唐秋晨

（北京市西城區(qū)計(jì)量檢測(cè)所，北京 100055）

1 引言

工作用玻璃液體溫度計(jì)，作為一種經(jīng)典且廣泛應(yīng)用的溫度測(cè)量工具，其準(zhǔn)確性依賴于對(duì)其示值進(jìn)行有效的修正。隨著技術(shù)的進(jìn)步，多種插值方法已被提出和應(yīng)用于溫度計(jì)修正值的計(jì)算，其中最常見的包括線性插值法和牛頓插值法。這些方法在不同的應(yīng)用情境和數(shù)據(jù)特性下展現(xiàn)出各自的優(yōu)勢(shì)和局限性。線性插值法以其計(jì)算簡(jiǎn)便、直觀易懂而被廣泛應(yīng)用，尤其適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)間關(guān)系近似線性的情況。相比之下，牛頓插值法通過構(gòu)建高階多項(xiàng)式，提供了一種更為復(fù)雜但能夠適應(yīng)非線性數(shù)據(jù)的解決方案。

2 常用插值法概述

2.1 工作用玻璃液體溫度計(jì)中常用的插值法

在工作用玻璃液體溫度計(jì)的應(yīng)用中，插值法發(fā)揮著至關(guān)重要的角色，以確保溫度測(cè)量的準(zhǔn)確性和可靠性。最常用的插值法包括線性插值法和牛頓插值法。線性插值法，以其計(jì)算簡(jiǎn)便和直觀性著稱，通過構(gòu)建兩個(gè)已知測(cè)量點(diǎn)之間的直線關(guān)系來估算中間點(diǎn)的值。這種方法在數(shù)據(jù)點(diǎn)相對(duì)密集且變化趨勢(shì)線性時(shí)效果最佳。相比之下，牛頓插值法則是一種更為復(fù)雜但適用范圍更廣的方法，它利用差分表和多項(xiàng)式函數(shù)來近似數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系，尤其適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)間距不均勻或者需要高階估計(jì)的情況。

2.2 線性插值法的原理與應(yīng)用

（1）數(shù)學(xué)原理。線性插值法是一種基于直線方程的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)方法，廣泛應(yīng)用于估算兩個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)之間任意點(diǎn)的值。其核心原理是假設(shè)兩個(gè)相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的變化呈線性關(guān)系，即這一區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)可以通過一條直線準(zhǔn)確地表示。具體來說，在線性插值中，假設(shè)有兩個(gè)已知點(diǎn)（x0，y0）和（x1，y1），想要估算在這兩點(diǎn)之間某一未知點(diǎn)(x對(duì)應(yīng)的值y。線性插值法通過構(gòu)造一個(gè)一階多項(xiàng)式（即直線方程），來實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。該直線方程可表示為：

（2）在溫度計(jì)修正值計(jì)算中的應(yīng)用及其局限性。線性插值法在溫度計(jì)修正值計(jì)算中的應(yīng)用是基于其能夠有效估算在兩個(gè)檢定點(diǎn)之間溫度值的原理。在實(shí)際應(yīng)用中，溫度計(jì)在特定的檢定點(diǎn)（即已知溫度值）下會(huì)被測(cè)試和檢定，但在這些檢定點(diǎn)之間的溫度值通常是未知的。線性插值法在這里發(fā)揮作用，通過假設(shè)兩個(gè)檢定點(diǎn)之間的溫度變化是線性的，即溫度計(jì)讀數(shù)與實(shí)際溫度之間的關(guān)系可以通過直線方程表示。這種方法簡(jiǎn)化了溫度計(jì)修正值的計(jì)算過程，只需使用兩個(gè)最近的檢定點(diǎn)來估算中間點(diǎn)的溫度值。然而，這種方法的局限性在于，它假設(shè)了溫度變化是均勻和線性的，這在實(shí)際情況中可能并不總是成立。特別是當(dāng)溫度計(jì)的溫度響應(yīng)曲線非線性或在兩個(gè)檢定點(diǎn)之間有顯著變化時(shí)，線性插值法的準(zhǔn)確性可能會(huì)受到影響。

2.3 牛頓插值法的原理與應(yīng)用

（1）數(shù)學(xué)原理和計(jì)算過程。牛頓插值法是一種基于多項(xiàng)式逼近的差值方法，它在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)集時(shí)尤其有效。該方法的核心是構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式在一系列已知數(shù)據(jù)點(diǎn)上取確切的值。牛頓插值法的獨(dú)特之處在于它使用了所謂的差分法，通過計(jì)算數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的差值來構(gòu)建多項(xiàng)式。具體來說，假設(shè)有一組數(shù)據(jù)點(diǎn)牛頓插值法首先計(jì)算這些點(diǎn)之間的一階差分，然后是二階差分，依此類推，直到計(jì)算出n階差分。這些差分值用于構(gòu)建插值多項(xiàng)式，形式為：

其中，a0，a1，…，an是根據(jù)差分計(jì)算得到的系數(shù)。這種方法的優(yōu)勢(shì)在于它可以靈活地適應(yīng)任意數(shù)量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，且當(dāng)添加新的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，不需要重新計(jì)算整個(gè)多項(xiàng)式，只需添加相應(yīng)的新項(xiàng)即可。此外，牛頓插值法在處理非均勻分布的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)表現(xiàn)優(yōu)異。然而，牛頓插值法的一個(gè)主要缺點(diǎn)是，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量增加時(shí)，多項(xiàng)式的度數(shù)也隨之增加，這可能導(dǎo)致插值多項(xiàng)式在數(shù)據(jù)點(diǎn)之外的區(qū)域出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，即所謂的龍格現(xiàn)象。因此，盡管牛頓插值法在計(jì)算靈活性和適應(yīng)性方面具有明顯優(yōu)勢(shì)，但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)需要仔細(xì)考慮數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布和所需的插值精度。

（2）在溫度計(jì)修正值計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)和潛在問題。牛頓插值法在溫度計(jì)修正值計(jì)算中的應(yīng)用帶來了明顯的優(yōu)勢(shì)，尤其是在處理復(fù)雜或非線性溫度響應(yīng)曲線時(shí)。與線性插值法相比，牛頓插值法能更精確地適應(yīng)溫度計(jì)讀數(shù)與實(shí)際溫度之間復(fù)雜的關(guān)系，尤其是在檢定點(diǎn)較多或溫度計(jì)性能受到多種因素影響時(shí)。這種方法通過構(gòu)建一個(gè)高階多項(xiàng)式，能夠更細(xì)致地模擬溫度計(jì)的響應(yīng)特性，從而在整個(gè)溫度范圍內(nèi)提供更精確的修正值。此外，牛頓插值法的一個(gè)顯著優(yōu)勢(shì)是其靈活性——當(dāng)新增檢定點(diǎn)時(shí)，不需要重新計(jì)算整個(gè)多項(xiàng)式，只需在現(xiàn)有多項(xiàng)式基礎(chǔ)上增加相應(yīng)項(xiàng)。然而，牛頓插值法也存在一些潛在問題。首先，隨著檢定點(diǎn)數(shù)量的增加，多項(xiàng)式的階數(shù)也會(huì)增加，這可能導(dǎo)致在數(shù)據(jù)點(diǎn)外（即插值區(qū)間外）出現(xiàn)過度振蕩的問題，即龍格現(xiàn)象，從而影響插值的準(zhǔn)確性。其次，高階多項(xiàng)式的計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，可能需要更多的計(jì)算資源和時(shí)間。最后，這種方法在處理數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔不一致或存在異常值時(shí)的穩(wěn)定性可能不如某些其他插值方法。因此，在使用牛頓插值法計(jì)算溫度計(jì)修正值時(shí)，需要權(quán)衡其精確度、計(jì)算復(fù)雜性以及適用的數(shù)據(jù)范圍，以確保既能準(zhǔn)確反映溫度計(jì)的性能，又不會(huì)因多項(xiàng)式的復(fù)雜度而引入不必要的誤差。

3 兩種插值法的對(duì)比分析

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了比較線性插值法和牛頓插值法在溫度計(jì)修正值計(jì)算中的性能，可以設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，選取特定范圍內(nèi)的溫度計(jì)和多個(gè)檢定點(diǎn)進(jìn)行分析。

（1）實(shí)驗(yàn)對(duì)象。選取一支測(cè)量范圍為50～100 ℃、分度值為0.1 ℃的工作用玻璃液體溫度計(jì)。

（2）檢定點(diǎn)選擇。在該溫度計(jì)的檢定證書中，選擇45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃這6個(gè)溫度點(diǎn)。這些點(diǎn)將作為插值計(jì)算的基礎(chǔ)，因?yàn)樗鼈兎植荚谡麄€(gè)測(cè)量范圍內(nèi)，可以代表溫度計(jì)在不同溫度下的性能。

（3）插值點(diǎn)選擇。在上述溫度范圍內(nèi)，選取48℃、58 ℃、72 ℃、78 ℃和92 ℃共5個(gè)插值點(diǎn)作為研究對(duì)象。

（4）計(jì)算分析。對(duì)每個(gè)插值點(diǎn)，首先使用線性插值法進(jìn)行計(jì)算。這需要找到每個(gè)插值點(diǎn)周圍最近的兩個(gè)檢定點(diǎn)，并在這兩點(diǎn)間構(gòu)建直線方程來估算插值點(diǎn)的修正值。其次，應(yīng)用牛頓插值法，這需要使用所有的檢定點(diǎn)來構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式，然后利用這個(gè)多項(xiàng)式來估算插值點(diǎn)的修正值。

3.2 實(shí)際示值修正值時(shí)的準(zhǔn)確性和適用性對(duì)比

在比較線性插值法和牛頓插值法在計(jì)算工作用玻璃液體溫度計(jì)實(shí)際示值修正值時(shí)的準(zhǔn)確性和適用性時(shí)，關(guān)鍵在于評(píng)估這兩種方法在不同情況下的表現(xiàn)。線性插值法，以其簡(jiǎn)潔性和易于計(jì)算而聞名，假設(shè)相鄰檢定點(diǎn)之間的溫度變化是線性的。這在檢定點(diǎn)較近且溫度變化呈線性趨勢(shì)時(shí)非常有效，使其在快速估算和簡(jiǎn)單應(yīng)用中極具吸引力。然而，這種方法在處理復(fù)雜或非線性的溫度變化時(shí)，尤其是在檢定點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，其準(zhǔn)確性可能會(huì)下降。相比之下，牛頓插值法通過構(gòu)建一個(gè)通過所有檢定點(diǎn)的多項(xiàng)式，能夠更精確地適應(yīng)溫度計(jì)的非線性響應(yīng)。這在理論上可以提供更高的準(zhǔn)確性，特別是在檢定點(diǎn)分布不均或溫度計(jì)響應(yīng)特別復(fù)雜的情況下。

4 結(jié)果分析

4.1 計(jì)算結(jié)果

（1）線性插值法。線性插值法的關(guān)鍵在于找到每個(gè)插值點(diǎn)周圍最近的兩個(gè)檢定點(diǎn)，并在這兩點(diǎn)間構(gòu)建一個(gè)直線方程來估算插值點(diǎn)的修正值。以插值點(diǎn)58℃為例，可以選取最接近的兩個(gè)檢定點(diǎn)，例如55 ℃和65 ℃。假設(shè)這兩個(gè)檢定點(diǎn)對(duì)應(yīng)的修正值分別為y55和y65。然后，使用線性插值公式計(jì)算58 ℃的修正值：

這個(gè)公式基本上是找到55 ℃和65 ℃之間直線的斜率，然后用它來估算58 ℃的點(diǎn)在這條線上的位置。對(duì)于其他插值點(diǎn)（如48 ℃、72 ℃、78 ℃、92 ℃），重復(fù)相同的過程，每次選擇最接近的兩個(gè)檢定點(diǎn)來構(gòu)建直線方程。

（2）牛頓插值法。牛頓插值法則需要使用所有檢定點(diǎn)來構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式，然后利用這個(gè)多項(xiàng)式來估算插值點(diǎn)的修正值。

首先，計(jì)算差分表。對(duì)于檢定點(diǎn)45 ℃、55 ℃、65 ℃、75 ℃、85 ℃和95 ℃及其對(duì)應(yīng)修正值，計(jì)算一階、二階直至五階差分。其次，使用牛頓的插值多項(xiàng)式（2），例如，對(duì)于插值點(diǎn)58 ℃，將58代入上述多項(xiàng)式中，計(jì)算出該溫度下的修正值。這個(gè)過程涉及更復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，尤其是當(dāng)檢定點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 兩種插值法計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

4.2 計(jì)算結(jié)果差異及原因分析

根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，可以看到線性插值法和牛頓插值法在不同插值點(diǎn)的修正值存在一定的差異。在接近檢定點(diǎn)的情況下（如58 ℃），兩種方法的修正值較為接近，這是因?yàn)楫?dāng)插值點(diǎn)離檢定點(diǎn)較近時(shí)，線性插值法能夠較好地近似實(shí)際值，而牛頓插值法在這些點(diǎn)上也能提供較高的準(zhǔn)確度。然而，當(dāng)插值點(diǎn)距離檢定點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)（如48 ℃和92 ℃），線性插值法的修正值與牛頓插值法出現(xiàn)較大差異。這主要是因?yàn)榫€性插值假設(shè)了檢定點(diǎn)之間的變化是線性的，這在距離較遠(yuǎn)的插值點(diǎn)上可能不再適用，導(dǎo)致準(zhǔn)確性下降。相比之下，牛頓插值法利用所有檢定點(diǎn)構(gòu)建更復(fù)雜的多項(xiàng)式，能夠更好地適應(yīng)數(shù)據(jù)的整體趨勢(shì)，特別是在非線性變化較顯著的情況下。

4.3 實(shí)際應(yīng)用的插值方法優(yōu)選

在實(shí)際應(yīng)用中選擇合適的插值方法時(shí)，首先，需要考慮的是數(shù)據(jù)本身的特性和所需的準(zhǔn)確度。如果數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的關(guān)系接近線性，或者插值點(diǎn)非?？拷阎獢?shù)據(jù)點(diǎn)，線性插值法通常是一個(gè)簡(jiǎn)單且有效的選擇。這種方法的計(jì)算過程簡(jiǎn)單快速，特別適合于需要快速響應(yīng)或資源有限的場(chǎng)景，如在一些實(shí)時(shí)系統(tǒng)或簡(jiǎn)單的工程應(yīng)用中。

其次，當(dāng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)復(fù)雜或非線性特征，或者需要在較廣的數(shù)據(jù)范圍內(nèi)進(jìn)行插值時(shí)，牛頓插值法或其他高級(jí)插值方法可能更為適合。牛頓插值法尤其適用于數(shù)據(jù)點(diǎn)分布不均或者當(dāng)插值點(diǎn)距離已知數(shù)據(jù)點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，因?yàn)樗芨玫夭蹲綌?shù)據(jù)的整體趨勢(shì)和細(xì)微變化。但同時(shí)，也要意識(shí)到這種方法計(jì)算上更為復(fù)雜，可能需要更多的時(shí)間和計(jì)算資源。在選擇插值方法時(shí)，還應(yīng)考慮實(shí)際操作的便利性和可行性。例如，在一些需要快速且頻繁計(jì)算的應(yīng)用中，過于復(fù)雜的計(jì)算方法可能不太實(shí)際，即使它們?cè)诶碚撋咸峁└叩臏?zhǔn)確性。

再次，實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)據(jù)質(zhì)量和可用性也是重要考慮因素。如果數(shù)據(jù)存在噪聲或誤差，高階插值方法可能會(huì)放大這些誤差，導(dǎo)致不穩(wěn)定的結(jié)果。在這種情況下，選擇一種更穩(wěn)健的方法，如線性插值，可能更為恰當(dāng)。還需要考慮數(shù)據(jù)的獲取成本和頻率。

最后，還需要考慮應(yīng)用的特定需求，例如時(shí)間敏感度、計(jì)算資源的可用性以及預(yù)期的結(jié)果精度。在一些要求快速響應(yīng)的應(yīng)用中，如實(shí)時(shí)監(jiān)控系統(tǒng)，快速而簡(jiǎn)單的線性插值可能更為適用。而在科研或工程設(shè)計(jì)等領(lǐng)域，精度非常重要且可以容忍更長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間，復(fù)雜的插值方法如牛頓插值可能更合適。

總之，選擇最合適的插值方法需要綜合考慮數(shù)據(jù)特性、應(yīng)用需求、計(jì)算資源和精度要求，從而在實(shí)際性和精確度之間找到最佳平衡。

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，通過對(duì)線性插值法和牛頓插值法在玻璃液體溫度計(jì)修正值計(jì)算中的準(zhǔn)確性和適用性進(jìn)行比較分析。研究表明，雖然線性插值法因其簡(jiǎn)單性和計(jì)算效率在一些情況下非常有效，但在處理復(fù)雜或非線性數(shù)據(jù)時(shí)，其準(zhǔn)確度可能受限。相比之下，牛頓插值法能夠更精確地適應(yīng)復(fù)雜的溫度響應(yīng)曲線，盡管它的計(jì)算過程更為復(fù)雜。因此，選擇哪種插值方法應(yīng)基于數(shù)據(jù)特性、準(zhǔn)確性需求和實(shí)際操作的便利性，以在實(shí)際性和精確度之間找到最佳平衡。