鞏紅禹，董 悅

（1.天津理工大學(xué)管理學(xué)院，天津 300382；2.內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特 010050）

0 引言

有限總體推斷關(guān)注總體的總量、均值、比例等目標(biāo)特征。傳統(tǒng)的概率抽樣方法自奈曼奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以來[1]，一直是抽樣領(lǐng)域研究的主流問題，但由于面對構(gòu)造抽樣框的挑戰(zhàn)及高昂的調(diào)查成本，因此其有一定的局限性。對于調(diào)查同性戀、艾滋病陽性感染者、吸毒人員、流浪者構(gòu)成的隱藏總體或者難于接觸的總體，構(gòu)造抽樣框很難，傳統(tǒng)概率抽樣不可行。受訪者驅(qū)動抽樣（Respondent-Driven Sampling，RDS）利用隱藏群體成員的社會網(wǎng)絡(luò)關(guān)系來接觸并調(diào)查潛在受訪者的相關(guān)信息，推斷隱藏總體（Hidden Population）的比例、均值等總體特征。隱藏總體通常有如下特征：一是群體規(guī)模小，在總?cè)丝谥兴急壤龢O低，而且群體的規(guī)模未知，邊界不清晰，很難構(gòu)建一個完備的抽樣框；二是群體內(nèi)成員因某種原因不愿意暴露自己的身份。在RDS中，招募過程從挑選初始種子開始，通過向受訪者發(fā)放具有獨(dú)特標(biāo)識的優(yōu)惠券形式產(chǎn)生數(shù)次招募波，直到招募規(guī)模達(dá)到所需的樣本數(shù)量。

受訪者驅(qū)動抽樣是鏈?zhǔn)阶粉櫝闃樱╟hain referral sampling）的一種形式。起初通過滾雪球抽樣法[2]調(diào)查總體中滿足要求的少數(shù)受訪者，并基于此調(diào)查新受訪者，但每輪調(diào)查中未規(guī)定受訪者招募數(shù)量，故存在較大選擇偏差。Heckathorn（1997）[3]提出受訪者驅(qū)動抽樣，采用雙重激勵機(jī)制有效減少樣本選擇偏差。Salganik 和Heckathorn（2004）[4]、Volz 和Heckathorn（2008）[5]應(yīng)用社會網(wǎng)絡(luò)分析理論豐富了RDS統(tǒng)計(jì)推斷方法。Gile等（2018）[6]通過無放回序貫抽樣估計(jì)總體參數(shù)，梳理了RDS 方法的統(tǒng)計(jì)進(jìn)展。Lu和Bengtsson（2012）[7]模擬同性及雙性戀大型社交網(wǎng)絡(luò)，違背RDS 抽樣方法條件測試其穩(wěn)健性。Shi 等（2019）[8]通過識別偏差類型診斷法提出一種基于模型的RDS 估計(jì)量。國內(nèi)學(xué)者蔣妍等（2022）[9]對樣本進(jìn)行事后分層，提出與逆概率加權(quán)相關(guān)的PS-IWP估計(jì)量。

RDS現(xiàn)已成為隱藏群體研究的主要選擇，并得到了廣泛應(yīng)用。Dhawan 和Mishra（2020）[10]應(yīng)用RDS 法估計(jì)多數(shù)新德里流浪兒童使用精神活性物質(zhì)。Hakre等（2014）[11]在巴拿馬男男性接觸者中估計(jì)性傳播感染率。Bui等（2014）[12]運(yùn)用RDS方法估計(jì)坦桑尼亞達(dá)累斯薩拉姆男男性行為者的動機(jī)與危險(xiǎn)行為之間的關(guān)聯(lián)性。

本文將隱藏總體視為社會網(wǎng)絡(luò)模型，假設(shè)總體就某一屬性具有二水平值，提出了基于RDS關(guān)于總體比例的模型推斷方法。統(tǒng)計(jì)模擬分析中提供了RDS的模擬抽樣方法，數(shù)值分析表明，模型推斷方法具有穩(wěn)健性。

1 RDS抽樣方法

RDS抽樣方法引入社會網(wǎng)絡(luò)的概念，利用目標(biāo)人群的社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)實(shí)施抽樣。它將總體中的成員視為網(wǎng)絡(luò)中的一個個節(jié)點(diǎn)，將成員間的聯(lián)系視為節(jié)點(diǎn)間相互連接的線，整個社會結(jié)構(gòu)可視為由各節(jié)點(diǎn)及連線構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)社會網(wǎng)絡(luò)理論，即使是生活在社會網(wǎng)絡(luò)中的隱藏群體成員也不可能完全與世隔絕，成員間會存在關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。因此，可通過關(guān)系較為資深的成員獲得其所在網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及特征，并研究其總體特征。如卡爾頓所說，雖然基于非概率樣本無法獲得準(zhǔn)確的估計(jì)量及效率，但若對非概率抽樣過程建模并構(gòu)建統(tǒng)計(jì)理論，則問題將迎刃而解。本文恰是利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型研究隱藏總體特征。

實(shí)施RDS抽樣的假設(shè)條件如下：隱藏總體成員間都存在直接或間接的聯(lián)系；RDS 是有放回抽樣，任何成員都有可能重復(fù)入樣；每位受訪者必須能估計(jì)出自身網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，稱為“度”，即在目標(biāo)總體中認(rèn)識的人數(shù)；節(jié)點(diǎn)的選擇概率與自身的度成正比；受訪者在個人網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇新受訪者。

RDS 工作原理如下：研究者在總體中選擇種子，種子從其社交網(wǎng)絡(luò)中招募固定數(shù)量的受訪者。在每一輪（wave）招募中，受訪者會從個人網(wǎng)絡(luò)中招募新受訪者。當(dāng)達(dá)到所需樣本量時招募過程停止。招募過程中需通過招募券記錄招募“痕跡”。假設(shè)研究需招募七輪，首輪種子“2”號招募的第3號受訪者招募的第2號受訪者，招募券記為2320000，依此類推，這是RDS 與滾雪球抽樣的顯著不同之處。

RDS抽樣過程具有無記憶性，即受訪者被招募的行為與自身特征有關(guān)，與過去招募的受訪者無關(guān)，因此RDS抽樣方法可視為馬爾科夫過程。隨著招聘鏈的不斷深入，經(jīng)過足夠多的招募輪次，樣本會收斂到平衡狀態(tài)。正是由于RDS具有馬爾科夫過程的平穩(wěn)性，因此RDS樣本能夠推斷連接隱藏總體的社會網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

RDS 有兩個附加要求。第一，存在一種雙重激勵制度，被調(diào)查者因?yàn)閰⑴c調(diào)查獲得一個獎勵，介紹新受訪者也會獲得額外獎勵，與單向激勵的滾雪球抽樣相比，這能提高招募的效率。第二，招募是由受訪者驅(qū)動的，這個特性賦予了RDS名稱。正因如此，受訪者在朋友的激勵下更有可能參與其中，尤其是在關(guān)于艾滋病或吸毒等的敏感性調(diào)查中。

2 RDS的模型推斷

2.1 隱藏總體結(jié)構(gòu)

受訪者驅(qū)動抽樣推斷總體特征與傳統(tǒng)抽樣法不同，由于抽樣設(shè)計(jì)未知，并不直接通過樣本估計(jì)總體特征，而是使用該樣本來估計(jì)總體社交網(wǎng)絡(luò)的特征屬性，進(jìn)而對不同特征屬性的總體比例進(jìn)行估計(jì)，如圖1所示。

圖1 傳統(tǒng)抽樣法與受訪者驅(qū)動抽樣法的差異

為應(yīng)用RDS樣本估計(jì)總體網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與特征，假設(shè)總體中成員之間的關(guān)系是彼此相互認(rèn)識，下文總體參數(shù)的推斷以此為前提。假定總體就某一屬性具有二水平值A(chǔ) 和B，在這個總體中成員之間的關(guān)系是相互的（例如，若a 成員認(rèn)識b成員，則b成員也認(rèn)識a成員）。

如圖2 所示，通過不同的方式重新繪制相同的總體，圓圈和菱形的兩種節(jié)點(diǎn)形狀分別表示總體中某一屬性的兩組集合A和B?？梢钥闯?，在該總體中，A組成員連接B組成員的邊數(shù)為6，同樣，B組成員連接A組成員的邊數(shù)也為6。假定一個包含總體網(wǎng)絡(luò)中所有信息的鄰接矩陣X，此時網(wǎng)絡(luò)中只存在無向邊，若節(jié)點(diǎn)i和j之間存在無向邊，則xij=xji=1，否則xij=xji=0。如果將節(jié)點(diǎn)i的度di定義為與節(jié)點(diǎn)i連接的邊數(shù)di=∑jxij，那么A 組中所有成員的連接邊數(shù)RA等于A組中所有成員度的總和，同樣，B組中所有成員的連接邊數(shù)RB也等于B組中所有成員度的總和，即：

圖2 同一總體網(wǎng)絡(luò)的不同表示形式

其中，NA表示總體中A 組成員的人數(shù)，表示總體中A組成員的平均度；NB表示總體中B組成員的人數(shù)，表示總體中B組成員的平均度。

若將從A 組成員出發(fā)隨機(jī)選擇一條邊連接到B 組成員的概率記為σA，B，則有：

其中，TAB為總體中A 組成員與B 組成員的連接邊數(shù)。對應(yīng)圖2中，TAB=6，RA=24。由于總體網(wǎng)絡(luò)是無向的，從A組成員出發(fā)連接到B組成員的邊數(shù)與從B組成員出發(fā)連接到A組成員的邊數(shù)相等，通過A組成員與B組成員之間兩種不同的連接路徑，可以得到兩種表示形式，且存在關(guān)系TAB=TBA。

將公式（1）和公式（2）分別代入公式（4）和公式（5），并使公式（4）和公式（5）相等，可以得到：

公式（6）中包含了節(jié)點(diǎn)特征和網(wǎng)絡(luò)特征的信息，然而總體網(wǎng)絡(luò)中A 組成員和B 組成員的總體數(shù)量NA和NB是未知的，因此可以將公式（6）兩邊同時除以總體數(shù)量N，N=NA+NB，記特征A 和特征B 的成員比例分別為和，則公式（6）可重新表示為：

特征A和特征B的總體比例PPA和PPB分別為：

2.2 估計(jì)總體網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.2.1 關(guān)于RDS樣本的圖表示

假設(shè)從隱藏總體中選擇若干成員作為樣本的初始種子，然后將初始種子選擇邊的過程定義為招募周期1，招募周期1中的邊決定了在第1波中被選擇的節(jié)點(diǎn)，招募過程以這種方式持續(xù)進(jìn)行，直到達(dá)到所需的樣本量。設(shè)NI(j)w=x為在第x波中選中節(jié)點(diǎn)j的示性函數(shù)，EI(ej→k)r=x為在招募周期x中選中邊ej→k的示性函數(shù)，定義如下：

假設(shè)在招募過程中，節(jié)點(diǎn)會從與其相連的相鄰節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)招募其他節(jié)點(diǎn)概率：

這里假設(shè)在RDS抽樣過程中總體不會發(fā)生變化。在招募過程中，初始種子通常為研究人員所熟悉，這些人與其他人擁有更多的聯(lián)系，假設(shè)一個人被選為初始種子的概率與種子節(jié)點(diǎn)自身的度成比例：

在招募周期1中，邊ej→k被選中的概率可以表示為：

根據(jù)公式（12）與公式（13），公式（14）可以寫為：

公式（15）可被簡化為：

從公式（16）可以看出，若在第0波中初始種子被選擇的概率與度成正比，則在招募周期1中每條邊被選擇的概率相等。在第1 波中節(jié)點(diǎn)j被選擇的概率等于與其相連的邊的個數(shù)dj在招募周期1中被選擇的概率之和：

公式（17）表明，如果初始種子的選擇概率與自身的度成比例，那么第1波中的節(jié)點(diǎn)被選擇的概率也與其度成比例，依次類推，所有連續(xù)波中的節(jié)點(diǎn)都將以與其自身度成比例的概率被選擇，那么邊ej→k在招募周期x中被選擇的概率可以推廣到所有邊，表示為：

2.2.2 應(yīng)用RDS樣本估計(jì)隱藏總體結(jié)構(gòu)

對于隱藏總體，如上所述，σA，B(σB，A)為從A（B）組成員出發(fā)隨機(jī)選擇一條邊連接到B（A）組成員的概率，若估計(jì)隱藏總體中特征A 的比例，則需要使用樣本對σA，B和σB，A進(jìn)行估計(jì)。

將樣本中的邊分為四組：從A組成員出發(fā)連接到A組成員的邊數(shù)表示為rAA；從A 組成員出發(fā)連接到B 組成員的邊數(shù)表示為rAB；從B 組成員出發(fā)連接到A 組成員的邊數(shù)表示為rBA；從B 組成員出發(fā)連接到B 組成員的邊數(shù)表示為rBB。每一條邊被選擇的概率是相等的，且樣本中觀測到的邊是隨機(jī)的，因此σA，B和σB，A的無偏估計(jì)可分別表示為：

下面估計(jì)A 組和B 組中節(jié)點(diǎn)的平均度和。有兩種估計(jì)方法。

第一種是度分布法。已知在滿足假設(shè)的情況下，在所有招募波中節(jié)點(diǎn)被選擇的概率與自身的度成比例，先運(yùn)用樣本的度分布qA(d)來估計(jì)總體的度分布pA(d)，再利用總體的度分布來估計(jì)A組成員的平均度。樣本的度分布qA(d)可以表示為：

將公式（22）代入公式（23），可以得到：

定義樣本中A組成員的度為d的頻數(shù)分布fA(d)，則，其中，nA為樣本中A組成員的數(shù)量，可以將公式（25）改寫為：

其中，πi為節(jié)點(diǎn)i被選擇的概率。雖然πi是未知的，但πi與度di成比例。若對任意節(jié)點(diǎn)i與k的相對選擇概率是已知的，則有：

因此，公式（28）可以重新被寫為：

公式（31）不需要知道每個節(jié)點(diǎn)被選擇的概率，只需要知道樣本中節(jié)點(diǎn)的度。由于公式（27）和公式（31）是相同的，因此可以得到的估計(jì)量為：

由于Horvitz-Thompson 估計(jì)量是無偏的，因此兩個Horvitz-Thompson估計(jì)量的比值也是漸近無偏的。

將公式（19）和公式（32）代入公式（8），得到特征A 總體比例的估計(jì)量為：

基于模型的RDS估計(jì)量也被稱為SH估計(jì)量[4]，與待估計(jì)屬性的平均度與特征屬性組間的被選擇概率有關(guān)。

3 模擬研究

R包提供了SH的估計(jì)方法。本文將科羅拉多州高危異性戀社區(qū)HIV 數(shù)據(jù)“Project 90”的復(fù)雜社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)作為隱藏總體社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)中包含每位受訪者的13個二水平特征屬性的觀測值，分別取值為0 和1。并通過以下模擬過程生成RDS樣本。

步驟1：從時間為0開始，從特征屬性組中隨機(jī)選取10顆初始種子進(jìn)行招募，每位招募人員可招募1～3名新的受訪者。

步驟2：樣本中的每位新受訪者用符號j來表示，招募時間記為tj，則：

（1）受訪者招募0 名、1 名、2 名、3 名新受訪者的概率滿足多項(xiàng)分布(0，0.4，0.3，0.3)，=0，1，2，3。

步驟3：如果沒有達(dá)到預(yù)期的樣本量，那么將招募時間最短的潛在受訪者加入樣本中，然后重新返回步驟2。如果沒有潛在受訪者存在，那么就從未被抽樣的成員中完全隨機(jī)地添加一個新的初始種子。

對上述抽樣過程進(jìn)行1000 次模擬，考慮RDS 實(shí)際招募過程情況，設(shè)定RDS抽樣比為15%，即RDS樣本數(shù)量為616，最終抽取1000個樣本量為616的RDS模擬樣本，應(yīng)用R軟件“RDS”包估計(jì)總體特征，結(jié)果如表1所示。

表1 總體比例、比例估計(jì)中位數(shù)、均值（單位：%）

從表1可以看出，Race總體比例估計(jì)的中位數(shù)與真值的差是4.98%，均值與真值的差是4.80%，在所有屬性估計(jì)的誤差中最大，其他屬性的比例估計(jì)都在1%以內(nèi)，在可接受的誤差內(nèi)。

表2 估計(jì)的均方誤差（MSE）、均方根誤差（RMSE）

4 結(jié)束語

RDS的抽樣方法已廣泛應(yīng)用于公共衛(wèi)生、社會學(xué)研究等領(lǐng)域。RDS 也可應(yīng)用于在線社交網(wǎng)絡(luò)調(diào)查，不僅經(jīng)濟(jì)、高效，而且能夠進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，降低樣本選擇偏差。RDSA軟件及R 包中的RDS 為受訪者驅(qū)動抽樣應(yīng)用提供了扎實(shí)的實(shí)踐平臺。RDS抽樣假設(shè)總體的屬性特征是有限的，本文假設(shè)總體就某一屬性具有二水平值，這種思想可以拓展到多水平值。

RDS將傳統(tǒng)雪球抽樣方法的單向激勵變?yōu)殡p向激勵，提高了招募的效率；要求調(diào)查對象由同伴招募而不是由同伴向調(diào)查者推薦，減少了招募過程中拒絕的比例，同時保護(hù)了參與者的隱私；RDS通過限制推舉同伴數(shù)量延長招募的輪數(shù)，使招募的調(diào)查對象盡可能深入到目標(biāo)人群中，減少了對種子的依賴性，從而提高了樣本的代表性。模型推斷方法以社會網(wǎng)絡(luò)模型為基礎(chǔ)，獲得了關(guān)于隱藏總體的某一屬性特征比例的估計(jì)。RDS 的模擬抽樣過程為研究隱藏總體的推斷提供了可能性，數(shù)值分析表明模型推斷方法估計(jì)具有穩(wěn)健性。

基于RDS抽樣的穩(wěn)健分析結(jié)果需要滿足RDS抽樣的假定條件，實(shí)踐中嚴(yán)格滿足假定條件是很困難的，分析RDS對假定條件的穩(wěn)健性需要進(jìn)一步深入研究。