李樹光, 曲 凱

(大連海事大學 理學院, 遼寧 大連 116026)

0 引 言

多孔介質(zhì)中的氣體流動廣泛存在于自然現(xiàn)象和工業(yè)技術(shù)中,因而對其開展數(shù)學建模研究具有重要的科學意義和應(yīng)用價值[1],如地質(zhì)層中天然氣的輸運[2],飛機油箱內(nèi)多孔閥的油氣過濾,飛行器外殼熱防護材料的氣動燒蝕等．然而,由于測量技術(shù)的局限性和多孔介質(zhì)空間結(jié)構(gòu)的復雜性,使得這種流動的研究非常困難,大多數(shù)工作僅能獲得多孔介質(zhì)中氣體流動的宏觀結(jié)果．許多研究是根據(jù)Darcy定律及其修正,從宏觀現(xiàn)象分析孔隙中氣體的流動．這種情況下,單孔中所發(fā)生的局部效應(yīng)僅作為整體特征的簡單估計(如Darcy定律中平均流速和實驗中滲透系數(shù)的確定),未充分考慮孔隙中流動的真實過程．孔隙中的流動對滲流的整體影響非常重要[3]:孔隙的幾何特征和局部流動決定了滲流的滲透性．因此,有必要準確描述孔隙中的局部流動．

許多學者應(yīng)用多種方法研究了多孔介質(zhì)孔隙中的局部流動,如均質(zhì)化和體積平均模型[4],孔隙網(wǎng)絡(luò)(“管束”)模型[5],分數(shù)階模型[6]等．每種方法都有其優(yōu)缺點,對于滲流問題的研究,描述孔隙中發(fā)生的實際物理過程以及微宏觀過程之間的理論聯(lián)系至關(guān)重要．因此,本文采用了文獻[7]中提出的針對周期性復合材料建模的漸近均質(zhì)法,該方法能夠有效模擬多孔介質(zhì)孔隙中的物理過程．目前,漸近均質(zhì)法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于解決多孔材料的熱力學問題[8]、復合材料有效性能預測[9-10],以及材料滲透性能估計[11]等問題．

應(yīng)用漸近均質(zhì)法獲得的描述局部流動的數(shù)學模型具有一些特殊性[12],主要是:通常具有積分-微分類型的均勻化限制和周期性邊界條件所構(gòu)成的約束條件．這使得局部問題的理論意義和求解方法有別于經(jīng)典的數(shù)學模型．一些研究數(shù)值求解了周期單元上的局部問題,包括罰函數(shù)有限元法[13]、光滑粒子流體動力學(SPH)方法[14]等．但是少有討論局部問題的特殊性和復雜約束條件的求解方法．

本文的目的是研究周期單元上氣體的局部流動問題,提出了一種基于對稱性和反對稱性擴展的簡化方法,開發(fā)求解局部問題的最小二乘有限元法,通過微管中Poiseuille流動的解析解驗證了相關(guān)模型和算法．

1 多孔介質(zhì)中氣體流動的連續(xù)介質(zhì)力學模型

1.1 多孔介質(zhì)的幾何模型

考慮如圖1所示的正交各向異性多孔介質(zhì)．建立如下假設(shè): ① 多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)具有周期性特征; ② 多孔介質(zhì)無死孔; ③ 周期單元是孔隙中充滿氣體的纖維和纖維材料所組成的區(qū)域; ④ 周期單元關(guān)于局部直角坐標系中的坐標平面具有幾何和物理的對稱性,這使得能夠?qū)⒂嬎銋^(qū)域簡化為1/8周期單元．

(a) 多孔介質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu) (b) 多孔介質(zhì)的周期單元 (c) 多孔介質(zhì)的1/8周期單元 (a) The microstructure of the porous medium (b) Periodic cell of the porous medium (c) 1/8 periodic cell of the porous medium

圖1中,V表示整個孔隙所占的區(qū)域,其邊界(固-氣邊界)用Σ表示,Vξ表示周期單元,Σξ表示孔隙中氣體與固體的邊界．

1.2 氣體流動的力學方程組

多孔介質(zhì)中氣體的流動由可壓縮Navier-Stokes方程組描述:

(1)

其中,ρ是密度,v是速度,T是Cauchy應(yīng)力張量,?表示張量積．

對氣體介質(zhì)設(shè)置如下假設(shè): ① 孔隙中的氣體介質(zhì)為理想氣體; ② 氣體是各向同性的Newton黏性介質(zhì),黏性系數(shù)非常小且不為零; ③ 氣體的質(zhì)量力密度為零; ④ 氣體的運動是等溫等壓的; ⑤ 氣體的體積黏度系數(shù)[12]為零,即λ+2μ/3=0,其中λ和μ是黏度系數(shù)．

根據(jù)各向同性線黏性介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系,Cauchy應(yīng)力張量可寫為

T=-pE+σ,

(2)

其中,p是壓力,σ=λ(?·v)E+2με是黏性應(yīng)力張量,ε=(??v+??vT)/2是應(yīng)變率張量．

考慮理想氣體的狀態(tài)方程:

p=ρRθ0,

(3)

其中,R是氣體常數(shù);θ0是恒定溫度．

在固氣界面,設(shè)置無滑移邊界條件:

v|Σ=0．

(4)

初始時刻t=t0的給定壓力為

p|t=t0=p0．

(5)

2 多孔介質(zhì)中氣體流動的局部建模

2.1 局部建模中漸近均質(zhì)法的尺度放大

根據(jù)多孔介質(zhì)的周期性假設(shè),速度v、壓力p和密度ρ由小參數(shù)κ的漸近展開式表示:

(6)

根據(jù)氣體黏性的假設(shè),可以得到μ=μ0κ2．

將式(6)和黏性假設(shè)代入系統(tǒng)(1)—(5)并以小參數(shù)κ的冪次進行分組后,得到周期單元上的局部問題如下:

(7)

進一步考慮三維多孔結(jié)構(gòu),氣體沿著局部坐標軸運動時,由于局部問題(7)的線性性質(zhì),其解可表示為“輸入數(shù)據(jù)”?xp(0)的線性函數(shù):

(8)

(9)

(10)

2.2 局部問題的物理意義

通過分析系統(tǒng)(9)可得結(jié)論:在局部層面上,當系統(tǒng)(9)固定一個α的值,也就確定一個偽不可壓縮線性流體的穩(wěn)態(tài)流動問題,并且系統(tǒng)(9)的解僅由孔的幾何形狀決定．因此,系統(tǒng)(9)適用于在上述假設(shè)框架下計算多孔介質(zhì)中氣體的流動．

2.3 局部問題在1/8周期單元上的簡化

進一步,考慮將局部問題簡化為1/8周期單元上的問題,從而進行數(shù)值求解．因此,根據(jù)解的對稱和反對稱原理得到以下關(guān)于解的延續(xù)性定理[11-12]．

(11)

2,3時,可采用類似的置換方式進行．圖2中的符號“+”表示從第一象限擴展到其他象限時函數(shù)不更改符號(即對稱擴展),符號“-”表示符號更改(即反對稱擴展)．

利用系統(tǒng)(11)的解進行對稱和反對稱擴展,在1/8周期單元的邊界平面上設(shè)置如下邊界條件:

(12)

2.4 滲透性的確定

(13)

3 局部問題的最小二乘有限元數(shù)值解法

(14)

(15)

(16)

接下來,考慮有限元公式(14)—(16)的近似函數(shù)．由于最小二乘公式(14)中近似函數(shù)的最小要求是線性的,因此可采用C0基函數(shù)[17]．盡管在所用的近似空間之間沒有兼容性限制(即inf-sup條件),在本文中仍然使用滿足inf-sup條件的近似函數(shù)．

4 數(shù) 值 結(jié) 果

本節(jié)中,首先驗證了所提出的模型和算法的可靠性和準確性,然后模擬了在圖1所示結(jié)構(gòu)中的流動．

4.1 微管中Poiseuille流動的數(shù)學模型和數(shù)值模擬

為驗證模型和算法,考慮單通道結(jié)構(gòu)中α=1時模型(9)的解析解．微管的1/8周期單元如圖3所示．

圖3 圓柱形單通道結(jié)構(gòu)的1/8周期單元Fig. 3 The 1/8 periodic cell of the cylindrical single channel structure

(17)

(18)

圓柱形單通道結(jié)構(gòu)的1/8周期單元中,系統(tǒng)(18)在柱坐標系下可表述為

(19)

其中,R是圓柱形單通道的半徑．根據(jù)式(19)可得Cauchy問題:

(20)

在試驗中,微管的半徑為0.4．因此,孔隙度的精確結(jié)果為0.502 654 82．計算微管中Poiseuille流動采用的是2 674個單元、4 698個節(jié)點的四面體網(wǎng)格．圖4中給出了計算結(jié)果,孔隙度的數(shù)值結(jié)果為0.502 654 65．由此,數(shù)值結(jié)果驗證了模型和數(shù)值算法的可靠性和準確性．

(a) Poiseuille流動的數(shù)值解 (b) 與精確解的比較 (a) The numerical solution of the Poiseuille flow (b) Comparison of numerical and exact solutions

4.2 正交各向異性多孔介質(zhì)中局部流動的數(shù)值結(jié)果

考慮圖1所示的幾何模型,孔隙中球體的無量綱半徑為0.35,圓柱(連接通道)的無量綱半徑為0.1．模型采用的參數(shù)為:壓力量綱p0=106Pa,速度量綱v0=1 m/s,多孔介質(zhì)的量綱長度L=1 m,周期單元的量綱長度l=10-4m,氣體(氮氣)的黏度μ=0.018 448 Pa·s．

表1 多孔介質(zhì)孔隙率和滲透系數(shù)的計算結(jié)果

(a) 速度分量 速度分量

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用漸近均質(zhì)法建立了描述三維周期性多孔結(jié)構(gòu)孔隙尺度下單相氣體局部流動的數(shù)學模型,獲得了周期單元上的局部問題,明確了局部問題的數(shù)學特殊性和物理意義,提出了一種基于對稱性和反對稱性擴展的簡化方法．通過對局部問題的分析,能夠準確地獲得多孔介質(zhì)的滲透率．

本文在分析局部問題的基礎(chǔ)上,提出了求解局部問題的最小二乘有限元方法,克服了由平均算子和周期性邊界條件引起的數(shù)值困難．最后,通過理論分析獲得了微管中Poiseuille流動的解析解,并驗證了所提出的數(shù)學模型和數(shù)值算法的可靠性和準確性．研究結(jié)果表明,應(yīng)用漸近均質(zhì)法能夠解決多孔介質(zhì)中的單相氣體流動問題,獲得多孔介質(zhì)的氣體滲透性．