成泓宣 胡建民 王月媛 牛 麗

(哈爾濱師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 黑龍江 哈爾濱 150025)

晶格振動(dòng)理論是固體物理學(xué)研究固體宏觀物理性質(zhì)和微觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重要理論基礎(chǔ),而一維原子鏈則是晶格振動(dòng)理論的基本模型[1].關(guān)于一維單原子鏈和一維雙原子鏈的研究已有大量文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)[2-4].對(duì)于一維三原子鏈,文獻(xiàn)[5]通過(guò)求解等間距和等恢復(fù)力系數(shù)這種特定原子鏈的色散關(guān)系進(jìn)而分析其特點(diǎn),在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[6]則重點(diǎn)分析了原子質(zhì)量對(duì)色散關(guān)系的影響規(guī)律,文獻(xiàn)[7]則對(duì)這種特定情況下的一維多原子鏈色散關(guān)系進(jìn)行了概括和總結(jié).與特定的一維原子鏈相比,一般情況下的一維三原子鏈求解則更復(fù)雜,其物理性質(zhì)也更豐富奇特、更具普遍意義,有必要深入探究.

本文擬求解一般情況下一維三原子鏈的色散關(guān)系,探究原子間恢復(fù)力系數(shù)對(duì)其色散關(guān)系的影響規(guī)律,相關(guān)研究結(jié)果既可以拓展固體物理教學(xué)內(nèi)容,也可為科技工作者提供理論指導(dǎo).

1 一般情況下一維三原子鏈模型及其色散關(guān)系

一般情況下的一維三原子鏈模型如圖1所示.

圖1 一般情況下的一維三原子鏈

近鄰原子間距分別為a、b和c(晶格常數(shù)為d=a+b+c),設(shè)m1、m2和m3分別表示原胞內(nèi)小原子、中原子和大原子質(zhì)量,近鄰原子間即小原子與中原子、中原子與大原子及大原子和小原子之間的恢復(fù)力系數(shù)分別為β1、β2和β3.適當(dāng)選取坐標(biāo)原點(diǎn)使第n個(gè)原胞內(nèi)小、中、大原子平衡位置分別為nd、nd+a和nd+a+b,設(shè)離開平衡位置的位移分別為x3n、x3n+1和x3n+2.

簡(jiǎn)諧近似下建立晶格原子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)

方程的試探解為簡(jiǎn)諧波

(2)

將上述試探解分別帶入式(1)中得到關(guān)于振幅A、B和C的齊次線性方程組為

(3)

根據(jù)方程組有非零解的條件即系數(shù)矩陣的行列式等于零可得

αω6+γω4+λω2+δ=0

(4)

其中

α=-m1m2m3

γ=[(β2+β3)m1m2+(β1+β3)m2m3+

(β1+β2)m1m3]

λ=-(β1β2+β1β3+β2β3)(m1+m2+m3)

δ=2β1β2β3(1-cosqd)

由重根判別式

φ=γ2-3αλτ=γλ-9αδσ=λ2-3γδ

和總判別式

κ=τ2-4φσ

可確定方程解的個(gè)數(shù),詳解如下.

(1)當(dāng)κ>0時(shí),方程有兩個(gè)虛根,沒(méi)有物理意義故而舍去.

(2)當(dāng)κ=0且φ≠0時(shí)方程有重根為

(3)當(dāng)κ=0且φ=τ=0時(shí)方程有三重根

值得注意的是,在原胞內(nèi)原子質(zhì)量和恢復(fù)力系數(shù)都相等的情況下,當(dāng)κ=0時(shí)q為確定值,則ω1、ω2和ω3為定值即此時(shí)的重根并不能給出一維原子鏈的色散關(guān)系;此外,當(dāng)φ=0時(shí)意味著原子質(zhì)量或恢復(fù)力系數(shù)等于零,則沒(méi)有實(shí)際物理意義.所以,此時(shí)方程解個(gè)數(shù)的減少并不意味著一維三原子鏈色散關(guān)系向一維雙原子鏈和單原子鏈過(guò)渡.

(4)當(dāng)κ<0時(shí),方程有3個(gè)不同實(shí)根即一維三原子鏈色散關(guān)系

(5)

由式(4)中的常數(shù)項(xiàng)和式(5)可知,色散關(guān)系與晶格常數(shù)d有關(guān),而與原胞內(nèi)原子間的相對(duì)距離無(wú)關(guān).對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值擬合可得色散關(guān)系曲線如圖2所示,低頻聲學(xué)支、中頻光學(xué)支及高頻光學(xué)支的頻帶分別為ω1、ω2和ω3,相應(yīng)的頻譜寬度分別為Δω1、Δω2和Δω3,頻率禁帶分別為Δω′和Δω″.當(dāng)原子間距相等且m1=m2=m3=m、β1=β2=β3=β時(shí)頻率禁帶消失,從而一般情況下的一維三原子鏈色散關(guān)系可過(guò)渡為一維單原子鏈的色散關(guān)系[5].關(guān)于晶格常數(shù)對(duì)色散關(guān)系的影響已有文獻(xiàn)報(bào)道,本文重點(diǎn)討論恢復(fù)力系數(shù)對(duì)其色散關(guān)系的影響.

圖2 一維三原子鏈簡(jiǎn)約布里淵區(qū)的色散關(guān)系曲線

2 恢復(fù)力系數(shù)對(duì)色散關(guān)系的影響

為分析不同原子間的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)色散關(guān)系的影響規(guī)律,本文通過(guò)數(shù)值分析分別得到聲學(xué)波和光學(xué)波頻帶頂和頻帶底分別隨恢復(fù)力系數(shù)β1、β2和β3變化的關(guān)系曲線如圖3所示.

圖3 一維三原子鏈頻帶頂和頻帶底隨恢復(fù)力系數(shù)的變化

圖3中ω1t為聲學(xué)波頻帶頂,ω2t和ω2b分別是低頻光學(xué)波的頻帶頂和頻帶底,ω3t和ω3b分別是高頻光學(xué)波的頻帶頂和頻帶底.為簡(jiǎn)便起見(jiàn),圖3中的恢復(fù)力系數(shù)并不是其真實(shí)值,而是β1、β2和β33個(gè)恢復(fù)力系數(shù)的相對(duì)值,相應(yīng)的格波頻率也取相對(duì)值.由圖3可見(jiàn),不同的原子間的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)格波頻率、頻譜寬度和頻率禁帶寬度的影響規(guī)律明顯不同.

首先,不同的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)各支格波頻率的影響不同.不同原子間恢復(fù)力系數(shù)增大均會(huì)使光學(xué)波頻率不同程度地升高.與光學(xué)波相比,聲學(xué)波受恢復(fù)力系數(shù)的影響不大.

其次,不同的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)頻譜寬度的影響不同.相比而言,高頻光學(xué)波頻譜寬度Δω3幾乎不受小原子和中原子間恢復(fù)力系數(shù)β1影響,而隨β2的增大逐漸變寬,隨β3的增大而變窄,這說(shuō)明不同原子間的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)高頻支聲子的能量分布范圍影響不同;與高頻光學(xué)波相比,中頻光學(xué)波頻譜寬度Δω2和低頻聲學(xué)波頻譜寬度Δω1=ω1t基本不受恢復(fù)力系數(shù)影響.

最后,不同的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)頻率禁帶的影響不同.兩支光學(xué)波之間的頻率禁帶Δω″隨小原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)β1和β3的增大顯著變寬,而隨β2的增大逐漸變窄并基本趨于恒定,前者是由于恢復(fù)力系數(shù)增大使高頻光學(xué)支聲子能量大幅度增高導(dǎo)致的,而后者則是由于中頻光學(xué)支聲子能量相比高頻光學(xué)支聲子能量更大幅度增高導(dǎo)致的;中頻光學(xué)波與低頻聲學(xué)波之間的頻率禁帶Δω′隨中原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)β1和β2的增大明顯變寬,而隨β3的增加則基本不變.由于恢復(fù)力系數(shù)對(duì)低頻聲學(xué)波的影響不大,所以頻率禁帶Δω′主要取決于中頻光學(xué)波頻帶底的變化.總之,通過(guò)改變不同的原子間恢復(fù)力系數(shù)在理論上可實(shí)現(xiàn)對(duì)頻率禁帶寬度的精細(xì)調(diào)節(jié).

與光學(xué)波相比,聲學(xué)波頻帶頂ω1t受恢復(fù)力系數(shù)的影響較小,本文單獨(dú)分析.

本文給出聲學(xué)波頻帶頂ω1t隨恢復(fù)力系數(shù)變化的關(guān)系曲線如圖4所示.由圖4可見(jiàn),不同原子間的恢復(fù)力系數(shù)對(duì)聲學(xué)波頻率的影響明顯不同,聲學(xué)波頻帶頂ω1t隨恢復(fù)力系數(shù)β1的增大而增大、隨β2的增加而減小,而與β3無(wú)關(guān),說(shuō)明聲學(xué)支聲子的能量只受中原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)的影響,與大小原子間的恢復(fù)力系數(shù)無(wú)關(guān).

圖4 聲學(xué)波頻帶頂隨恢復(fù)力系數(shù)的變化

3 結(jié)論

本文通過(guò)求解一般情況下一維三原子鏈的色散關(guān)系,討論恢復(fù)力系數(shù)對(duì)色散關(guān)系的影響.結(jié)果表明,在晶格常數(shù)和原子質(zhì)量一定的情況下,色散關(guān)系與原子間恢復(fù)力系數(shù)密切相關(guān).

高頻光學(xué)支聲子的能量隨恢復(fù)力系數(shù)的增大顯著升高,而中頻光學(xué)支聲子的能量?jī)H隨中原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)的增大而升高,而受大小原子間恢復(fù)力系數(shù)的影響很小.高頻和中頻光學(xué)波之間的頻率禁帶隨小原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)的增大而加寬,隨中大原子間恢復(fù)力系數(shù)的增大而變窄;中頻光學(xué)波與低頻聲學(xué)波之間的頻率禁帶則隨中原子兩側(cè)恢復(fù)力系數(shù)的增大而變寬,而受大小原子間恢復(fù)力系數(shù)的影響不大.與特定情況下一維三原子鏈相比,一般情況下的一維三原子鏈表現(xiàn)出更加豐富奇特的物理性質(zhì).本文相關(guān)研究結(jié)果是固體物理學(xué)基礎(chǔ)理論的深入探討,可為帶通濾波器的工程設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo).