楊震霆, 王雅靜, 聶雪陽, 徐新生, 周震寰

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

1983年,諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Shechtman教授首次在急速冷卻的鋁錳合金中發(fā)現(xiàn)了一種介于晶體與非晶體之間的物質(zhì)——準(zhǔn)晶體(QC)．該類物質(zhì)由于特殊的微觀結(jié)構(gòu),表現(xiàn)出諸多優(yōu)良的屬性,如隔熱、耐腐蝕、耐磨等,可用于制備太陽能選擇吸收器、儲(chǔ)氫材料等,在航空航天領(lǐng)域和新能源領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景．但是,準(zhǔn)晶體為脆性材料,自身極易發(fā)生斷裂失效,需要與其他材料組合使用．然而,由于材料失配問題,不同材料的界面處不可避免地會(huì)出現(xiàn)界面斷裂．因此,研究準(zhǔn)晶體組合結(jié)構(gòu)的界面斷裂問題具有重要的實(shí)際意義．

目前,準(zhǔn)晶體/壓電準(zhǔn)晶體(PQC)的斷裂力學(xué)研究已經(jīng)受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注．基于準(zhǔn)晶體的彈性理論[1],Fan(范天佑)等首次研究了準(zhǔn)晶體中的Griffith裂紋[2-3]．此后,研究者們進(jìn)一步深入研究了準(zhǔn)晶體線彈性斷裂問題[4-13]．在壓電準(zhǔn)晶體斷裂方面:Jiang和Liu[14]研究了含有V形切口的一維六方壓電準(zhǔn)晶體斷裂問題,并推導(dǎo)了應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解;Li等[15]采用奇異積分方程研究了橫觀各向同性壓電準(zhǔn)晶體圓柱殼的斷裂問題;Zhou和Li[16]考慮了壓電準(zhǔn)晶體中的半滲透裂紋并求解了應(yīng)力強(qiáng)度因子;Zhao等[17-18]發(fā)展了一種擴(kuò)展位移不連續(xù)邊界元法,研究了雙壓電準(zhǔn)晶體材料的界面斷裂問題;Hu等[19]研究了雙壓電準(zhǔn)晶體材料中的雙界面裂紋．

上述研究工作主要集中于單一準(zhǔn)晶體/壓電準(zhǔn)晶體斷裂問題,解析分析主要基于單變量的Lagrange求解系統(tǒng),需要根據(jù)邊界條件構(gòu)造假設(shè)函數(shù),因此大部分研究工作為無限大或半無限大的模型．此外,目前還沒有針對(duì)含有切口的壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體多材料界面反平面斷裂問題的相關(guān)研究．為解決上述問題,本文將辛方法與等幾何方法[20]相結(jié)合,發(fā)展了一種適用于壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體多材料組合結(jié)構(gòu)反平面界面斷裂問題的辛-等幾何耦合方法．辛方法[21]是鐘萬勰院士首次提出的一種全新的解析求解方法,該方法無需構(gòu)造假設(shè)函數(shù),是一種直接理性的求解方法,目前已廣泛應(yīng)用于多場耦合材料力學(xué)問題和斷裂力學(xué)領(lǐng)域．相比傳統(tǒng)方法,提出的辛-等幾何耦合方法主要具有以下三方面優(yōu)勢:① 無需切口尖端的控制點(diǎn)加密,節(jié)省了大量計(jì)算資源; ② 無需后處理,直接獲得切口尖端附近的物理場和強(qiáng)度因子解析表達(dá)式,計(jì)算精度大幅提高; ③ 可以避免復(fù)雜的網(wǎng)格剖分過程．

1 壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體的辛體系

1.1 基本模型

含V形切口的三材料組合結(jié)構(gòu)如圖1所示,為了研究切口在不同材料界面的情況,這里考慮3種情況: ① 切口位于壓電準(zhǔn)晶體和彈性體之間,即M1為壓電準(zhǔn)晶,M2為壓電晶體(PZC),M3為彈性體(情況1); ② 切口位于壓電晶體和彈性體之間,即M1為壓電晶體,M2為壓電準(zhǔn)晶,M3為彈性體(情況2); ③ 切口位于壓電準(zhǔn)晶體和壓電晶體之間,即M1為壓電準(zhǔn)晶,M2為彈性體,M3為壓電晶體(情況3)．以切口尖端為原點(diǎn),以上切口面為x軸和極軸建立直角坐標(biāo)系(x,y)和柱坐標(biāo)系(r,θ,z),以不同材料界面分別建立兩個(gè)子柱坐標(biāo)系(r1,θ1,z1)和(r2,θ2,z2)．

圖1 含切口的三材料組合結(jié)構(gòu)Fig. 1 The 3-material composite with a notch

1.2 Hamilton對(duì)偶方程

由文獻(xiàn)[22-23],三種材料反平面問題的應(yīng)變能密度和對(duì)應(yīng)的Lagrange密度函數(shù)為:

應(yīng)變能密度

(1)

(2)

(3)

Lagrange密度函數(shù)

(4)

(5)

(6)

引入廣義位移向量:

(7)

由Legendre變換,廣義位移的對(duì)偶變量為

(8)

因此,Hamilton函數(shù)為

(9)

由Hamilton變分原理,Hamilton對(duì)偶方程為

(10)

1.3 辛本征值和本征解

式(10)可采用分離變量法求解．令ψ(i)={q(i),p(i)}e-μξ,有

(11)

式(11)有零本征值,其對(duì)應(yīng)的本征解為

(12)

對(duì)于非零本征值,式(11)的通解為

(13)

該情況下,上下切口面聲子場、相位子場應(yīng)力和電位移為零:

{σθz|θ=0,Hzθ|θ=0,Dθ|θ=0}T=0,σθz|θ=-γ1-γ2-γ3=0．

(14)

壓電準(zhǔn)晶體與壓電晶體界面處,聲子場對(duì)應(yīng)的應(yīng)力、位移、電勢和電位移連續(xù),相位子場應(yīng)力為零:

(15)

壓電晶體與彈性體界面處聲子場應(yīng)力、位移連續(xù),電位移為零:

(16)

將通解(13)代入邊界條件(14)—(16)中可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

其中Λ由式(17)—(25)獲得．

式(26)有非零解,因此

|Λ|=0．

(27)

由于式(27)無法解析求解,采用迭代法可求出辛本征值的數(shù)值解．將本征值代入式(26)中,即可求出所有的非零本征值對(duì)應(yīng)的本征解．至此,式(11)中的所有辛本征解已全部獲得．因此,式(10)的解可以表達(dá)為這些辛本征解的線性組合:

(28)

2 辛-等幾何耦合方法

2.1 壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體的等幾何列式

采用NURBS基函數(shù)對(duì)聲子場/相位子場位移和電勢進(jìn)行離散:

(29)

對(duì)應(yīng)聲子場/相位子場應(yīng)變和電場強(qiáng)度為

(30)

將式(29)和(30)代入式(1)—(3)中,由變分原理即可得到等幾何列式:

K(i)a(i)=P(i),

(31)

(32)

其中

載荷向量P(i)為

(33)

2.2 壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體的辛-等幾何耦合列式

將模型分為兩個(gè)區(qū)域,如圖2所示．Ωs為奇異區(qū),該區(qū)域受切口尖端的奇異應(yīng)力影響較大．Ωn為非奇異區(qū),該區(qū)域遠(yuǎn)離切口尖端,受奇異應(yīng)力影響較?。?/p>

圖2 奇異區(qū)和非奇異區(qū)Fig. 2 The singular region and the non-singular region

將等幾何列式(31)按奇異區(qū)和非奇異區(qū)進(jìn)行分塊:

(34)

下標(biāo)s和n代表奇異區(qū)和非奇異區(qū)．采用辛方法對(duì)奇異區(qū)進(jìn)行求解,將奇異區(qū)的解式(28)代入式(34)中,即可獲得辛-等幾何耦合列式:

(35)

其中Φ(i)由辛本征解組成．可以發(fā)現(xiàn),辛-等幾何耦合列式中,基本未知量為辛本征解的待定系數(shù)和非奇異區(qū)內(nèi)控制點(diǎn)的未知量．當(dāng)求解該方程,獲得待定系數(shù)c,即可獲得模型奇異區(qū)內(nèi)物理場的解析表達(dá)式．

3 數(shù) 值 算 例

表1 壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體材料參數(shù)

3.1 對(duì)比算例

圖3 含內(nèi)部裂紋的壓電準(zhǔn)晶體Fig. 3 The square PQC with an internal crack

圖4 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨模型尺寸的變化Fig. 4 The variations of the stress intensity factor vs. the size of the model

圖5 圓形壓電晶體/環(huán)氧樹脂雙材料結(jié)構(gòu)Fig. 5 The circular PZC/epoxy bi-material

(a) κ1的影響(a) The effects of κ1

3.2 壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體三材料結(jié)構(gòu)的奇異性

考慮圖1中各角度對(duì)切口尖端奇異性的影響．計(jì)算參數(shù)為γ1=γ3=Δθ,γ2=180°．表2—4給出了不同情況下,切口尖端的奇異性隨各角度的變化．結(jié)果顯示情況1和情況2均有兩個(gè)奇異性指數(shù),而情況3僅有一個(gè)奇異性指數(shù),并且所有的奇異性指數(shù)均隨著角度Δθ的增加而降低．因此,切口的角度越小,3種情況的應(yīng)力奇異性越強(qiáng)．

表2 情況1時(shí)切口奇異性指數(shù)隨角度Δθ的變化

表3 情況2時(shí)切口奇異性指數(shù)隨角度Δθ的變化

表4 情況3時(shí)切口奇異性指數(shù)隨角度Δθ的變化

3.3 含邊切口的方形三材料結(jié)構(gòu)

考慮如圖7所示的含有邊切口的方形壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/環(huán)氧樹脂組合結(jié)構(gòu),分別考慮情況1、情況2、情況3三種組合方式．三材料角度分別為:γ1=γ3=60°和γ2=180°;切口深度為a;模型寬和高為L=6,H=12;無量綱載荷參數(shù)為:Δu=Δw=Δφ=0.1．由于三材料組合結(jié)構(gòu)尖端奇異性指數(shù)不再為-1/2,這里采用文獻(xiàn)[23,27]所定義的廣義強(qiáng)度系數(shù)．

(a) 情況1 (b) 情況2 (c) 情況3 (a) Case 1 (b) Case 2 (c) Case 3

表5 界面1強(qiáng)度系數(shù)(情況1)

表6 界面2強(qiáng)度系數(shù)(情況1)

表7 界面1強(qiáng)度系數(shù)(情況2)

表8 界面2強(qiáng)度系數(shù)(情況2)

表9 界面1強(qiáng)度系數(shù)(情況3)

表10 界面2強(qiáng)度系數(shù)(情況3)

4 結(jié) 論

本文發(fā)展了一種適用于壓電準(zhǔn)晶多材料組合結(jié)構(gòu)界面斷裂問題的辛-等幾何耦合方法．該方法可以分析含V形切口的壓電準(zhǔn)晶體/壓電晶體/彈性體的界面斷裂問題,直接獲得切口尖端附近區(qū)域內(nèi)的奇異物理場的解析表達(dá)式以及各物理場對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度因子．該方法克服了傳統(tǒng)數(shù)值方法在計(jì)算強(qiáng)度因子時(shí)存在網(wǎng)格和路徑依賴問題,并且不需要引入新的單元和復(fù)雜的后處理程序．