服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，但是連續(xù)型隨機(jī)變量的取值不能逐個(gè)列舉，且它取任意單值點(diǎn)的概率都是0. 因此，需要利用新的數(shù)學(xué)工具刻畫隨機(jī)變量的分布規(guī)律. 由于高中階段不研究一般的連續(xù)型隨機(jī)變量，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)正態(tài)分布的理解存在一定的困難. 在教學(xué)中，教師可以先對(duì)均勻分布問(wèn)題進(jìn)行分析，為學(xué)生提供解決問(wèn)題的思路，以便幫助他們建立對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的直觀認(rèn)識(shí)，為理解正態(tài)分布作鋪墊.

（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)大多數(shù)以頻率分布直方圖的形式出現(xiàn)，學(xué)生欠缺由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒗碚撃Ｐ偷慕?jīng)驗(yàn)和方法，難以抽象出連續(xù)型隨機(jī)變量并構(gòu)建正態(tài)分布模型. 因此，加強(qiáng)教學(xué)與信息技術(shù)的融合是構(gòu)建概率模型的重要方法，也是學(xué)習(xí)此章內(nèi)容的重要途徑. 例如，利用Excel表格或者GeoGebra軟件模擬隨機(jī)實(shí)驗(yàn)；繪制頻率分布直方圖，通過(guò)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)直方圖，抽象正態(tài)密度曲線，通過(guò)改變均值、方差等參數(shù)大小，了解正態(tài)分布的特征關(guān)系，利用GeoGebra軟件計(jì)算正態(tài)分布的相關(guān)概率.

2. 教學(xué)難點(diǎn)

描述服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的概率分布，體會(huì)由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒗碚撃Ｐ偷乃枷敕椒?

四、教學(xué)支持條件分析

在教學(xué)中，可以利用信息技術(shù)工具（如GeoGebra軟件），通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒗碚撃Ｐ停斫鈪?shù)在模型中的作用.

五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引出研究對(duì)象

問(wèn)題1：在某城市一個(gè)有紅綠燈的路口，紅燈持續(xù)40 s，綠燈持續(xù)60 s，交替循環(huán). 小明來(lái)到這個(gè)路口，求他遇到綠燈的概率，并回答以下問(wèn)題.

（1）獲取隨機(jī)事件概率的方法有哪些？你采用的是什么方法？

（2）該問(wèn)題的隨機(jī)變量是什么？你能寫出隨機(jī)變量的分布列嗎？如果不能，類比函數(shù)的表示方法描述該分布的特征.

預(yù)設(shè)答案：（1）學(xué)生一般用“主觀概率方法”獲取“小明遇到綠燈的概率為0.6”，而該方法通常用于解決無(wú)法進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)或者試驗(yàn)結(jié)果不是等可能的問(wèn)題. 顯然，該方法用于此處缺乏科學(xué)性，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生借助頻率的方法估計(jì)概率.

（2）學(xué)生不能寫出分布列，存在以下原因：當(dāng)離散型隨機(jī)變量的取值為有限個(gè)且能夠逐個(gè)列出時(shí)，才能寫出分布列（分布列可以類比用列表法表示離散函數(shù)）. 而該問(wèn)題是在某個(gè)循環(huán)周期內(nèi)，小明遇到綠燈的時(shí)間點(diǎn)為隨機(jī)變量，其充滿60 s的整個(gè)區(qū)間，這一區(qū)間內(nèi)的數(shù)值是連續(xù)不斷的，且取某一點(diǎn)的概率為0，我們稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.

用隨機(jī)變量的觀點(diǎn)對(duì)該題描述如下：樣本空間為[Ω=x 0≤x≤100]，定義隨機(jī)變量T為小明來(lái)到路口的時(shí)刻，則T是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，它的取值充滿區(qū)間[0，100]內(nèi)，如圖1所示.

由于隨機(jī)變量T落在任意區(qū)間內(nèi)的概率只與該區(qū)間的長(zhǎng)度成正比. T服從均勻分布，類比連續(xù)函數(shù)的解析法可以利用函數(shù)（密度函數(shù)）[px=1100，0≤x≤100，0，xlt;0 或 xgt;100]求解概率，則小明遇到綠燈的概率為[PA=P40≤][T≤100=0.6].

教師借助Excel表格中的“[=RAND *100]”函數(shù)生成均勻分布的隨機(jī)數(shù)，繪制頻率分布直方圖，通過(guò)擴(kuò)大樣本容量，抽象出密度函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生理解通過(guò)密度函數(shù)求解概率的方法.

追問(wèn)1：連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量有什么區(qū)別？類比函數(shù)，歸納連續(xù)型隨機(jī)變量的特點(diǎn).

追問(wèn)2：生活中還有哪些隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量？結(jié)合實(shí)際，談?wù)勥@些隨機(jī)變量是均勻分布的嗎？

預(yù)設(shè)答案：（1）連續(xù)型隨機(jī)變量不能逐個(gè)列舉，其取值充滿某個(gè)區(qū)間或者整個(gè)實(shí)軸，且取其中某一點(diǎn)的概率為0. 類比表示連續(xù)函數(shù)變化規(guī)律的方法，即解析法、圖象法，可以刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.

（2）等車的時(shí)間、某種電子元件的壽命、某地同齡人群的身高或體重等都是連續(xù)型隨機(jī)變量. 類似的還有，小麥的株高、穗長(zhǎng)、單位畝產(chǎn)量，零件的尺寸，某地每年某月的平均氣溫、降水量，居民的月均用水量，等等.

師生活動(dòng)：學(xué)生回答問(wèn)題，教師借助Excel表格與GeoGebra軟件演示用蒙特卡羅方法（又稱統(tǒng)計(jì)模擬法、隨機(jī)抽樣技術(shù)）繪制頻率分布直方圖，解釋直方圖的直觀效果，并通過(guò)不斷增加樣本數(shù)據(jù)抽象出均勻分布的密度函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生借助密度函數(shù)與對(duì)應(yīng)區(qū)間，以及x軸所圍成的面積來(lái)刻畫相應(yīng)隨機(jī)事件的概率.

【設(shè)計(jì)意圖】服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量. 由于高中階段不研究一般的連續(xù)型隨機(jī)變量，所以可以類比圖象法在表示函數(shù)時(shí)對(duì)變量間的變化規(guī)律所凸顯的直觀效果，解釋頻率分布直方圖的直觀性，類比離散函數(shù)對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析，幫助學(xué)生建立對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的直觀認(rèn)識(shí)，為學(xué)生理解正態(tài)分布作鋪墊. 借助Excel表格中的“[=RAND *100]”函數(shù)生成均勻分布的隨機(jī)數(shù). 學(xué)生曾經(jīng)在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊(cè)學(xué)習(xí)過(guò)，為了理解隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生原理，可以通過(guò)擴(kuò)大樣本容量，抽象密度函數(shù)，并利用密度函數(shù)來(lái)求解概率. 而生成服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)“[=NORMINV RAND ，μ，σ]”函數(shù)中，參數(shù)過(guò)多，不利于學(xué)生理解隨機(jī)數(shù)的生成原理. 教師可以借助均勻分布，讓學(xué)生提前形成研究連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布的一般觀念.

2. 借助信息技術(shù)，構(gòu)建正態(tài)分布模型

問(wèn)題2：自動(dòng)流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400 g. 由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會(huì)存在一定的誤差（實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量）. 用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量. 檢測(cè)人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測(cè)值如下.

[-0.6 -1.4 -0.7 3.3 -2.9 -5.2 1.4 0.1 4.4 0.9 -2.6 -3.4 -0.7 -3.2 -1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2 0.5 -3.7 2.7 1.1 -3.0 -2.6 -1.9 1.7 2.6 0.4 2.6 -2.0 -0.2 1.8 -0.7 -1.3 -0.5 -1.3 0.2 -2.1 2.4 -1.5 -0.4 3.8 -0.1 1.5 0.3 -1.8 0.0 2.5 3.5 -4.2 -1.0 -0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 -0.6 -4.4 -1.1 3.9 -1.0 -0.6 1.7 0.3 -2.4 -0.1 -1.7 -0.5 -0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 -1.8 -3.1 -2.1 -1.6 2.2 0.3 4.8 -0.8 -3.5 -2.7 3.8 1.4 -3.5 -0.9 -2.2 -0.7 -1.3 1.5 -1.5 -2.2 1.0 1.3 1.7 -0.9 ]

（1）如何描述這100個(gè)樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？

（2）如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回憶由頻率分布直方圖估計(jì)概率與對(duì)比特征數(shù)（頻率、均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差）的方法，教師利用GeoGebra軟件作圖（如圖2），分析特征數(shù)對(duì)頻率分布直方圖輪廓的影響.

預(yù)設(shè)答案：頻率分布直方圖中，誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率可以用每個(gè)小矩形的面積表示，所有小矩形的面積之和為1. 誤差觀測(cè)值有正有負(fù)，并大致對(duì)稱地分布在[X=0]的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁. 標(biāo)準(zhǔn)差與方差反映了數(shù)據(jù)的集中與離散程度，表現(xiàn)為標(biāo)準(zhǔn)差與方差越大，圖形的輪廓越“矮胖”，標(biāo)準(zhǔn)差與方差越小，圖形的輪廓越“瘦高”.

【設(shè)計(jì)意圖】頻率分布直方圖雖然是學(xué)生在人教A版教材必修第二冊(cè)中學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，但是教師引導(dǎo)學(xué)生回憶，可以加強(qiáng)新、舊知識(shí)的聯(lián)系，為后面歸納正態(tài)曲線的特征及理解參數(shù)的意義作鋪墊.

追問(wèn)：隨著樣本數(shù)據(jù)量的變大（即分組越來(lái)越多，組距越來(lái)越?。?，頻率分布直方圖的輪廓如何變化？如何估計(jì)概率分布？

師生活動(dòng)：教師利用信息技術(shù)軟件展示改變頻率分布直方圖的分組數(shù)，觀察其輪廓形狀，引導(dǎo)學(xué)生想象當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量越來(lái)越大時(shí)，頻率分布直方圖的輪廓越來(lái)越穩(wěn)定，逐漸接近一條光滑的鐘形曲線.

預(yù)設(shè)答案：由頻率分布直方圖得到鐘形曲線，鐘形曲線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)小矩形，且鐘形曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1.

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內(nèi)的概率，可以用陰影部分的面積表示，如圖3所示.

師生活動(dòng)：學(xué)生展示，教師點(diǎn)評(píng).

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生熟悉的頻率分布直方圖入手，類比圖象法表示函數(shù)的直觀性，體會(huì)圖形對(duì)刻畫處在某一區(qū)間內(nèi)的樣本點(diǎn)的多少的直觀效果，引出正態(tài)密度函數(shù)，為下面學(xué)習(xí)正態(tài)分布的概念作鋪墊.

3. 基于抽象，形成正態(tài)分布的定義

教師講解：圖3的鐘形曲線是函數(shù)圖象嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)是否存在解析式呢？答案是肯定的. 棣莫弗找到了鐘形曲線的解析式[fx=1σ2πe-x-μ22σ2，][x∈R]，其中[μ∈R，σgt;0]為參數(shù). 我們稱[fx]為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線. 但當(dāng)時(shí)它只是作為一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，直至高斯提出“正態(tài)誤差”的理論后，正態(tài)密度函數(shù)才獲得了“概率分布”的身份.

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為[fx]，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為[X][～][Nμ，σ2]. 特別地，當(dāng)[μ=0，σ=1]時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即[X][～][N0，1].

教師可以適當(dāng)補(bǔ)充正態(tài)分布解析式的探究史.

教師補(bǔ)充：棣莫弗曾稱正態(tài)密度曲線為神之曲線，正態(tài)密度函數(shù)雖然復(fù)雜，但是也十分優(yōu)美，解析式中包含了圓周率π及自然對(duì)數(shù)底數(shù)e這兩個(gè)常數(shù)、最小質(zhì)數(shù)的算術(shù)平方根[2]和[μ，σ]兩個(gè)參數(shù)；高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱. 用“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè). 德國(guó)的10馬克紙幣上就印有高斯的頭像和正態(tài)密度曲線.

正態(tài)分布不但在概率與統(tǒng)計(jì)中占有重要地位，還廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)踐中. 在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似服從正態(tài)分布. 例如，測(cè)量產(chǎn)生的誤差，流水線產(chǎn)品的某種質(zhì)量指標(biāo)，某地每年某月份的氣溫、降水量等.

師生活動(dòng)：教師利用GeoGebra軟件作圖，通過(guò)改變樣本數(shù)據(jù)的分組和組距，顯示正態(tài)密度函數(shù)的解析式.

練習(xí)：用符號(hào)表示圖4中的陰影區(qū)域，并解釋其意義.

預(yù)設(shè)答案：若[X][～][Nμ，σ2]，則如圖4所示，X取值不超過(guò)x的概率[PX≤x]為圖中區(qū)域A的面積，而[Pa≤X≤b]為圖中區(qū)域B的面積.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)介紹正態(tài)密度函數(shù)的數(shù)學(xué)史料，讓學(xué)生了解正態(tài)分布的概念. 雖然概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題并非確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是正態(tài)密度函數(shù)定義的準(zhǔn)確性可以通過(guò)類比解析法表示函數(shù)來(lái)體現(xiàn).

4. 借助函數(shù)，研究正態(tài)密度曲線的特征及其參數(shù)的意義

問(wèn)題3：在研究函數(shù)的一般觀念的指導(dǎo)下，觀察正態(tài)密度曲線及其對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)，類比函數(shù)的研究思路，你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)密度曲線具有哪些特征？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，歸納正態(tài)密度函數(shù)的特征.

預(yù)設(shè)答案：由正態(tài)密度函數(shù)及其圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)密度曲線具有以下特點(diǎn).

（1）曲線是單峰的，它關(guān)于直線[x=μ]對(duì)稱；

（2）曲線在[x=μ]處達(dá)到峰值[1σ2π]；

（3）當(dāng)[x]無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近[x]軸.

【設(shè)計(jì)意圖】從“數(shù)”與“形”兩個(gè)方面反映了事物的屬性. 從“形”上觀察圖象得出性質(zhì)，從“數(shù)”上證明了對(duì)應(yīng)的性質(zhì).“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”相結(jié)合，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合的便捷.

追問(wèn)：正態(tài)密度函數(shù)中的參數(shù)[μ]和[σ]對(duì)正態(tài)密度曲線的形狀有何影響？它們反映了正態(tài)分布的哪些特征？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，學(xué)生認(rèn)真思考后發(fā)表看法，教師評(píng)價(jià)完善.

預(yù)設(shè)答案：函數(shù)[y=fx-μ]的圖象可由[y=fx]的圖象平移得到. 因此，在參數(shù)[σ]取固定值時(shí)，正態(tài)密度曲線的位置由[μ]確定，且隨著[μ]的變化而沿[x]軸平移，如圖5所示.

當(dāng)[μ]取定值時(shí)，因?yàn)榍€的峰值[1σ2π]與[σ]成反比，而且對(duì)任意的[σgt;0]，正態(tài)密度曲線與[x]軸之間的區(qū)域的面積總為1. 因此，當(dāng)[σ]較小時(shí)，峰值高，正態(tài)密度曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)[σ]較大時(shí)，峰值低，正態(tài)密度曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖6所示.

觀察圖5和圖6可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)[μ]反映了正態(tài)分布的集中位置，[σ]反映了隨機(jī)變量的分布相對(duì)于均值[μ]的離散程度. 實(shí)際上，若[X][～][Nμ，σ2]，則[EX=][μ]，[DX=σ2]. 在實(shí)際問(wèn)題中，參數(shù)[μ，σ]可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì).

【設(shè)計(jì)意圖】在一般觀念的指導(dǎo)下，類比函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等性質(zhì)的研究方法，研究正態(tài)密度函數(shù)的性質(zhì)，并分析不同參數(shù)對(duì)性質(zhì)的影響，最終把握正態(tài)分布的特征. 體會(huì)研究函數(shù)性質(zhì)的重要目的是更好地把握變化中的規(guī)律.

5. 依據(jù)密度曲線，分析解決問(wèn)題

教師講解：假設(shè)[X][～][Nμ，σ2]，可以證明：對(duì)給定的[k∈N*]，[Pμ-kσ≤X≤μ+kσ]是一個(gè)只與[k]有關(guān)的定值. 特別地，[Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.682 7]，[Pμ-2σ≤X≤μ+2σ≈0.954 5，Pμ-3σ≤X≤μ+3σ≈][0.997 3]. 上述結(jié)果可用圖7表示.

問(wèn)題4：在問(wèn)題2中的食鹽流水線上抽取食鹽，隨機(jī)抽取一袋，發(fā)現(xiàn)誤差超過(guò)6 g，你能做出什么判斷？判斷的依據(jù)是什么？如果規(guī)定誤差的絕對(duì)值不超過(guò)4 g就認(rèn)為合格，估計(jì)這批食鹽的合格率.

預(yù)設(shè)答案：在一次試驗(yàn)中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.002 7，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生. 質(zhì)量檢測(cè)中，如果沒(méi)有外力干預(yù)，在檢測(cè)出的產(chǎn)品為極端產(chǎn)品（誤差過(guò)大，出現(xiàn)小概率事件）時(shí)，則認(rèn)為此批產(chǎn)品不合格，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理即為正態(tài)分布的[3σ]原則.

6. 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置

完成人教A版教材選擇性必修第三冊(cè)第87頁(yè)習(xí)題7.5第1[～]4題.

上述教學(xué)設(shè)計(jì)滲透著與函數(shù)的類比，在這樣的方法論指導(dǎo)下學(xué)習(xí)正態(tài)分布，不僅可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解隨機(jī)變量在描述隨機(jī)現(xiàn)象中的作用，還能讓學(xué)生感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，加深對(duì)概率一般觀念的理解.

參考文獻(xiàn)：

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引用格式：張永剛，張維亞. 一般觀念引領(lǐng)下的概率教學(xué)探索：以“正態(tài)分布”為例［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（11）：10-15.

基金項(xiàng)目：山西省教育科學(xué)“十四五”一般規(guī)劃課題——高中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)實(shí)施范式的研究（GH-240624）.

作者簡(jiǎn)介：張永剛（1982— ），男，高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)研究；

張維亞（1998— ），女，二級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育和課堂教學(xué)研究.