李伊凡，李新宇，王 進(jìn)

（青島大學(xué) 物理科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266071）

0 引言

溫室效應(yīng)不斷積累，地氣系統(tǒng)吸收與發(fā)射的能量不平衡，能量不斷在地氣系統(tǒng)累積，從而溫度上升，全球氣候變暖，導(dǎo)致極地海冰快速消融，在過去的幾年中，北極的海冰范圍呈現(xiàn)出一種長期的下降趨勢[1]。海冰的快速消融，影響了極地海域的海洋鹽度，因此對極地海域海洋鹽度的觀測逐漸得到重視。目前對于海面鹽度的研究，大多集中在遙感衛(wèi)星觀測、現(xiàn)場實測等方面?，F(xiàn)場觀測雖然精度高，但是無法獲取大范圍的海面鹽度數(shù)據(jù)，且費時費力。微波遙感反演是獲得大范圍鹽度數(shù)據(jù)的有效手段。目前，國際上海表鹽度遙感衛(wèi)星有：歐空局ESA（European Space Agency）于2009年發(fā)射的土壤濕度和海洋鹽度衛(wèi)星（Soil Moisture and Ocean Salinity，SMOS）以及美國國家航空航天局NASA（National Aeronautics and Space Administration）于2011年和2015年發(fā)射的寶瓶座鹽度衛(wèi)星（Aquarius/SAC-D）和土壤濕度主-被動遙感衛(wèi)星（Soil Moisture Active Passive，SMAP）[2-4]。鹽度遙感衛(wèi)星通過接收海面輻射亮溫，提取海面鹽度信息。由輻射傳輸方程可知，海面微波輻射可以表示為海面溫度與海面發(fā)射率的乘積。海面發(fā)射率可以表示為平靜海面發(fā)射率與粗糙海面發(fā)射率之和，其中平靜海面發(fā)射率由菲涅耳方程和海水介電模型描述，是輻射計觀測亮溫中對海面鹽度變化敏感的部分。在鹽度遙感應(yīng)用中，要求精度優(yōu)于0.1～0.2 psu，考慮到 L 波段亮溫對鹽度變化的敏感性只有 0.2～0.8 K/psu，這就對海水介電常數(shù)提出了苛刻的要求[5]。

在早期研究中，STOGRYN、KLEIN、SWIFT、ELLISON 等人利用德拜表達(dá)式初步建立了海水介電常數(shù)的模型函數(shù)[6-9]。KLEIN 和SWIFT（以下簡稱KS）以及HO、HALL 等人分別在2.6 GHz 和1.4 GHz 的測量基礎(chǔ)上，使用了不同的靜態(tài)介電常數(shù)εs（S，T）表達(dá)式，對STOGRYN 模型進(jìn)行了修正，KS 和STOGRYN 的海水介電常數(shù)模型適用于L 到 X 波段的頻率范圍[10-11]。MEISSNER 和WENTZ（以下簡稱MW）開發(fā)的另一種模型函數(shù)將介電常數(shù)數(shù)據(jù)擬合到雙德拜多項式上，該多項式在更高頻率下表現(xiàn)更好[12]。MW 模型函數(shù)在2012年和2014年基于WindSat 和AMSR 的C 波段和X波段信道的結(jié)果，對Debye 參數(shù)進(jìn)行了微調(diào)[13-14]。MW 模型用于Aquarius 和SMAP SSS 反演算法。為了改進(jìn)模型功能，最終提高鹽度反演的準(zhǔn)確性，喬治華盛頓大學(xué)（George Washington University，GWU）測量了1.413 GHz（遙感使用的頻率）的介電常數(shù)，并于2017年基于這些實驗室測量數(shù)據(jù)，將介電常數(shù)展開為S和T的三階多項式，開發(fā)了海水介電模型函數(shù)，簡稱GW2017 模型[15]。此外，為了進(jìn)一步研究海水在低溫下的介電常數(shù)，喬治華盛頓大學(xué)又對鹽度為30 psu、34 psu、35 psu，溫度為-1.5～3 ℃的海水進(jìn)行了測量。2021年，構(gòu)建了由德拜分子共振項和電導(dǎo)率項組成的基于物理的模型函數(shù)，簡稱 GW2020（以下簡稱GWU）[16]。

但是，目前廣泛使用在海面鹽度遙感領(lǐng)域中的Klein-Swift 模型、Meissner-Wentz 模型在低海溫時鹽度反演誤差較大，因此本文旨在使用更大鹽度和溫度范圍內(nèi)的實驗數(shù)據(jù)發(fā)展一個包含低溫條件下的高精度L 波段的介電模型。本文第1 章介紹了構(gòu)建海水介電常數(shù)模型所使用的數(shù)據(jù)與方法；第2 章介紹了新模型的系數(shù)并將新模型函數(shù)與其它現(xiàn)有模型在介電常數(shù)模擬精度方面進(jìn)行了比較；第3 章是結(jié)論。

1 數(shù)據(jù)與方法

1.1 數(shù)據(jù)

本文為了建立介電模型函數(shù)，使用了LANG、ZHOU 等人在2017年之前，在溫度為0～35℃、鹽度值為30 psu、33 psu、35 psu、38 psu 的情況下進(jìn)行的海水介電常數(shù)的測量數(shù)據(jù)，溫度間隔為5℃[17]。此外，為了進(jìn)一步研究海水在低溫下的介電常數(shù)，還使用了ZHOU 等人2018年之后的新測量數(shù)據(jù)[16]。

藍(lán)色塊為2018-2020年的新測量數(shù)據(jù)；黃色塊為2017年之前的測量數(shù)據(jù)。圖1 測量數(shù)據(jù)點Fig.1 Measurement data points

1.2 模型構(gòu)建

新模型函數(shù)用鹽度S和溫度T的多項式表示：

式中：ε為海水介電常數(shù)；未知復(fù)系數(shù)pm,n根據(jù)測量數(shù)據(jù)，可以通過奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）技術(shù)[18-19]直接求解；m、n分別表示鹽度S和溫度T的階數(shù)；L表示S和T的最高階。

在指定模型函數(shù)的多項式的階數(shù)尚未確定時，將考慮L=3，4，5 階的值。做出選擇的標(biāo)準(zhǔn)將基于數(shù)據(jù)和模型函數(shù)預(yù)測之間的均方根誤差（RMSE）。定量地表示實部和虛部的均方根誤差為

式中：υ是自由度，假設(shè)數(shù)據(jù)點的個數(shù)為N=77，多項式系數(shù)的個數(shù)為M，則υ=N-M，這個差值就是模型函數(shù)施加約束后剩下的獨立隨機(jī)變量的個數(shù)；α和β分別為鹽度和溫度的數(shù)據(jù)點數(shù)量；和分別為模型函數(shù)值與實測數(shù)據(jù)的實部與虛部之差。

模型函數(shù)的系數(shù)是通過最小化介電測量數(shù)據(jù)與模型函數(shù)之間的歸一化平方誤差得到的。對系數(shù)的實部和虛部分別進(jìn)行最小化。對于，模型函數(shù)值與實測數(shù)據(jù)之差被定義為

式中：Si為海水樣品鹽度的第i值；Tj為測量溫度的第j值；為在Si和Tj處測量的介電常數(shù)的實部值；為模型函數(shù)在Si和Tj處的實部。根據(jù)PRESS 等人[18]，將除以實驗室測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，得到歸一化差值

式中：α和β分別為測得的鹽度和溫度值的個數(shù)；'2χ為代價函數(shù)[18]。

將式（3）和式（4）代入式（5），并將其化為矩陣形式，可以簡化'2χ的最小化過程。然后利用SVD 技求最小解，矩陣公式的細(xì)節(jié)如下。注意：虛部系數(shù)的確定過程與此類似，虛部的代價函數(shù)記為。

將式（3）和式（4）代入式（5），得到卡方統(tǒng)計量：

矩陣形式下，式（6）可以寫成

式中：矩陣A′由元素構(gòu)成；列向量p′由多項的列向量；列向量b′由元素式系數(shù)pm,n構(gòu)成，是模型函數(shù)系數(shù)構(gòu)成。因此，最小化問題可以表述為求p′使（7）最小化。

矩陣A′稱為設(shè)計矩陣，是一個N×M矩陣（N和M的定義見第1.2 節(jié)）。行數(shù)N等于數(shù)據(jù)點總數(shù)，列數(shù)M等于（L+1）2。矩陣A′的表達(dá)式為

式（8）中的W′為權(quán)重矩陣；式（7）中的向量b′是權(quán)重矩陣W′乘測量的介電常數(shù)值。

最后，利用SVD 技術(shù)可以找到最小解。解決方案為

2 結(jié)果與討論

2.1 模型系數(shù)

在本節(jié)中，根據(jù)1.2 節(jié)介紹的方法，確定了模型函數(shù)多項式的階數(shù)，并給出模型的相關(guān)系數(shù)，最后建立新模型。

對多項式類型L=3，4，5，采用SVD 方法得到模型函數(shù)表達(dá)式。基于這些模型函數(shù)，分別計算了實部和虛部的RMSE 的值。表1 列出了這些值。

表1 不同階次多項式模型的誤差Table 1 Errors of polynomial models of different orders

由表2 可以看出，當(dāng)L=4 時，實部和虛部的RMSE 均小于L=3 和L=5。因此選擇L=4 作為本文模型的最高階數(shù)。表2 和表3 給出了L=4 時多項式系數(shù)的實部和虛部。

表2 模型擬合系數(shù)（實部）Table 2 Model fitting coefficient（real part）

表3 模型擬合系數(shù)（虛部）Table 3 Model fitting coefficient（imaginary part）

2.2 介電常數(shù)計算結(jié)果比較

在本節(jié)中，將新模型函數(shù)與KS 和MW 模型函數(shù)以及GWU 模型計算的不同溫度和鹽度條件下的L 波段海水介電常數(shù)虛部和實部進(jìn)行比較。

模型函數(shù)值與測量數(shù)據(jù)的RMSE 誤差比較見表4。

表4 模型函數(shù)值與測量數(shù)據(jù)的RMSE 誤差Table 4 RMSE errors between model function values and measured data

4 種模型函數(shù)在實驗室測量點處的偏差如圖2（a）-2（h）所示。

圖2 4 種模型在實驗室測量點的偏差對比圖Fig.2 Comparison of deviations of 4 models at laboratory measurement points

由表4 知，新模型計算的海水介電常數(shù)與實驗室測量數(shù)據(jù)的RMSE 誤差為0.09（實部）和0.25（虛部），KS 模型、MW 模型、GWU 模型在實部比新模型對實驗室測量數(shù)據(jù)的RMSE 高估了0.37、0.44、0.01；在虛部高估了0.1、0.28、0.03。所以，無論是實部還是虛部，由新模型計算的介電常數(shù)都與實測數(shù)據(jù)更吻合。為了更好地理解擬合誤差，在圖2（a）-2（h）中，在L= 4 的情況下，繪制了4種模型的與鹽度和溫度的關(guān)系圖?？梢钥闯?，GWU 模型和新模型的′與測量數(shù)據(jù)的擬合都很好，雖然的偏差大于但使用相同測量數(shù)據(jù)擬合的GWU 模型和新模型的擬合效果優(yōu)于KS、MW 模型。

4 種模型在鹽度S=0，30，35 時計算的介電常數(shù)實、虛部對比（包含實驗室數(shù)據(jù)點）如圖3（a）-3（f）所示。對于0 psu，只有KS 模型計算的實部-5～5 ℃時明顯偏低，其他模型非常接近，而4種模型計算的虛部僅在-5～0 ℃的低溫下，有些許偏差，其他溫度下基本一致；對于30 psu 和35 psu，MW 模型實部整體偏低，KS 模型實部仍然在低溫時明顯偏低，與實驗室測量數(shù)據(jù)點有較大偏差，而4 種模型計算的虛部在-5～35 ℃的溫度下幾乎一致。由圖可知，GWU 模型和新模型函數(shù)無論實部還是虛部均與實驗室測量數(shù)據(jù)最為吻合。其中，KS 模型在5 ℃以下誤差較大的可能原因是在構(gòu)建時使用了溫度為5、10 ℃、20 ℃、30 ℃的數(shù)據(jù)，未包含5 ℃以下的低溫數(shù)據(jù)；而MW 模型所使用的數(shù)據(jù)集是從衛(wèi)星反演數(shù)據(jù)中反推得到的，其數(shù)據(jù)代表性和模型的適用性受到限制，且由上述結(jié)果可知，其計算的介電常數(shù)實部在海溫-5～35 ℃下，與實驗室測量數(shù)據(jù)相比誤差較大。

圖3 4 種模型在不同鹽度時介電常數(shù)實、虛部對比圖Fig.3 Comparison of real and virtual dielectric constants of 4 models at different salinities

3 結(jié)束語

本文基于LANG、ZHOU 等人的實驗室測量數(shù)據(jù)，采用最小二乘法和奇異值分解技術(shù)求解模型參數(shù)，構(gòu)建了一個多項式形式的L 波段海水介電模型。為了驗證模型的精度，本文將新模型與KS 模型、MW 模型、GWU 模型以及SMAP 衛(wèi)星實測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)新模型計算的介電常數(shù)誤差為0.09（實部）和0.25（虛部），優(yōu)于其它3個模型。