史洪巖，蔡志豪

（沈陽化工大學(xué)信息工程學(xué)院，遼寧沈陽 110142）

群智能優(yōu)化算法根據(jù)對(duì)自然界中生物群落個(gè)體之間的互相合作以及信息交換的模仿來找尋各種繁雜優(yōu)化問題的最優(yōu)解。近年來，群智能優(yōu)化算法憑借其簡單靈活的特點(diǎn)在優(yōu)化領(lǐng)域中受到了廣泛的關(guān)注。

麻雀搜索算法是薛建凱[1]在2020 年提出的一種群智能優(yōu)化算法，自提出以來，麻雀算法相較于其他優(yōu)化算法，憑借其原理簡單高效、搜索速度快等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用。然而，基本的麻雀算法同大多數(shù)優(yōu)化算法一樣，仍然面臨著求解精度不足、不能跳出局部最優(yōu)值等問題。因此，部分學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)[2]在發(fā)現(xiàn)者位置公式中引入自適應(yīng)權(quán)重并改進(jìn)邊界約束，增強(qiáng)算法的尋優(yōu)效果及搜尋速度。文獻(xiàn)[3]通過引入自適應(yīng)T 分布對(duì)麻雀?jìng)€(gè)體進(jìn)行變異擾動(dòng)的方式，防止算法陷入局部最優(yōu)。以上研究從不同角度在一定程度上對(duì)SSA 的尋優(yōu)性能有了提升，但仍有改進(jìn)的余地。

針對(duì)SSA 存在的不足以及為了提高SSA 的尋優(yōu)性能，提出一種基于自適應(yīng)權(quán)重與透鏡成像反向?qū)W習(xí)的改進(jìn)麻雀搜索算法（LIW-SSA）。通過找尋九個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)最優(yōu)解并進(jìn)行對(duì)比，證明LIW-SSA 是有效可行的。

1 麻雀搜索算法

麻雀搜索算法是受大自然中麻雀種群的行為特征啟發(fā)而設(shè)計(jì)的一種優(yōu)化算法，根據(jù)模仿麻雀種群的覓食與反覓食活動(dòng)來實(shí)現(xiàn)全局尋優(yōu)求解。在麻雀種群中發(fā)現(xiàn)者的作用通常是搜索食物并且為其他麻雀供應(yīng)食物來源，加入者則通過監(jiān)視發(fā)現(xiàn)者掌握食物來源。另外，當(dāng)某只加入者的食物來源優(yōu)于發(fā)現(xiàn)者，便取代了發(fā)現(xiàn)者的身份。反捕食行為由麻雀種群中意識(shí)到危險(xiǎn)的警界者負(fù)責(zé)，當(dāng)危險(xiǎn)來臨時(shí)，迅速向其他位置移動(dòng)。

發(fā)現(xiàn)者的位置更新公式為:

加入者的位置更新公式為:

式中，Xworst表示在所有麻雀中占據(jù)的最劣位置，n為麻雀數(shù)量，是發(fā)現(xiàn)者中的最優(yōu)位置，A是1×d的矩陣（所有元素均隨機(jī)取值為1 或者-1），且A+=AT(AAT)-1。

警界者的位置更新公式為：

2 基于多策略融合的麻雀搜索算法

2.1 Circle混沌映射

在基本的麻雀搜索算法中，麻雀種群的產(chǎn)生是隨機(jī)的，這往往會(huì)出現(xiàn)麻雀種群多樣性低且分布不均勻的問題[4]?；煦缬成淇梢陨苫煦缧蛄?，混沌序列分布與隨機(jī)生成相比更為均勻，故可以用來生成麻雀種群[5]。目前，常被使用的映射有Logistic 映射、Circle 映射等，如圖1 所示，在分別經(jīng)過300 次與500次迭代后，Logistic 映射生成的混沌序列在接近1 和0處分布相對(duì)密集，而Circle 映射與之相比整體分布較為均勻，所以該文將Circle 映射用來生成麻雀種群。

圖1 混沌映射分布圖

Circle 映射公式如下所示：

其中，a=0.5，b=0.2，i為映射產(chǎn)生的序列號(hào)。采用Circle 映射生成種群的步驟如下：首先，隨機(jī)生成一組d維序列，然后，根據(jù)式（4）進(jìn)行迭代，直至產(chǎn)生N（麻雀種群規(guī)模）組d維序列，最后，將其映射到算法的優(yōu)化空間中。

通過采用Circle 映射策略來代替麻雀算法中的隨機(jī)生成種群方式，使得麻雀種群質(zhì)量更高且分布更均勻，從而提升算法找尋最優(yōu)解的速度。

2.2 自適應(yīng)權(quán)重因子

在基本麻雀算法中，式（3）中的β由于取值為隨機(jī)值，使得算法在前后期的搜索能力大打折扣[6]。在文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)下，將自適應(yīng)權(quán)重因子w引進(jìn)到麻雀警戒者更新公式中，在搜索前期，權(quán)重較大，能夠很好地提高算法的全局開發(fā)能力；在搜索后期，權(quán)重較小，又能大大提高算法的局部挖掘能力。w的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，t為算法當(dāng)前迭代次數(shù)，P的值為500。

引入w后的警戒者更新公式如下：

通過在警戒者的更新公式中引進(jìn)自適應(yīng)權(quán)重因子，有利于加強(qiáng)算法早期所需的全局開發(fā)與末期所需的局部挖掘能力，從而能夠進(jìn)一步提升算法的求解性能。

2.3 透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略

針對(duì)麻雀搜索算法跳出局部最優(yōu)能力弱的缺陷，許多學(xué)者引入反向?qū)W習(xí)策略[8-11]來改善算法的性能，根據(jù)當(dāng)前麻雀位置生成反向位置，以此尋求最優(yōu)解。與反向?qū)W習(xí)相比，透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略[12-13]能更好地?cái)U(kuò)大搜索范圍，找尋最優(yōu)解。透鏡成像原理圖如圖2 所示。

圖2 透鏡成像原理圖

如圖2 所示，假設(shè)在區(qū)間[lb,ub]的空間范圍內(nèi)存在個(gè)體P，其高度為h，在x軸上的投影為X。通過放置在o點(diǎn)（為[lb,ub]的中點(diǎn)）的凸透鏡成像可得到高度為h′的P′，其在x軸上的投影為X′，則由成像原理可以得到：

由式（8）可以清晰地看出，當(dāng)k的值為1 時(shí)，公式變?yōu)橐话惴聪驅(qū)W習(xí)策略。另外，通過式（8）可以得到在D維空間中的公式如下：

該文將一般反向?qū)W習(xí)策略與Circle 映射相結(jié)合來初始化麻雀種群，Circle 映射可以使初始麻雀?jìng)€(gè)體在搜索空間內(nèi)分布較為廣泛，再通過一般反向?qū)W習(xí)策略生成反向種群，根據(jù)麻雀?jìng)€(gè)體優(yōu)劣確定最終種群，因此提升了算法的初始種群質(zhì)量以及收斂速度。最后采用透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略對(duì)當(dāng)前最優(yōu)麻雀?jìng)€(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)，生成新的麻雀?jìng)€(gè)體，并引入貪婪機(jī)制：首先求出最優(yōu)麻雀?jìng)€(gè)體與透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略生成的反向個(gè)體的適應(yīng)度值，然后對(duì)適應(yīng)度值進(jìn)行比較，最后選擇適應(yīng)度值較優(yōu)的麻雀?jìng)€(gè)體作為當(dāng)前的最優(yōu)麻雀?jìng)€(gè)體，從而大大降低了算法陷入局部最優(yōu)的可能性。

2.4 LIW-SSA算法步驟

LIW-SSA 算法的整體實(shí)施流程如下：

步驟一：確定相關(guān)參數(shù)：如搜索空間界限、種群數(shù)量、算法迭代次數(shù)、發(fā)現(xiàn)者數(shù)量、警戒者數(shù)量等。

步驟二：初始化麻雀種群：首先，將Circle 映射用來生成麻雀種群（種群規(guī)模為N），然后，利用一般反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生一個(gè)與之相反的種群并與初始種群合并（種群規(guī)模為2N），最后，根據(jù)麻雀?jìng)€(gè)體的適應(yīng)度值大小選取前N個(gè)麻雀作為最終種群。

步驟三：記錄最優(yōu)、最差麻雀?jìng)€(gè)體的適應(yīng)度值與相應(yīng)位置。

步驟四：根據(jù)麻雀的適應(yīng)度將排在較前的個(gè)體視為發(fā)現(xiàn)者，根據(jù)式（1）進(jìn)行位置更新。

步驟五：除發(fā)現(xiàn)者外的所有麻雀均為加入者，根據(jù)式（2）進(jìn)行位置更新。

步驟六：在所有麻雀中隨機(jī)抽取部分個(gè)體為警戒者，根據(jù)式（6）進(jìn)行位置更新。

步驟七：按照式（9）對(duì)當(dāng)前最優(yōu)麻雀進(jìn)行透鏡成像學(xué)習(xí)，生成新的麻雀?jìng)€(gè)體，并根據(jù)適應(yīng)度值大小決定是否替換。

步驟八：更新最優(yōu)值、最差值以及對(duì)應(yīng)位置。

步驟九：反復(fù)執(zhí)行步驟四至八，直到達(dá)到算法最大迭代次數(shù)，輸出最終結(jié)果。

3 LIW-SSA性能測(cè)試與分析

為了檢驗(yàn)該文提出的LIW-SSA 是有效可行的，從文獻(xiàn)[14]中選取F1-F8、F13九個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)并對(duì)其進(jìn)行尋優(yōu)求解，在文中表示為F1-F9，其中F8-F9為多峰測(cè)試函數(shù)，其余均為單峰測(cè)試函數(shù)，所有測(cè)試函數(shù)的維度均為30。

3.1 不同優(yōu)化算法之間的對(duì)比

將LIW-SSA 與SSA、GWO（灰狼優(yōu)化算法）[15]、WOA（鯨魚優(yōu)化算法）[16-17]進(jìn)行性能測(cè)試對(duì)比，每種算法的種群規(guī)模均為30，算法迭代次數(shù)均設(shè)置為500，麻雀算法中的發(fā)現(xiàn)者和警戒者數(shù)量分別占種群規(guī)模的20%、10%。另外，由于群智能優(yōu)化算法存在很大的不確定性，故為了確保測(cè)試結(jié)果的公平每種算法均測(cè)試30 次，最終仿真測(cè)試結(jié)果如表1 所示。

根據(jù)表1 可以看出，在函數(shù)F8中，GWO 的標(biāo)準(zhǔn)差最小，SSA 次之，LIW-SSA 與WOA 不相上下。在除F8之外的其余函數(shù)中，LIW-SSA 的標(biāo)準(zhǔn)差均小于其他算法，說明了LIW-SSA 算法比其余三種算法的穩(wěn)定性能要好。另 外，對(duì)于函數(shù)F1、F3，LIW-SSA 與SSA 相較于另外兩種算法都能夠達(dá)到理論最優(yōu)值，而對(duì)于函數(shù)F4，只有LIW-SSA 找到了理論最優(yōu)值，對(duì)于函數(shù)F2，F(xiàn)5-F9來說，盡管LIW-SSA 沒有找到理論最優(yōu)值，但相較于另外三種算法均有不同程度的提升。在所有測(cè)試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)中，LIW-SSA 的平均值遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于另外三種算法。通過對(duì)最優(yōu)值以及平均值的比較，證明了LIW-SSA 的尋優(yōu)性能較好。綜上所述，LIW-SSA 算法穩(wěn)定性及尋優(yōu)精度均優(yōu)于其余三種算法。

3.2 改進(jìn)策略之間的對(duì)比

為了驗(yàn)證不同改進(jìn)策略對(duì)SSA 的貢獻(xiàn)，將LIW-SSA 與SSA、融合透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略的LI-SSA以及引入自適應(yīng)權(quán)重因子[18-19]的W-SSA 進(jìn)行尋優(yōu)實(shí)驗(yàn)對(duì)比。在測(cè)試過程中，算法的迭代次數(shù)均設(shè)置為1 000 次，麻雀種群規(guī)模均設(shè)定為100，發(fā)現(xiàn)者和警戒者數(shù)量分別設(shè)置為種群規(guī)模的20%、10%。目標(biāo)函數(shù)的最終仿真測(cè)試結(jié)果如表2 所示。

表2 不同策略的仿真數(shù)據(jù)

根據(jù)表2 分析得出，兩種不同的改進(jìn)策略對(duì)麻雀搜索算法均有不同程度的提升。通過函數(shù)F1-F4的仿真，雖然四種算法都能夠達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，但LIW-SSA 的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差有了極大的提升，同樣在函數(shù)F5、F7的對(duì)比中，LIW-SSA 的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差也有了幾個(gè)量級(jí)的提升。在函數(shù)F6、F8、F9中，W-SSA 的尋優(yōu) 精度是 最高的，LIW-SSA 次之?？傮w而言，在九個(gè)測(cè)試函數(shù)中，LIW-SSA 尋優(yōu)效果較好。在其余算法的比較中，LI-SSA 在函數(shù)F1-F4中表現(xiàn)較好，W-SSA 在函數(shù)F5-F9中占據(jù)明顯優(yōu)勢(shì)。因此驗(yàn)證了SSA融合兩種改進(jìn)方法是有效可行的。

為了更加直觀地觀測(cè)改進(jìn)策略對(duì)SSA 的影響，給出函數(shù)的收斂曲線如圖3 所示?？梢钥闯?，對(duì)于函數(shù)F1-F4，LIW-SSA 與LI-SSA 都能夠 找到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值，且求解精度與速度領(lǐng)先于另外兩種算法，W-SSA 在收斂速度以及尋優(yōu)精度上略微領(lǐng)先于SSA。通過函數(shù)F5、F8可以看出LIW-SSA 和W-SSA在收斂速度以及尋優(yōu)性能上表現(xiàn)良好，LI-SSA 的收斂速度與SSA 大致相同，但在求解精度上略勝一籌。在函數(shù)F6、F7、F9上雖然四種算法收斂速度不相上下，但LIW-SSA、LI-SSA、W-SSA 的尋優(yōu)精度與SSA 相比均有不同程度的提升，故通過收斂曲線的對(duì)比再次證明了該文提出的改進(jìn)策略的有效性以及LIW-SSA 的優(yōu)越性。

圖3 收斂曲線圖

4 結(jié)論

該文在SSA 的基礎(chǔ)上利用Circle 映射+一般反向?qū)W習(xí)機(jī)制初始化麻雀種群，提升了種群豐富性，然后通過將自適應(yīng)權(quán)重因子w引入到警戒者更新公式中，加強(qiáng)了算法前期所需的全局開發(fā)以及后期所需的局部挖掘能力，最后將透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略應(yīng)用到當(dāng)前麻雀最優(yōu)個(gè)體上，避免算法陷入局部最優(yōu)。經(jīng)過九個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)求解對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明了該文提出的LIW-SSA 與其他群智能優(yōu)化算法如GWO、WOA 以及單策略的LI-SSA、W-SSA 相比，無論是算法的尋優(yōu)精度還是穩(wěn)定性都得到了極大改善。