趙軍輝，董翠玲

（新疆師范大學 數(shù)學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

面板數(shù)據(jù)結(jié)合了時間序列與截面數(shù)據(jù)的特點，是二維數(shù)據(jù)，它擴大了樣本的信息，降低了變量之間的多重共線性，提高了參數(shù)估計的準確性，目前廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟學、金融學、生命科學、醫(yī)學、氣象學等領(lǐng)域［1-2］。面板數(shù)據(jù)的變點分析問題始于Joseph等人提出的隨機變點模型［3-4］。Bai使用最小二乘法和擬極大似然方法估計了面板數(shù)據(jù)中均值與方差的共同變點，并得到了變點估計量的極限分布［5］。自Page 首次提出累積和（Cumulative Sum，CUSUM）方法對變點進行連續(xù)性檢驗后［6］，CUSUM 方法被許多統(tǒng)計學家改進并應(yīng)用于變點的檢測與估計。Horváth 等人在Bai的模型基礎(chǔ)上，關(guān)于面板數(shù)據(jù)中均值是否存在共同變點提出了一個基于平方累積和（Squared CUSUM）的檢驗統(tǒng)計量，并在原假設(shè)H0（即沒有變點）下得到了檢驗統(tǒng)計量的漸進分布［7］。Li等人和Shi分別使用CUSUM 方法［8］和似然方法［9］對面板數(shù)據(jù)中方差是否存在共同變點進行了檢驗。徐小平等人使用擬極大似然方法和CUSUM 方法對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點進行了估計，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多變點情形［10］。

這些關(guān)于面板數(shù)據(jù)變點分析的研究，當觀測時長T較長，變點位置不在序列的端點附近時，即，估計都很有效，但對于觀測時長T較短（即T＜30），或變點出現(xiàn)在序列端點附近時，估計的精度大幅降低。Horváth等人使用CUSUM方法對長相依序列中的變點進行估計時，在數(shù)值模擬過程中發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)參數(shù)對變點估計的精確度有顯著影響［11］。Chen 等人通過調(diào)節(jié)參數(shù)對面板數(shù)據(jù)中均值的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，數(shù)值模擬給出了不同調(diào)節(jié)參數(shù)下變點估計的精確度［12］。譚常春等人研究了CUSUM 型統(tǒng)計量中調(diào)節(jié)參數(shù)對單變量序列中變點估計效果的影響［13］。文章通過調(diào)節(jié)參數(shù)對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，研究調(diào)節(jié)參數(shù)γ∈(0,1) 對方差共同變點估計精確度的影響。蒙特卡洛模擬表明通過調(diào)節(jié)參數(shù)不僅使得變點位置在序列中間時得到很好的估計效果，而且使得變點位置在序列端點附近時，估計的精確度有了大幅度提升，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多個方差共同變點的情形。最后，應(yīng)用2018 年1 月—2022 年12 月外匯匯率進行實證分析，結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計方法是有效的。

1 模型與主要結(jié)果

考慮面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點模型

其中，k0未知，Yit（i=1,2,…,N；t=1,2,…,T）是面板數(shù)據(jù)中第i個截面?zhèn)€體在t時刻的觀測值，μi是第i個截面?zhèn)€體的均值，ηit是第i個截面?zhèn)€體在t時刻的誤差項。在這個模型中，若σi1≠σi2，則未知時刻k0（1 ≤k0＜T）稱為面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點，即這N個截面?zhèn)€體方差的共同變點。當k0=T時，表明面板數(shù)據(jù)中不存在方差共同變點。令

其中，γ為調(diào)節(jié)參數(shù)，γ∈(0,1)，調(diào)節(jié)參數(shù)可以保證方差共同變點k0在靠近序列端點時估計的有效性，γ=0表示無調(diào)節(jié)參數(shù)。表示第i個截面?zhèn)€體在T個不同時刻得到觀測值的樣本均值。記=Yit-Yˉi，則為面板數(shù)據(jù)中心化后的結(jié)果，從而

為了估計方差的共同變點，需要下列假設(shè)條件:

假設(shè)1：E(ηit)=0，Var(ηit)=1，其中

假設(shè)2：存在正數(shù)M＞0，使得

假設(shè)3：存在τi∈(0,1)，ε＞0，使得ki=[Tτi]，并且τi+1-τi＞ε，i=0,1,2,…,m，其中[·]為取整函數(shù)；

假設(shè)4：表示方差跳躍度的平方，即方差的變化強度；

假設(shè)5：對任意的1 ≤k≤s≤T，都有，其中h∈(0,2)，注意在整篇文章中，正數(shù)C可能會不同，而且C與N和T是相互獨立的；

假設(shè)6：存在α∈(0,1)，使得

注：假設(shè)1～假設(shè)3為Bai的研究中關(guān)于面板數(shù)據(jù)的假設(shè)，其中假設(shè)1能保證誤差項ηit滿足平穩(wěn)性，假設(shè)2要求誤差項ηit的四階矩有限，假設(shè)3 確保了模型的每兩個變點之間有足夠多的樣本，這是大數(shù)定律和中心極限定理成立的基本條件，通常ε取0.05，0.01 等較小的數(shù)。假設(shè)4 類似于Bai 的假設(shè)2，這個假設(shè)既保證方差變化強度δi的非負性，又合理描述截面?zhèn)€數(shù)N與方差變化強度δi之間的關(guān)系［5］。假設(shè)5滿足常見的平穩(wěn)序列或者非平穩(wěn)序列，更多的案例參看文獻［14］。假設(shè)6表示當N,T→∞時，Tα趨于無窮大的速度快于N.

引理1［14］設(shè)Y1,…,Yn是任意二階矩有限的隨機變量序列，C1,C2,…,Cn為任意的非負常數(shù)，則

定理1設(shè)面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在一個方差共同變點若假設(shè)1～假設(shè)5 都成立，且則對于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計量τ0滿足

推論1設(shè)面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在一個方差共同變點若假設(shè)1～假設(shè)6 都成立，且則對于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計量τ0滿足

2 結(jié)果的證明

定理1的證明當面板數(shù)據(jù)模型（1）中存在方差共同變點k0時，可知

3 面板數(shù)據(jù)中方差多變點的估計步驟

若模型（1）中存在m個變點，且變點個數(shù)m已知，則模型（1）轉(zhuǎn)化為

再結(jié)合二元分割法將上述方法推廣到多變點的情形，則模型（10）中的方差多變點估計具體步驟如下:

第一步：利用式（4）估計出第一個變點；

第二步：在處將整個面板數(shù)據(jù)一分為二，得到兩個子樣本，第一部分為Yi1,Yi2,…,Yi，第二部分為Yi,+1,Yi,+2,…,YiT，i=1,2,…,N，再利用式（4）分別估計這兩個部分的變點

第三步：在前一部分面板數(shù)據(jù)中計算出

第四步：在后一部分面板數(shù)據(jù)中計算出

第五步：比較的大小，若

第六步：將進行排序，然后基于這兩個變點將整個面板分成三個部分，類似第二、三、四步估計出第三個變點，重復(fù)使用上述方法，直至估計出m個變點。

4 數(shù)值模擬

應(yīng)用MATLAB 軟件，通過蒙特卡洛模擬研究調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響。對于模型（1），簡單起見，只考慮一個變點的情形，令ui=1，ηit～N(0,1)，σi1=0.1，σi2=0.2，這里方差跳躍度并不大。

首先，研究觀察時長較短時的情況，取T=10，變點位置在端點附近及中間位置時，不同的截面?zhèn)€體數(shù)量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響，MATLAB 模擬10000次。圖1和圖2分別展示了變點位置為k0=2和k0=9時，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響。γ=0表示無調(diào)節(jié)參數(shù)，這里“精確度”指的是數(shù)值模擬中變點估計量包含真實變點的頻率，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度高于無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會大幅度上升。圖3展示了變點位置在中間時（k0=5），調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度與無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度幾乎相當，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會大幅度上升，當N=150 時，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度與無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM型估計量的精確度幾乎都達到100%.

圖1 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，左端變點k0=2）

圖2 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，右端變點k0=9）

圖3 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，中間變點k0=5）

其次，研究觀察時長較長時的情況，取T=50，變點位置在端點附近及中間位置時，不同的截面?zhèn)€體數(shù)量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響，MATLAB模擬10000次。圖4和圖5分別展示了變點位置為k0=2和k0=T-1時,調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度明顯高于無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度。圖6 展示了變點位置在中間時（k0=T/2），調(diào)節(jié)參數(shù)γ的取值對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度與無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度幾乎相當，并且隨著截面?zhèn)€體數(shù)量N的增加，精確度會大幅度上升，當N=100時，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度與無調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0）下CUSUM型估計量的精確度幾乎都達到100%.

圖4 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，左端變點k0=2）

圖5 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，右端變點k0=T -1）

圖6 不同的調(diào)節(jié)參數(shù)γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，中間變點k0=T/2）

圖7 10個國家的貨幣兌換人民幣的外匯月度匯率數(shù)據(jù)圖

綜合分析，無論變點位置在中間還是端點附近時，調(diào)節(jié)參數(shù)（γ≠0）下CUSUM 型估計量都會有非常好的表現(xiàn)，這與前面的理論結(jié)果也相吻合。

5 實證分析

文章選取2018 年1 月—2022 年12 月10 個國家的貨幣（澳大利亞元（AUD）、加拿大元（CAD）、瑞士法郎（CHF）、歐元（EUR）、英鎊（GBP）、美元（USD）、新西蘭元（NZD）、新加坡元（SGD）、巴西雷亞爾（BRL）、波蘭茲羅提（PLN））兌換人民幣（CNY）的外匯月度匯率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源于https://cn.investing.com/currencies/），共有10 個不同的截面?zhèn)€體，每個截面?zhèn)€體含有60 個歷史數(shù)據(jù)，即N=10，T=60，首先對選取的數(shù)據(jù)進行去均值化處理，然后采用不同調(diào)節(jié)參數(shù)（γ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.9）情況下CUSUM 型估計量的方法估計變點，估計的變點位置都是46，對應(yīng)的實際時間是2021 年10 月。造成這種現(xiàn)象的原因主要是2021 年8 月國際貨幣基金組織（IMF）批準了史上規(guī)模最大的一輪新增特別提款權(quán)（SDR）分配計劃。結(jié)合二元分割法，該變點將2018年1 月—2022 年12 月外匯匯率數(shù)據(jù)一分為二，采用上述方法分別對2018 年1 月—2021 年10 月和2021 年11 月—2022年12月數(shù)據(jù)進行變點估計。得到的變點位置為7（前一部分）和10（后一部分），對應(yīng)的實際時間分別是2018年7月和2022年8月，前一部分變點出現(xiàn)主要與2018年6月美聯(lián)儲的加息政策以及央行的降準政策有關(guān)。后一部分變點出現(xiàn)主要與2022年8月美聯(lián)儲的加息政策以及國內(nèi)經(jīng)濟復(fù)蘇緩慢有關(guān)。

6 結(jié)論

文章通過調(diào)節(jié)參數(shù)對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，研究調(diào)節(jié)參數(shù)對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計效果的影響，并結(jié)合二元分割法將其推廣到多個方差共同變點的情形。模擬結(jié)果表明調(diào)節(jié)參數(shù)對面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計有顯著影響，同時發(fā)現(xiàn)此方法不僅適合樣本小的面板數(shù)據(jù)，也適合樣本大的面板數(shù)據(jù)，豐富了面板數(shù)據(jù)中方差的共同變點估計的研究方法。