陳威 王立 梅蕊 俞軍 孫陽

摘?要：

為了解決采用標準Monte Carlo法計算復雜基坑工程上常見小概率失效，導致計算效率低的問題，以南京市湖南路地下商業(yè)街工程為工程背景，首先，將隨機響應(yīng)面法與基坑工程三維模型相結(jié)合，求解極限功能函數(shù)的響應(yīng)面方程，并用標準Monte Carlo法計算失效概率和可靠指標，探討采用倒邊蓋挖逆作法作為基坑支護結(jié)構(gòu)施工方法的可行性；其次，基于該響應(yīng)面方程，以土體的彈性模量為隨機變量參數(shù)，采用馬爾可夫鏈蒙特卡羅子集模擬法（MCMC子集模擬法）計算基坑支護結(jié)構(gòu)的失效概率，并與標準Monte Carlo法結(jié)果進行對比分析。結(jié)果表明：當支護結(jié)構(gòu)最大側(cè)移控制指標為25 mm時，計算得到的可靠指標均大于4.6，即采用倒邊蓋挖逆作法施工過程中基坑是安全的；10萬次和50萬次標準Monte Carlo法計算得到的失效概率均為零，說明對于標準Monte Carlo法，在計算小概率失效問題時10萬與50萬的樣本量是不足的；而MCMC子集模擬法用2.98萬個樣本計算出的結(jié)果與標準Monte Carlo法采用100萬個樣本計算的結(jié)果相對誤差僅為1.7%，表明MCMC子集模擬法對于小概率失效問題求解的優(yōu)勢。所提算法在一定程度上提高了計算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)小概率失效問題的效率，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的相關(guān)研究具有一定參考價值。

關(guān)鍵詞：

地下工程；基坑；可靠度；隨機響應(yīng)面法；Monte Carlo法；MCMC子集模擬法

中圖分類號：

TU437

文獻標識碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx01005

Reliability analysis of supporting structure of foundation pit with inverted cover excavation and top-down construction method

CHEN Wei1， WANG Li1， MEI Rui2， YU Jun3， SUN Yang2

（1Power China of Huadong Engineering Copporation Limited， Hangzhou， Zhejiang 311122， China; 2College of Port， Coastal and Offshore Engineering， Hohai University， Nanjing， Jiangsu 210098， China; 3Zhejiang Police College， Hangzhou， Zhejiang 310053， China）

Abstract：

To solve the low computational efficiency of the standard Monte Carlo method to calculate the common small probability of failure problems in complex foundation pit projects， took the underground commercial street project on Hunan Road in Nanjing as the engineering background. Firstly， the stochastic response surface method was combined with the three-dimensional model of the foundation pit project， the response surface equation of the limit function was solved， and the probability of failure and the reliability index were calculated with the standard Monte Carlo method. Then， based on the response surface equation， the Markov chain Monte Carlo subset simulation method （MCMC subset simulation method） was used to calculate the failure probability of the foundation pit support structure with the elastic modulus of the soil as the random variable parameter， and the results were compared with those of the standard Monte Carlo method. The results show that when the maximum lateral displacement control index of the supporting structure is 25 mm， the calculated reliability index is greater than 4[DK（].[DK）]6， indicating that the pit is safe during the construction of inverted cover excavation; The failure probability of 100 000 and 500 000 times of the standard Monte Carlo method is zero， which indicates that for the standard Monte Carlo method， the sample sizes of 100 000 and 500 000 times are not enough to calculate the problem of small probability of failure. The relative error between the results calculated by MCMC subset simulation method with 29 800 samples and the result calculated by the standard Monte Carlo method with 1 000 000 samples is only 1[DK（].[DK）]7%， which shows the advantage of MCMC subset simulation method for the solution of small probability of failure problems. The proposed algorithm improves the efficiency of calculating the small probability failure problem of structural systems to a certain extent， which is of some reference value for the research related to the reliability of structural systems.

Keywords：

underground construction; foundation groove; reliability; stochastic response surface method; Monte Carlo method; MCMC subset simulation method

目前，國內(nèi)外基坑開挖的主流方法有明挖順作法、暗挖順作法、蓋挖順作法以及蓋挖逆作法[1-5]。相比其他方法，蓋挖逆作法具有高安全、短工期、高質(zhì)量等方面的優(yōu)勢，且對周圍環(huán)境的影響也小，有著較好的社會價值和經(jīng)濟價值[6]。蓋挖逆作法是先施作基坑的圍護結(jié)構(gòu)和覆蓋板，然后在覆蓋板的保護下進行基坑的支護與開挖的一種基坑開挖方法。由上往下一邊開挖一邊施作底板、邊墻，覆蓋板作為車站結(jié)構(gòu)的頂板使用，然后恢復路面。

由于蓋挖逆作法在施工過程中土體與地下結(jié)構(gòu)相互作用關(guān)系復雜且施工步序特別、荷載組合變化眾多，對施工中結(jié)構(gòu)的力學響應(yīng)一直是研究難點，對蓋挖逆作法的研究越來越受到土木工程界的廣泛關(guān)注[7]。

傳統(tǒng)的變形分析方法是采用安全系數(shù)來表征支護結(jié)構(gòu)的變形指標，這樣的變形指標無法考慮到實際工程中存有的不確定性因素[8]，如土體材料參數(shù)、荷載組合形式、結(jié)構(gòu)抗力大小等，安全系數(shù)難以對此進行準確的評估。引入結(jié)構(gòu)可靠性分析方法可以解決上述問題。陳沛等[9]、盛建龍等[10]基于隨機響應(yīng)面法，以土（巖）體參數(shù)為隨機變量分析了邊坡穩(wěn)定可靠度；廖瑛等[11] 采用響應(yīng)面法計算了基坑支護結(jié)構(gòu)抗傾覆穩(wěn)定、坑底隆起穩(wěn)定和抗滑移穩(wěn)定可靠指標及失穩(wěn)概率；曹凈等[12-13]基于響應(yīng)面法開展了土層抗剪強度指標c、φ間的互相關(guān)性對基坑支護結(jié)構(gòu)穩(wěn)定可靠性影響分析，并將其運用于支護結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中；張隆松等[14]基于概率密度加權(quán)法和Bootstrap方法提出了考慮巖土體參數(shù)統(tǒng)計不確定性的基坑變形可靠度高效蒙特卡羅（Monte Carlo）分析方法。

目前隨機響應(yīng)面法較少用于基坑支護結(jié)構(gòu)的可靠度分析，本文采用隨機響應(yīng)面法結(jié)合基坑工程三維模型求得極限功能函數(shù)的響應(yīng)面方程，并用標準Monte Carlo法計算失效概率和可靠指標。同時，采用高效的MCMC子集模擬法，用相對少的樣本量計算可靠度，與標準Monte Carlo法結(jié)果進行對比分析，以期為深基坑支護結(jié)構(gòu)的設(shè)計施工提供新的參考依據(jù)，從而使基坑工程的設(shè)計更為經(jīng)濟、安全，性能評估更為合理。

1?可靠度計算原理

1.1?標準Monte Carlo法

對于一般多維數(shù)問題及復雜積分域或隱式積分域問題，失效概率Pf可表示為失效域指示函數(shù)IF（x） 的數(shù)學期望形式。

Pf=…∫g（x）≤0fx（x1，x2，…，xn）dx1dx2…dxn=

…∫RnIF（x）fx（x1，x2，…，xn）dx1dx2…dxn=

E［IF（x）］，[JY]（1）

式中：IF（x）=1， x∈F0， xF為失效域的指示函數(shù)；Rn為n維變量空間；E［·］為數(shù)學期望算子。

以隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)fx（x）抽取N個樣本點xj（j=1，2，…，N），落入失效域F內(nèi)樣本點個數(shù)Nf與總樣本點個數(shù)N之比就是失效概率的估計值P^f，即：

P^f=1N∑Nj=1IF（xj）=NfN。（2）

1.2?隨機響應(yīng)面法

隨機響應(yīng)面法計算精度高、計算效率高，且其收斂性在數(shù)學意義上有嚴格保證，是用于大型復雜工程結(jié)構(gòu)可靠度分析的一種有效方法。其原理如下。

把隨機空間下的基本變量X映射到標準正態(tài)分布空間U中，即：

X=F－1Φ（U），（3）

式中：F－1·為X累計概率分布函數(shù)的反函數(shù)；Φ（·）為標準正態(tài)分布的累計概率分布函數(shù)。對于正態(tài)分布空間中的隨機變量X，與標準正態(tài)分布空間中變量的映射關(guān)系如下。

X=μx+σxU，（4）

式中：μx和σx分別為X的均值和標準差；U為標準正態(tài)分布空間下的隨機變量。輸出的響應(yīng)量Y如式（5）所示。

Y=a0+∑ni1=1ai1Γ1（Ui1）+

∑ni1=1∑i1i2=1ai1i2Γ2（Ui1，Ui2）+

∑ni1=1∑i1i2=1∑i2i3=1ai1i2i3Γ3（Ui1，Ui2，Ui3）+

∑ni1=1∑i1i2=1∑i2i3=1∑i3i4=1ai1i2i3i4Γ4（Ui1，Ui2，Ui3，Ui4）+L，[JY] （5）

式中：a0、ai1、ai1i2等為待定系數(shù)；U=（U1，U2，…，Un）為獨立標準正態(tài)分布空間中的隨機向量；n為標準正態(tài)隨機變量的個數(shù)；Γn=（U1，U2，…，Un）為n階Hermite多項式。

計算中，常用配點法計算上述隨機多項式的待定系數(shù)。通常而言，以p+1階Hermite多項式的根確定p階Hermite隨機多項式展開的配點，即輸入隨機變量的取值。可選擇的配點總數(shù)為

Nc=（p+1）M。（6）

ISUKAPALLI等[15]建議，為有效平衡每個配點的影響，配點數(shù)目取為待定系數(shù)的2倍為宜。最后采用數(shù)學回歸方法求解待定系數(shù)，這樣計算結(jié)果的穩(wěn)健性較好。

1.3?子集模擬方法

對于基坑工程上常見的小概率問題，標準Monte Carlo法計算效率極低，甚至是無法接受的。子集模擬法恰恰就是針對這種問題進行可靠性分析的一種可行性方法，基本思想是將合理的中間失效事件引入，把小失效概率表達為一系列較大的條件失效概率的乘積。

子集模擬法有2大典型代表：基于分支的子集模擬法和基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅的子集模擬法（MCMC子集模擬法）。MCMC子集模擬法可以迅速模擬出感興趣區(qū)域的樣本點，在子集模擬法可靠性分析中，MCMC子集模擬法用來模擬服從條件概率密度函數(shù)的條件樣本點，并以此來估計條件失效概率。由此，本文采用MCMC子集模擬法對基坑工程小概率問題進行求解。

由功能函數(shù)g（x）定義的失效域F={x：g（x）≤0}，可以引入b1>b2>…>bm=0一系列臨界值，引入的這些臨界值可以構(gòu)成具有嵌套關(guān)系的失效事件Fk={x：g（x）≤bk}（k=1，2，…，m），此時F1F2…Fm=F，且Fk=∩ki=1Fi，根據(jù)概率論中乘法定理的包含關(guān)系，可以得到式（7）。

Pf=P{F}=P{∩mi=1Fi}=

P{Fm∩m－1i=1Fi}·P{∩m－1i=1Fi}=

P{FmFm－1}·P{Fm-1∩m－2i=1Fi}·P{∩m－2i=1Fi}=

P{F1}·∏mi=2P{FiFi－1}。[JY]（7）

假設(shè)m=4，且P{FiFi－1}為0.1量級時，Pf可以達到10－4量級，采用子集模擬法求解時僅需4個計算樣本即可達到該量級，而采用標準Monte Carlo法求解此量級的小概率問題所需的計算樣本會非常大。所以相比于標準Monte Carlo法，計算小概率問題時子集模擬法的計算效率更高。

2?基坑工程實例

2.1?工程概況

湖南路地下商業(yè)街東西全長1 030 m，建筑面積約91 955 m2，東端銜接南京地鐵1號線玄武門站（運營），西端銜接南京地鐵5號線山西路站（在建），如圖1所示。湖南路地下商業(yè)街工程分為A、B、C、D 4個區(qū)域，其中A區(qū)地下室位于山西路西流灣市民廣場及湖南路西側(cè)快車道下，為3層框架結(jié)構(gòu)，如圖2所示。A區(qū)采用倒邊蓋挖逆作法施工，倒邊施工即分2期施工，施工步驟及對應(yīng)工況見表1。土層劃分詳情見表2，A區(qū)基坑開挖面基本坐落于2-4層粉質(zhì)黏土中。

2.2?基坑有限元模型

采用ABAQUS建立三維有限元模型，取A區(qū)108軸線處的一列樁柱再向兩邊各取1/2樁間距?；涌傞_挖深度H為17.28 m，分別為覆土層開挖2.18 m，負1層開挖4.95 m，負2層開挖4.5 m，負3層開挖5.65 m。

為了便于計算模擬，將復雜土層進行加權(quán)平均處理為3層，分別為基坑上部土層，基坑下部土層，持力巖層。考慮到邊界效應(yīng)的影響，模型橫向左右各取基坑開挖寬度的3倍，豎向取基坑開挖深度的5倍，最終地基計算尺寸取為167 m×80 m×9 m。三維模型支護結(jié)構(gòu)和土層劃分如圖3和圖4所示。

結(jié)構(gòu)采用均質(zhì)混凝土進行模擬，通過等效剛度法換算得到彈性模量來考慮鋼筋對結(jié)構(gòu)剛度的影響。為了減少模型網(wǎng)格數(shù)量以降低計算時間，將圓截面的鋼管混凝土柱與鉆孔灌注樁剛度等效為矩形截面。土層材料參數(shù)見表3、表4。

三維有限元計算單元總數(shù)88 806個，其中土體單元為C3D8R實體單元，共58 656個；巖石單元為C3D8R實體單元，共28 704個。各層樓板和臨時擋土墻為S4R殼單元，共734個；地下連續(xù)墻為實體單元，共522個；中間樁柱為C3D8R實體單元，共60個；臨時混凝土支撐以及各層樓板主次梁為B31梁單元，共130個。

2.3?連續(xù)墻施工過程水平位移

因第三方監(jiān)測數(shù)據(jù)有限，本節(jié)僅對比水平位移變化較大的施工步下的實測值與模擬值，具體對比情況如圖5所示。圖中水平位移正值表示位移指向基坑，負值表示位移背離基坑。

從圖5可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與現(xiàn)場實測結(jié)果較為接近，水平位移曲線形式與出現(xiàn)最大水平位移的墻體位置相近，具體數(shù)值見表5和表6。從數(shù)據(jù)上看，除了基坑北側(cè)地下連續(xù)墻開挖負1層施工步的結(jié)果誤差較大外，其余水平位移最大值模擬結(jié)果的相對誤差均在20%以內(nèi)，模擬結(jié)果較好。造成北側(cè)地下連續(xù)墻開挖負1層水平位移最大值偏大的原因可能是本次模擬無法考慮到實際施工過程中土體開挖的“時空效應(yīng)”，一次性開挖量過大，同時土層參數(shù)設(shè)置與實際情況存在一定誤差。

3?支護結(jié)構(gòu)可靠度分析

3.1?目標可靠度指標

國內(nèi)外許多專家學者對目標可靠度指標的合理選取進行了相關(guān)研究，但由于研究尚不充分，在巖土工程領(lǐng)域目標可靠度指標尚未有統(tǒng)一標準。中國《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》（GB 50068—2001）中對建筑結(jié)構(gòu)規(guī)定的目標可靠度指標如表7所示。由于基坑支護結(jié)構(gòu)不同于建筑物結(jié)構(gòu)，因此不能直接利用《建筑結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計統(tǒng)一標準》所規(guī)定的目標可靠度指標，而是參考文獻[16]—[17]進行取值，見表8和表9。本文對基坑支護結(jié)構(gòu)的目標可靠度指標β取值為3.0，相應(yīng)的失效概率Pr為0.1%。

3.2?可靠度計算

以南側(cè)地下連續(xù)墻最大側(cè)向位移作為可靠度分析的功能函數(shù)，以土體參數(shù)中的彈性模量為功能函數(shù)的隨機變量進行結(jié)構(gòu)可靠性分析。極限功能函數(shù)為

Z=g（E1，E2，E3）=fmax－f=0，（8）

式中：fmax為地下連續(xù)墻水平位移控制值，根據(jù)規(guī)范及工程設(shè)計要求選擇其中較小值，最終取值為25 mm；f為地下連續(xù)墻施工過程中最大水平位移計算值；E1、E2、E3為基本變量，即土層、巖層的彈性模量。

土層與巖層彈性模量將其視為服從正態(tài)分布，且相互獨立，彈性模量的取值即為平均值μ，變異系數(shù)δ取值為0.1。采用隨機響應(yīng)面法來建立極限功能函數(shù)的響應(yīng)面方程。為了保證計算精度以及控制計算量，將三階Hermite多項式函數(shù)展開。展開如式（9）所示：

Y=（a0）（1）+（a1）（U1）+（a2）（U2）+（a3）（U3）+（a11）（U12－1）+（a22）（U22－1）+

（a33）（U32－1）+（a111）（U13－3U1）+

（a222）（U23－3U2）+（a333）（U33－3U3）+

（a12）（U1U2）+（a13）（U1U3）+（a23）（U2U3）+

（a122）（U1U22－U1）+（a133）（U1U32－U1）+

（a211）（U2U12－U2）+（a233）（U2U32－U2）+

（a311）（U3U12－U3）+（a322）（U3U22－U3）+

（a123）（U1U2U3）。[JY]（9）

基本變量通過正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的映射關(guān)系見式（4），將基本變量E映射到標準正態(tài)空間中。然后通過配點法選取40個配點，這些配點也需要映射到標準正態(tài)空間中。將這40個配點代入到ABAQUS三維模型中進行運算得到響應(yīng)量f。將所得的配點與響應(yīng)量代入式（9），得到關(guān)于多項式待定系數(shù)的方程組，經(jīng)過計算，響應(yīng)面方程待定系數(shù)如表10所示。確定響應(yīng)面方程后，即可進行可靠度求解。由于本文地下連續(xù)墻失效屬于小概率事件，故采用基于馬爾可夫鏈蒙特卡羅的子集模擬法（SS/MCMC）對工程小概率問題進行求解。同時運用標準Monte Carlo法進行求解，將100萬次的計算結(jié)果作為精確值。

在子集模擬的實際應(yīng)用中，假設(shè)失效事件可以定義為系統(tǒng)的某一臨界響應(yīng)變量Y值低于特定的閾值y，即F={Yy2>…>ym=y>0為一個遞減的中間閾值序列。中間閾值的選取是適應(yīng)性的，以條件失效概率估計總是等于某一個定值p0。MCMC子集模擬法的流程如圖6所示。

圖6中，xk0：k=1，2，…，N為從原始密度函數(shù)中抽取的N個樣本點，這些樣本點對應(yīng)于第0條件水平；Y（xki）：k=1，2，…，N計算得到相應(yīng)的響應(yīng)變量；yi為當中第1個中間閾，取值為降序排列的Y（xk0）：k=1，2，…，N中的第（1－p0）位。

3.3?計算結(jié)果分析

標準Monte Carlo法和MCMC子集模擬法抽樣計算結(jié)果如表11所示。本工程中基坑的失效概率小于10-5，是典型的小概率失效問題。采用標準Monte Carlo法抽樣10萬次和50萬次計算得到的失效概率均為0，說明對于基坑工程問題，標準Monte Carlo法所需的計算樣本較大，計算效率較低。而MCMC子集模擬法僅用了2.98萬個樣本點，就算得了結(jié)果，且與標準Monte Carlo法計算的相對誤差僅為1.7%，滿足工程精度要求。顯然子集模擬法在復雜工程問題上的計算效率和計算精確度較高，充分體現(xiàn)了子集模擬對于小概率問題求解的優(yōu)勢。通過計算得到的可靠指標為4.672 6明顯大于目標可靠指標3.0，表明基坑預期的性能水平高于平均水平，在好與極好之間，采用倒邊蓋挖逆作法施工是安全可靠的。

4?結(jié)?語

結(jié)合南京市湖南路地下商業(yè)街工程，基于隨機響應(yīng)面法，對采用標準Monte Carlo法和MCMC子集模擬法計算得到的失效概率和可靠度指標進行對比分析，得出以下主要結(jié)論。

1）倒邊蓋挖逆作法施工時，當支護結(jié)構(gòu)最大側(cè)移控制指標為25 mm時，計算得到的基坑可靠度指標均大于4.6，失效概率小于10-5，基坑安全性能很高。

2）對于復雜工程中的小概率失效問題，采用MCMC子集模擬法計算可靠度較標準Monte Carlo法所需樣本數(shù)量少，計算效率高且得到的可靠度計算結(jié)果十分精確。

3）標準Monte Carlo法計算小概率失效問題的可靠度，必須采用大量的抽樣樣本點才能得到收斂的失效概率估計值。它的解更適合在理論研究中作為精確解來檢驗其他新方法的正確性。

未來可對提出的計算方法進行改進，給出新的計算方法或者更加合理的樣本數(shù)，進而提高計算效率；進一步分析結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性的靈敏度以及優(yōu)化問題；將提出的計算方法應(yīng)用于動力學問題，分析復雜動態(tài)載荷作用下的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性。

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收稿日期：2023-05-06;修回日期：2023-12-27；責任編輯：王淑霞

基金項目：國家自然科學基金（41672257）；浙江省交通運輸廳科技計劃項目（2020014）

第一作者簡介：

陳威（1984—），男，江蘇高郵人，高級工程師，主要從事結(jié)構(gòu)振動分析方面的研究。

通信作者：

孫陽副教授。E-mail：20140023@hhu.edu.cn

陳威，王立，梅蕊，等.

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