習(xí)代青，肖洪策

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢 430073）

0 引言

變點(diǎn)問(wèn)題一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一，其中均值變點(diǎn)估計(jì)是變點(diǎn)問(wèn)題中一類十分基礎(chǔ)且重要的研究問(wèn)題，大部分現(xiàn)有文獻(xiàn)聚焦于獨(dú)立或弱相依序列的均值變點(diǎn)估計(jì)[1,2]。隨著長(zhǎng)記憶時(shí)間序列理論的發(fā)展，越來(lái)越多的證據(jù)表明，忽略數(shù)據(jù)間的相關(guān)性可能會(huì)導(dǎo)致研究結(jié)果出現(xiàn)較大的偏差[3]，且研究表明大量金融序列具有長(zhǎng)記憶性，對(duì)長(zhǎng)記憶時(shí)間序列的變點(diǎn)研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

本文擬研究長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型的均值變點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題，并使用I(d)過(guò)程來(lái)刻畫時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性，其中參數(shù)d被稱為記憶參數(shù)。在現(xiàn)有研究中，Kuan 和Hsu（1998）[4]采用最小二乘法估計(jì)了長(zhǎng)記憶平穩(wěn)I(d)過(guò)程的均值單變點(diǎn)時(shí)刻及其變分點(diǎn)，在變點(diǎn)大小固定時(shí)推導(dǎo)出了變點(diǎn)時(shí)刻估計(jì)量的不相合性和變分點(diǎn)估計(jì)量的相合性，并證明變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度與記憶參數(shù)d有關(guān)。而在弱相依過(guò)程中，Ba（i1994，1997）[1,2]分別建立了均值單變點(diǎn)估計(jì)和多變點(diǎn)估計(jì)的漸近理論，證明了當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度是O(T-1) 。Xi和Pang（2021）[5]將Ba（i1997）[2]的均值多變點(diǎn)模型修改為長(zhǎng)記憶情形，同樣得到了變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度為O(T-1) ，與記憶參數(shù)d無(wú)關(guān)。因此，本文在Xi 和Pang（2021）[5]的研究基礎(chǔ)上，在長(zhǎng)記憶均值單變點(diǎn)模型中研究變點(diǎn)及其變分點(diǎn)估計(jì)量的漸近性質(zhì)。

本文基于Kuan 和Hsu（1998）[4]提出的含均值單變點(diǎn)的長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型展開研究，在變點(diǎn)大小固定時(shí)進(jìn)一步提高了變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度，并新增了變點(diǎn)收縮情形下估計(jì)量的漸近理論分析。此外，本文推導(dǎo)出的擬極大似然估計(jì)量與最小二乘估計(jì)量是等價(jià)的，結(jié)果顯示變點(diǎn)大小與長(zhǎng)記憶性之間存在一種權(quán)衡關(guān)系。具體而言，當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，變點(diǎn)時(shí)刻的估計(jì)量是不相合的，但估計(jì)誤差依概率有界，這使得變分點(diǎn)估計(jì)量是T-相合的（T是樣本量），即收斂速度與記憶參數(shù)d無(wú)關(guān)，從而提高了變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度；當(dāng)變點(diǎn)大小隨著樣本量的增加而收縮時(shí)，估計(jì)量的收斂速度與序列相依性有關(guān)，即依賴于記憶參數(shù)d，且估計(jì)量的極限分布得以推導(dǎo)。最后，蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)和實(shí)證分析顯示，變點(diǎn)估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)與理論結(jié)果相符。

1 長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型介紹及其統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

長(zhǎng)記憶過(guò)程是一類具有時(shí)間相依性的時(shí)間序列，且相隔較遠(yuǎn)的觀測(cè)值之間的相依性雖然微弱但不可忽略，在經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。Granger 和Joyeux（1980）[6]以及Hosking（1984）[7]提出的I(d)過(guò)程是一類應(yīng)用廣泛的長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型，本文基于此模型研究長(zhǎng)記憶時(shí)間序列的均值單變點(diǎn)估計(jì)。

若時(shí)間序列{xt，t≥1} 滿足：

其中，B是滯后算子，若{ut，t∈Z}是一列均值為零且方差有限的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列，則稱{xt，t≥1} 是一個(gè)I(d)過(guò)程，記為xt～I(xiàn)(d)，參數(shù)d被稱為記憶參數(shù)。當(dāng)記憶參數(shù)d＞0 時(shí)，{xt} 具有長(zhǎng)記憶性；進(jìn)一步，若0 ＜d＜0.5，則{xt} 具有平穩(wěn)性和遍歷性。

Sowell（1990）[8]總結(jié)了{(lán)xt，t≥1} 的一些性質(zhì)，在下文的變點(diǎn)估計(jì)中起到重要作用：

性質(zhì)3：當(dāng)T→∞時(shí)，的階是。

2 長(zhǎng)記憶I( d )過(guò)程均值單變點(diǎn)估計(jì)及其漸近理論

2.1 長(zhǎng)記憶I(d)過(guò)程均值單變點(diǎn)模型和估計(jì)量的構(gòu)建

考慮如下數(shù)據(jù)生成過(guò)程：

其中，T是樣本容量，k(T)是一個(gè)未知的均值變點(diǎn)時(shí)刻，簡(jiǎn)寫為k；μ1和μ2分別是變點(diǎn)前后的均值參數(shù)，且μ1≠μ2，用變點(diǎn)差μ1-μ2來(lái)刻畫變點(diǎn)的大小。{xt，t≥1}是一個(gè)平穩(wěn)且遍歷的長(zhǎng)記憶I(d)過(guò)程。記模型（2）的變分點(diǎn)為τ，定義為k=，其中表示一個(gè)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，為了避免復(fù)雜的技術(shù)細(xì)節(jié)，下文都設(shè)定τ=。模型中參數(shù)的真值用上標(biāo)0 表示，即μ1，μ2，k和τ的真值分別為和τ0。

本文采用擬極大似然法估計(jì)變點(diǎn)時(shí)刻k0和變分點(diǎn)τ0，并分別記k0和τ0的擬極大似然估計(jì)量為k?和τ?，則：

其中，對(duì)k∈{1，…，T-1} ，有：

對(duì)任意給定的k∈{1，…，T-1} ，記，則：

記：

2.2 長(zhǎng)記憶I(d)過(guò)程均值單變點(diǎn)估計(jì)量收斂速度的改進(jìn)

假設(shè)1：τ0∈( 0，1) 。存在一個(gè)大于零的數(shù)νT使得：

假設(shè)2：{xt，t≥1} 是一個(gè)由式（1）定義且d∈(0，0.5)的長(zhǎng)記憶過(guò)程，其中{ut，t∈Z}是一列具有零均值和有限方差的獨(dú)立同分布隨機(jī)序列。

假設(shè)1是變點(diǎn)文獻(xiàn)中的常規(guī)假設(shè)，τ0∈( 0，1) 保證了變點(diǎn)的可識(shí)別性，νT約定了均值變點(diǎn)的大小。若νT≡1，則表明變點(diǎn)大小為固定的常數(shù)；若，則表明變點(diǎn)大小隨樣本量的增加而收縮。假設(shè)2 保證了模型是一個(gè)平穩(wěn)且遍歷的長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型，其中，ut二階矩有限的假設(shè)保證了長(zhǎng)記憶序列的Hájek-Rényi不等式（見引理1）和泛函中心極限定理（見引理2）。

引理1：若假設(shè)2成立，則當(dāng)n→∞時(shí)，以下結(jié)論成立：

證明：結(jié)論可直接參見文獻(xiàn)[9]的研究。

引理2：若假設(shè)2成立，則以下結(jié)論成立：

其中：

Bd(·) 是一個(gè)Hurst指數(shù)H=0.5+d的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

證明：引理2 的泛函中心極限定理來(lái)源于Wang 等（2003）[10]的研究。

Kuan 和Hsu（1998）[4]采用最小二乘法估計(jì)了模型（2）的變分點(diǎn)τ0，并得到了變分點(diǎn)估計(jì)量τ?的相合性和收斂速度（見引理3）。

引理3：對(duì)于模型（2），若假設(shè)1 和假設(shè)2 成立，且νT≡1，則：

引理3的結(jié)論來(lái)自文獻(xiàn)[4]，由引理3可知，當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，是τ0的相合估計(jì)量，但收斂速度與記憶參數(shù)d有關(guān)，意味著數(shù)據(jù)的長(zhǎng)記憶性會(huì)影響變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度。對(duì)于I( 0 )過(guò)程和弱平穩(wěn)過(guò)程，Ba（i1994）[1]證明了是T-相合的，表明數(shù)據(jù)的弱相關(guān)性不會(huì)影響變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度，且收斂速度O(T-1)快于引理3給出的τ?的收斂速度。Xi 和Pang（2021）[5]在長(zhǎng)記憶I(d)過(guò)程的均值多變點(diǎn)估計(jì)研究中證明了當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，τ?是T-相合的，提高了變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度，且此收斂速度不受序列相依性的影響。由文獻(xiàn)[5]可知，在多變點(diǎn)模型框架下，已有充分的理論證明若變點(diǎn)大小固定，則長(zhǎng)記憶性不會(huì)影響變分點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度。因此，本文的第一個(gè)目標(biāo)是在單變點(diǎn)模型框架下證明此結(jié)論，即提高引理3 中τ?的收斂速度，推導(dǎo)出?的T-相合性。

因此，通過(guò)一些計(jì)算可得：

引理4：對(duì)于模型（2），若假設(shè)1 和假設(shè)2 成立，且νT≡1，則對(duì)任意?＞0，存在一個(gè)正的常數(shù)M＜∞，使得：

證明：為了節(jié)約篇幅，只給出k0-k＞M情形的詳細(xì)證明，k0-k＜M情形類似可得。下文將證明式（16）的第一項(xiàng)是主項(xiàng)，且顯然第一項(xiàng)大于零，從而引理得證。

考慮式（16）的第一項(xiàng)：

考慮式（16）的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，由引理1 可得，當(dāng)M→∞時(shí)：

由引理2可知：

考慮式（16）的最后兩項(xiàng)，由引理1和引理2可得：

類似可得：

綜合式（18）至式（22）可得式（16）的第一項(xiàng)是主項(xiàng)，且：

從而引理得證。

由引理4和式（15）可知k?最終落在區(qū)域{k:|k-k0|＞M}內(nèi)的概率幾乎為零，又有k?=Tτ?，從而證明了τ?的T-相合性。

定理1：對(duì)于模型（2），若假設(shè)1 和假設(shè)2 成立，且νT≡1，則：

2.3 長(zhǎng)記憶I(d)過(guò)程均值單變點(diǎn)估計(jì)量的極限分布

由于在Kuan 和Hsu（1998）[4]的研究中，變點(diǎn)估計(jì)量的收斂速度并非最優(yōu)，因此未能推導(dǎo)出估計(jì)量的極限分布，本文將給出變點(diǎn)估計(jì)量?的極限分布。當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，?的極限分布依賴于{ut，t≥1} 的分布。因此，為了獲得?的通用極限分布，考慮變點(diǎn)收縮的情形，此時(shí)與的差值隨著樣本量的增加趨向零，但需要對(duì)其趨向零的速度做出一定約定（見假設(shè)3）。

假設(shè)3：存在某個(gè)ω∈(d，0.5) ，使得。

證明：引理5的證明思路與引理4的證明思路相同，同理，下文只給出情形的詳細(xì)證明。

考慮式（17）的第一項(xiàng)：

考慮式（16）的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，由引理1 可得，當(dāng)M→∞時(shí)：

由引理2和假設(shè)3可知：

考慮式（16）的最后兩項(xiàng)，由引理1、引理2和假設(shè)3可得：

類似可得：

綜上可得式（16）的第一項(xiàng)是主項(xiàng)，且：

從而引理得證。

由引理5 和式（15）可知k?最終落在區(qū)域{k:|k-k0|的概率幾乎為零，從而可知k?的估計(jì)誤差是。

其中：

κ(d)的定義見式（13），Bd(·) 是一個(gè)Hurst指數(shù)H=0.5+d的雙邊分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。

證明：記：

其中，s∈[-M，M]，0 ＜M＜∞。由式（16）可得，當(dāng)s＜0 時(shí)：

回顧引理5 的證明可知式（34）的前兩項(xiàng)是主項(xiàng)。當(dāng)T→∞時(shí)：

從而：

同理可得：

從而定理3得證。

3 蒙特卡洛模擬實(shí)驗(yàn)

本文通過(guò)蒙特卡洛模擬來(lái)評(píng)價(jià)變點(diǎn)估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)。在所有實(shí)驗(yàn)中，I(d)數(shù)據(jù)生成過(guò)程參照文獻(xiàn)[7,11]，將記憶參數(shù)設(shè)定為d=0.25，變分點(diǎn)均設(shè)置為τ0=0.5，在{1，…，T-1} 中搜尋k?，實(shí)驗(yàn)重復(fù)次數(shù)設(shè)置為1000次。

首先，觀察在變點(diǎn)大小固定情形下?的有限樣本表現(xiàn)。樣本容量分別設(shè)置為T=20 和100 ，那么當(dāng)T=20時(shí)，k0=10；當(dāng)T=100 時(shí)，k0=50。變點(diǎn)前后均值分別設(shè)置為=0 和=1，從而變點(diǎn)大小μ1-μ2=-1 是一個(gè)固定的常數(shù)。T=20 代表小樣本情形，T=100 代表大樣本情形，圖1分別繪制了兩種情形下?的直方圖。由圖1可知，當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，隨著樣本量的增加，估計(jì)量k?都集中在真實(shí)變點(diǎn)k0處，但均存在一定的估計(jì)誤差，與定理1的結(jié)論吻合。

圖1 變點(diǎn)大小固定時(shí)的直方圖

其次，觀察變點(diǎn)收縮時(shí)?的有限樣本表現(xiàn)。同樣地，樣本容量分別設(shè)置為T=20 和100 ，對(duì)應(yīng)地，k0=10 和50，變點(diǎn)前后均值分別設(shè)置為=0 和=T-0.15，從而變點(diǎn)大小μ1-μ2=-T-0.15隨樣本量T的增加而收縮。估計(jì)量?分布的直方圖結(jié)果見圖2。由圖2 可知，當(dāng)變點(diǎn)收縮時(shí)，整體而言估計(jì)量?的估計(jì)誤差都很大，即使樣本量從T=20 增加至50，估計(jì)量?的估計(jì)誤差也依舊很大，由定理2 可知，當(dāng)變點(diǎn)大小隨樣本量T趨于無(wú)窮而收縮至零時(shí)，估計(jì)量?的估計(jì)誤差趨于無(wú)窮大，因此圖2 中k?的有限樣本表現(xiàn)與定理2的結(jié)論吻合。

圖2 變點(diǎn)大小收縮時(shí)?的直方圖

最后，將本文的擬極大似然估計(jì)法與Betken（2017）[12]提出的自歸一Wilcoxon 估計(jì)法進(jìn)行了對(duì)比，觀察兩種方法在變點(diǎn)大小固定和變點(diǎn)收縮時(shí)估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)誤。記變點(diǎn)的自歸一Wilcoxon 估計(jì)量為，樣本容量分別設(shè)置為T=20 和100，=0 和=1 表示變點(diǎn)大小固定情形，=0 和表示變點(diǎn)大小收縮情形，結(jié)果如表1所示。由表1可知，無(wú)論在變點(diǎn)大小固定還是變點(diǎn)收縮情形下，?的偏差都略小于的偏差，?的標(biāo)準(zhǔn)誤也都明顯小于的標(biāo)準(zhǔn)誤。

表1 擬極大似然估計(jì)量和自歸一Wilcoxon估計(jì)量的偏差和標(biāo)準(zhǔn)誤

4 實(shí)證分析

大量研究表明，中國(guó)股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的長(zhǎng)記憶性，為此本文選取2023年1月3日至2023年6月30日招商銀行股票收盤價(jià)進(jìn)行分析，共包含118 個(gè)數(shù)據(jù)，其時(shí)序走勢(shì)圖如圖3 所示。由圖3 可見，招商銀行股票收盤價(jià)在2023 年3 月至4 月大幅下跌，此后基本保持穩(wěn)定，因此可視其為含有某個(gè)均值變點(diǎn)的時(shí)間序列。首先，采用擬極大似然法對(duì)變點(diǎn)時(shí)刻進(jìn)行估計(jì)，得到變點(diǎn)估計(jì)量為k?=41，對(duì)應(yīng)日期為2023年3月7日。其次，對(duì)變點(diǎn)前后股票的平均收盤價(jià)進(jìn)行估計(jì)，2023 年1 月3 日至2023 年3 月7 日招商銀行股票平均收盤價(jià)為38.70 元，2023 年3 月8 日至2023年6月30日招商銀行股票平均收盤價(jià)為33.99元，較之前平均下跌4.71 元，結(jié)果如圖4 所示。最后，對(duì)數(shù)據(jù)的長(zhǎng)記憶性進(jìn)行分析。采用R軟件中的fracdiff包對(duì)數(shù)據(jù)的殘差序列的記憶參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，得到d?=0.4084，表明招商銀行股票的收盤價(jià)序列的確呈現(xiàn)長(zhǎng)記憶性。

圖3 2023年1月3日至2023年6月30日招商銀行股票收盤價(jià)走勢(shì)圖

圖4 2023年1月3日至2023年6月30日招商銀行股票收盤價(jià)數(shù)據(jù)分析

結(jié)合實(shí)際情況來(lái)看，2023年3月股市整體低迷，3月7日上證指數(shù)跌破3300點(diǎn)，收盤時(shí)為3285點(diǎn)，下跌36點(diǎn)，跌幅達(dá)1.11%。招商銀行作為上證指數(shù)的成分股，受大盤影響，收盤價(jià)呈現(xiàn)大幅下跌，與理論分析結(jié)果一致。

5 結(jié)論

本文研究了平穩(wěn)且遍歷的長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型的均值單變點(diǎn)估計(jì)，采用擬極大似然法對(duì)變點(diǎn)時(shí)刻進(jìn)行了估計(jì)，并分別在變點(diǎn)大小固定和收縮兩種情況下討論了估計(jì)量的漸近性質(zhì)。研究發(fā)現(xiàn)，變點(diǎn)大小與長(zhǎng)記憶性之間存在一種權(quán)衡關(guān)系。具體而言，當(dāng)變點(diǎn)大小固定時(shí)，變點(diǎn)時(shí)刻的估計(jì)量是不相合的，但估計(jì)誤差依概率有界，變分點(diǎn)估計(jì)量是T-相合的，與記憶參數(shù)d無(wú)關(guān)；當(dāng)變點(diǎn)收縮時(shí)，估計(jì)量的收斂速度和極限分布都與記憶參數(shù)d有關(guān)。蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)展示了變點(diǎn)估計(jì)量的有限樣本表現(xiàn)，與理論結(jié)果一致；并與自歸一Wilcoxon估計(jì)法進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果顯示，擬極大似然估計(jì)法在偏差和精度兩個(gè)方面都優(yōu)于自歸一Wilcoxon估計(jì)法。最后，對(duì)招商銀行的股票收盤價(jià)進(jìn)行了實(shí)證分析，證實(shí)了數(shù)據(jù)具有長(zhǎng)記憶性且包含一個(gè)變點(diǎn)，與實(shí)際相符。