胡雨迪 熊建文

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院 廣東 廣州 510006)

方位徑向擺是一個(gè)多自由度非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)[1]．它的特點(diǎn)是:在方位徑向擺的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,徑向振蕩(平行于桿)可以自發(fā)轉(zhuǎn)變?yōu)榉轿徽袷?垂直于桿),彈性桿、擺錘相互耦合,相互影響．所以說(shuō)方位徑向擺為三維空間中的彈性桿與擺錘的耦合振動(dòng)[2]．

理論分析指出,方位角、彈性桿直徑、彈性桿長(zhǎng)度、徑向擺擺長(zhǎng)等多因素對(duì)方位徑向擺運(yùn)動(dòng)存在影響[2]．但以往對(duì)方位徑向擺的實(shí)驗(yàn)研究大多只討論了方位角對(duì)方位徑向擺運(yùn)動(dòng)的影響[3],本文利用Tracker軟件追蹤自制方位徑向擺的運(yùn)動(dòng),以更全面地探討多因素對(duì)方位徑向擺運(yùn)動(dòng)的影響．

1 實(shí)驗(yàn)原理與裝置

1.1 理論模型

將一水平彈性桿一端固定在右側(cè)剛性鐵架臺(tái)上,用一細(xì)繩拉緊彈性桿使彈性桿平行于地面．在彈性桿外端懸掛一擺球．左側(cè)鐵架臺(tái)上固定有臺(tái)虎鉗,使用臺(tái)虎鉗控制擺球釋放時(shí)的高度和方位角度．初始狀態(tài)下,擺線應(yīng)處于恰好緊繃的狀態(tài)．

如圖1所示,以水平垂直彈性桿方向?yàn)閤軸,沿彈性桿方向?yàn)閥軸,豎直垂直彈性桿方向?yàn)閦軸建立直角坐標(biāo)系．令擺線與z軸負(fù)方向的夾角為Φ．設(shè)彈性桿沿x方向的位移為x1,沿y方向的位移為y1,不考慮沿z方向的位移．彈性桿形變近似滿足胡克定律,則彈性桿的勢(shì)能函數(shù)為

圖1 方位徑向擺模型建立

(1)

擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)1,彈性桿長(zhǎng)為L(zhǎng)2．設(shè)小球相對(duì)于彈性桿的末端在x、y和z方向的位移為x2、y2、z2．?dāng)[球的運(yùn)動(dòng)需滿足幾何條件

(2)

設(shè)彈性桿的線密度為ρ,則彈性桿的質(zhì)量為m1=ρL2．彈性桿在x和y方向的速度分量為Vx(y),Vy(y),可知彈性桿的動(dòng)能函數(shù)為

(3)

設(shè)小球的質(zhì)量為m2,重力加速度為g,則小球的勢(shì)能函數(shù)為[1]

V2=-m2gz2

(4)

小球的動(dòng)能函數(shù)為

(5)

根據(jù)拉格朗日方程

L=T-V=T1+T2-V1-V2=

(6)

帶入拉格朗日方程

(7)

求得該微分方程的解即方位徑向擺的運(yùn)動(dòng)微分方程．

1.2 轉(zhuǎn)化時(shí)間T的計(jì)算

如圖2所示,令擺線在水平面上的投影與y軸負(fù)方向的夾角為θ,定義小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到θ變?yōu)?0°所經(jīng)歷的時(shí)間為方位徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間T．

1.3 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)中,選取直徑為22 mm的小球,使用電子天平稱量得到小球質(zhì)量為m=45.3 g．選取直徑d分別為6 mm,8 mm,10 mm的彈性桿進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究(圖3)．

圖3 實(shí)驗(yàn)器材

實(shí)驗(yàn)儀器主要有鐵架臺(tái)、蝴蝶鉗、不同直徑的彈性桿、透明魚(yú)線、小鐵球、小鐵架臺(tái)、臺(tái)虎鉗、手機(jī)等．實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖,如圖4所示．

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖

2 實(shí)驗(yàn)步驟

搭建實(shí)驗(yàn)裝置,使用魚(yú)線將彈性桿固定在大鐵架臺(tái)上,保證彈性桿平行于地面．將臺(tái)虎鉗固定在小鐵架臺(tái)上,通過(guò)調(diào)整臺(tái)虎鉗的位置和高度控制擺球釋放的方位角．使用手機(jī)俯視拍攝1 min徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡視頻．分別改變釋放時(shí)的方位角、彈性桿直徑、彈性桿長(zhǎng)度、徑向擺擺長(zhǎng),錄制不同情況下徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡．將視頻導(dǎo)入Tracker軟件進(jìn)行分析處理(圖5),獲得徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡,去除擺球釋放前的視頻片段,以2幀為間隔追蹤擺球運(yùn)動(dòng)位置,分析釋放后50 s內(nèi)擺球的運(yùn)動(dòng)(約700個(gè)位點(diǎn))．將Tracker軟件中小球的軌跡數(shù)據(jù)導(dǎo)出,使用繪圖軟件Origin繪制小球的運(yùn)動(dòng)軌跡,并計(jì)算徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間T．

圖5 Tracker軟件數(shù)據(jù)分析圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

3.1 徑向擺軌跡與方位角的關(guān)系

在桿長(zhǎng)L=25 cm,擺長(zhǎng)S=45 cm的條件下,當(dāng)θ=45°時(shí),改變擺球釋放時(shí)的方位角Φ(10°,45°,80°),得到徑向擺軌跡并求出每種情況下的轉(zhuǎn)化時(shí)間,結(jié)果如表1所示．為更清晰地觀察徑向擺軌跡,取2T內(nèi)徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡,以Φ=45°和Φ=80°為例,結(jié)果如圖6所示．此外,還進(jìn)一步分析了2T內(nèi)徑向擺在x軸方向(圖7)和y軸方向(圖8)的衰減情況．

表1 不同方位角Φ下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T(θ=45°)

圖6 不同方位角Φ下2T內(nèi)徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡

圖7 不同方位角Φ下2T內(nèi)徑向擺x-t圖像

圖8 不同方位角Φ下2T內(nèi)徑向擺y-t圖像

同樣的,在桿長(zhǎng)L=25 cm,擺長(zhǎng)S=45 cm的條件下,當(dāng)Φ=45°時(shí),改變擺球釋放時(shí)的方位角θ(10°,45°,80°),得到徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T如表2所示．圖9中的(a)、(b)、(c)展示了不同方位角θ下2T內(nèi)徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡．同理圖10和圖11分別展示了不同方位角θ下2T內(nèi)徑向擺在x軸方向和y軸方向的衰減情況．

表2 不同方位角θ下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T(Φ=45°)

圖9 不同方位角θ下2T內(nèi)徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡

圖10 不同方位角θ下2T內(nèi)徑向擺x-t圖像

圖11 不同方位角θ下2T內(nèi)徑向擺y-t圖像

實(shí)驗(yàn)中,θ的大小決定了擺球釋放的位置,Φ的大小決定了擺球釋放時(shí)的高度,也決定了初始狀態(tài)擺球的重力勢(shì)能．無(wú)論是方位角θ還是方位角Φ,當(dāng)角度變大的時(shí)候,徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間變短,徑向擺在y軸方向的衰減會(huì)明顯加快．

3.2 徑向擺軌跡與彈性桿直徑的關(guān)系

在彈性桿桿長(zhǎng)L=25 cm,擺長(zhǎng)S=45 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,使用直徑d不同的彈性桿(6 mm,8 mm,10 mm),得到不同彈性桿直徑下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T,結(jié)果如表3所示．圖12展示了當(dāng)彈性桿直徑d=8 mm和d=10 mm時(shí)2T內(nèi)徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡．

表3 不同彈性桿直徑d下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T

圖12 不同彈性桿直徑d下2T內(nèi)徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,彈性桿直徑越大,徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間越長(zhǎng)．實(shí)驗(yàn)中,直徑為6 mm的彈性桿無(wú)法讓徑向擺完成徑向擺動(dòng)的轉(zhuǎn)化．由于彈性桿的直徑與彈性桿的彈性系數(shù)有關(guān),可以推測(cè),若要讓徑向擺完成徑向轉(zhuǎn)化,彈性桿的彈性系數(shù)存在最大臨界值．

3.3 徑向擺軌跡與彈性桿桿長(zhǎng)的關(guān)系

在彈性桿直徑d=10 mm,擺長(zhǎng)S=45 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,改變彈性桿的桿長(zhǎng)L(15 cm,25 cm,35 cm),得到不同彈性桿桿長(zhǎng)下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T,結(jié)果如表4所示．圖13展示了當(dāng)彈性桿桿長(zhǎng)L=25 cm和L=35 cm時(shí)2T內(nèi)徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡．

表4 不同彈性桿桿長(zhǎng)L下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T

圖13 不同彈性桿桿長(zhǎng)L下2T內(nèi)徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,桿長(zhǎng)越長(zhǎng),徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間越短．實(shí)驗(yàn)中,桿長(zhǎng)為15 cm的彈性桿無(wú)法讓徑向擺完成徑向擺動(dòng)的轉(zhuǎn)化．因此可以推測(cè),若要讓徑向擺完成徑向擺動(dòng)的轉(zhuǎn)化,彈性桿的桿長(zhǎng)存在最小臨界值．

3.4 徑向擺軌跡與擺長(zhǎng)的關(guān)系

在彈性桿直徑d=10 mm,桿長(zhǎng)L=25 cm,方位角θ=Φ=45°的條件下,改變徑向擺擺長(zhǎng)S(25 cm,35 cm,45 cm),得到不同徑向擺擺長(zhǎng)下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T,結(jié)果如表5所示．圖14展示了不同徑向擺擺長(zhǎng)下2T內(nèi)徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,徑向擺擺長(zhǎng)越長(zhǎng),轉(zhuǎn)化時(shí)間越長(zhǎng)．

表5 不同彈性桿擺長(zhǎng)S下徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間T

圖14 不同徑向擺擺長(zhǎng)S下2T內(nèi)徑向擺運(yùn)動(dòng)軌跡

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)Tracker軟件追蹤了方位徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡,研究了不同方位角的大小、彈性桿直徑、彈性桿長(zhǎng)度、徑向擺擺長(zhǎng)下方位徑向擺的運(yùn)動(dòng)軌跡和轉(zhuǎn)化時(shí)間．結(jié)果表明,當(dāng)方位角θ或者方位角Φ角度變大的時(shí)候,徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間變短;一定范圍內(nèi),彈性桿直徑越大,徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間越長(zhǎng);一定范圍內(nèi),彈性桿桿長(zhǎng)越長(zhǎng),徑向擺的轉(zhuǎn)化時(shí)間越短;徑向擺擺長(zhǎng)越長(zhǎng),徑向擺轉(zhuǎn)化時(shí)間越長(zhǎng)．

綜上所述,方位徑向擺的運(yùn)動(dòng)受到多因素影響,該結(jié)論為未來(lái)進(jìn)一步探究各因素與方位徑向擺運(yùn)動(dòng)的定量關(guān)系提供參考．