摘 要 針對(duì)具有外部擾動(dòng)和非線性動(dòng)力學(xué)的二階領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性問題，提出一種全分布式自適應(yīng)遞歸終端滑?？刂扑惴?。首先，在避免奇異性的基礎(chǔ)上，提出一種新的自適應(yīng)算法，有效克服了多智能體系統(tǒng)中常見的控制器抖動(dòng)現(xiàn)象；然后，用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)系統(tǒng)中未知的非線性動(dòng)力學(xué)，使控制器不再需要已知精確的模型信息。最后，用仿真算例驗(yàn)證了該算法的優(yōu)越性，算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，不包含任何圖論信息和模型信息，具有一定的通用性。

關(guān)鍵詞 遞歸終端滑?？刂?神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 多智能體系統(tǒng) 自適應(yīng)算法

中圖分類號(hào) TP18" "文獻(xiàn)標(biāo)志碼 A" "文章編號(hào) 1000-3932（2024）06-0965-08

多智能體系統(tǒng)具有較高的物理可實(shí)現(xiàn)性，在無(wú)人機(jī)［1］、智能機(jī)器人編隊(duì)［2］、無(wú)人船［3］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。具有代表性的多智能體控制問題是指每個(gè)智能體只與相鄰的智能體交互，使整個(gè)群體相互協(xié)調(diào)，最終達(dá)到共同目標(biāo)。隨著研究的深入，多智能體系統(tǒng)的魯棒性和非線性控制問題成為一個(gè)重要的研究方向。

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法具有較強(qiáng)的抗干擾特性并易于物理實(shí)現(xiàn)，因此越來(lái)越多的學(xué)者通過(guò)引入滑模算法來(lái)提高多智能體全系統(tǒng)的魯棒性，并取得了豐碩的成果［4～6］。與傳統(tǒng)的一階滑模相比，高階滑模不僅在收斂速度上具有優(yōu)勢(shì)［7］，而且可以顯著提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度［8］。因此，引入高階滑?？商岣叨嘀悄荏w系統(tǒng)的整體性能。針對(duì)多智能體跟蹤問題，文獻(xiàn)［9］提出非奇異終端滑?？刂扑惴ǎ稍谟邢迺r(shí)間內(nèi)將跟蹤誤差控制在零的較小鄰域，但算法未考慮外部擾動(dòng)，并且需要假定系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)完全已知。文獻(xiàn)［10］研究了具有不確定動(dòng)力學(xué)和有界外部擾動(dòng)的二階多智能體系統(tǒng)的一致跟蹤控制問題，但整個(gè)系統(tǒng)只能保證局部有限時(shí)間收斂，且需要知道擾動(dòng)上界。文獻(xiàn)［11］研究了具有未知擾動(dòng)上界的高階非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)協(xié)同跟蹤控制，考慮了未知擾動(dòng)上界和未知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)狀態(tài)，并保證系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定階段，然而該算法控制輸入的峰值較高，控制器在穩(wěn)態(tài)后會(huì)抖動(dòng)。基于以上討論，筆者提出一種新的自適應(yīng)終端滑?？刂扑惴?，算法考慮了系統(tǒng)未知非線性動(dòng)力學(xué)和未知擾動(dòng)上界，以期有效克服多智能體控制器中常見的抖振現(xiàn)象；利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行估計(jì)，使控制器不再依賴精確的模型信息，從而提高算法的通用性。

1 圖論

設(shè)通信拓?fù)鋱DG=（V，ε，A），G的節(jié)點(diǎn)集合V={1，2，…，n}，G的邊集ε？奐V×V。考慮用有序節(jié)點(diǎn)

（i，j）描述邊，表示節(jié)點(diǎn)i可以向節(jié)點(diǎn)j發(fā)送信息，節(jié)點(diǎn)j也稱為節(jié)點(diǎn)i的鄰節(jié)點(diǎn)。鄰接矩陣A=［a■］表示節(jié)點(diǎn)與邊之間的關(guān)系，（i，j）∈ε，a■＞0，如果a■=0則表示節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j之間沒有路徑，即無(wú)數(shù)據(jù)交換。G的拉普拉斯量L=D-A，其中D為度矩陣且有D=diag{d■，d■，…，d■}，d■=■a■。

本研究中，假設(shè)拓?fù)鋱DG=（V，ε，A）表示由n+1個(gè)智能體組成的Leader-Follower多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱D，其中，V=V∪{0}，0表示領(lǐng)導(dǎo)者；拓?fù)鋱DG是G的一個(gè)子拓?fù)鋱D，表示所有追隨者之間的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；ε？奐V×V是圖論G的邊集；A表示節(jié)點(diǎn)與邊之間的關(guān)系。輸入矩陣B=diag{b■，b■，…，b■}，如果領(lǐng)導(dǎo)者將位置、速度等信息發(fā)送給跟隨者i，則b■=1；如果跟隨者沒有接收到信息，則b■=0。圖論矩陣H=L+B，表示整個(gè)多智能體系統(tǒng)的通信信息。

2 系統(tǒng)描述

考慮如下多智能體系統(tǒng)：

■■=v■■■=f■（x■，v■）+η■（x■）u■+d■，i=0，1，2，…，n（1）

其中，x■∈R■表示第i個(gè)智能體的位置，■■和

v■∈R■表示第i個(gè)智能體的速度，v■是x■的一階導(dǎo)數(shù)，■■表示第i個(gè)智能體的加速度；f■（x■，v■）∈R■表示智能體本身的未知非線性特征；η■（x■）∈R■表示控制器增益，且η■（x■）是一個(gè)非奇異矩陣；u■∈R■表示第i個(gè)智能體的控制輸入；d■表示有界的外部未知擾動(dòng)。

式（1）描述了擁有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者（i=0）和多個(gè)跟隨者（i=1，2，…，n）的二階多智能體系統(tǒng)。

本研究的控制目標(biāo)是提出一個(gè)多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)遞歸終端滑?？刂扑惴?，保證系統(tǒng)狀態(tài)通過(guò)無(wú)抖振的方式在固定時(shí)間內(nèi)收斂。

假設(shè)1［12］ 外部擾動(dòng)d■是有界且未知的。

假設(shè)2［13］ 拓?fù)鋱DG包含一個(gè)以根節(jié)點(diǎn)為領(lǐng)

導(dǎo)節(jié)點(diǎn)的生成樹。

引理1［14］ 當(dāng)且僅當(dāng)假設(shè)2成立時(shí)，圖論矩陣H是半正定的，并且具有正實(shí)特征值。

3 控制方案設(shè)計(jì)

3.1 多智能體動(dòng)態(tài)模型

本地相鄰節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)一致性誤差可寫為：

e■=■a■（x■-x■）+b■（x■-x■）e■=■a■（v■-v■）+b■（v■-v■）（2）

其中，N為自然數(shù)；x■和v■分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的位置和速度。因此，整個(gè)多智能體系統(tǒng)的一致性誤差可表示為：

e■=（H？茚I）θ■∈R■e■=（H？茚I）θ■∈R■（3）

θ■=（θ■■，θ■■，…，θ■■）■∈R■θ■=（θ■■，θ■■，…，θ■■）■∈R■θ■=x■-x■∈R■θ■=v■-v■∈R■（4）

其中，I為單位矩陣；？茚表示克羅內(nèi)克積；θ■和θ■分別為第i個(gè)跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者之間的位置誤差和速度誤差；θ■和θ■分別為θ■和θ■的集合。

記Z■=H？茚I，Z■=Z■■。那么，多智能體系統(tǒng)的誤差動(dòng)態(tài)模型為：

■■=e■Z■■■=-■+F+ηu+d（5）

其中，e■和e■分別為diag（e■，e■，…，e■）■和

diag（e■，e■，…，e■）■；X=（x■，x■，…，x■）■∈R■，且X二階連續(xù)可導(dǎo)，其二階導(dǎo)數(shù)記作■。F=（f■，f■，…，

f■）■∈R■表示系統(tǒng)的未知非線性特性。η、u、d分別表示整個(gè)系統(tǒng)的增益、控制輸入、外部擾動(dòng)的集合。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有非線性擬合能力強(qiáng)、學(xué)習(xí)規(guī)則簡(jiǎn)單、魯棒性強(qiáng)、易于物理實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，因此在非線性控制領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。

本研究采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)未知非線性f■進(jìn)行近似，f■可表示為：

f■=W■■φ■（X■）+ε■（6）

其中，W■為理想的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重；φ■為激活函數(shù)；X■為系統(tǒng)狀態(tài)的集合；ε■為近似誤差。

激活函數(shù)選擇高斯函數(shù)：

φ■=exp■，z=1，2，…，p（7）

其中，■和ξ表示高斯函數(shù)中需要設(shè)計(jì)的參數(shù)；p為節(jié)點(diǎn)i的神經(jīng)元數(shù)量。

那么，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)值■■為：

■■=■■■φ■（8）

其中，■■表示W(wǎng)■的估計(jì)值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新規(guī)律設(shè)計(jì)如下：

■■=r■s■φ■（X■）-r■μ■■■（9）

其中，s■為待設(shè)計(jì)的遞歸終端滑模變量；κ表示向量■■中的第κ個(gè)元素；r■和μ■表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重更新率，而且r■和W■可整理為矩陣r和W：

r■=diag（r■I■，r■I■，…，r■I■）r=diag（r■，r■，…，r■）W■=（W■，W■，…，W■）■W=（W■，W■，…，W■）■（10）

3.3 控制器設(shè)計(jì)

考慮如下快速非奇異終端滑模變量：

ρ■=■■+k■e■+k■sig（e■）■（11）

其中，k■、k■和α■表示第i個(gè)智能體的滑模變量參數(shù)；sig（e■）■=|e■|■sign（e■），sign（·）為符號(hào)函數(shù)。

那么，遞歸終端滑模變量可表示為：

s■=ρ■+k■ χ■（12）

其中，χ■的一階導(dǎo)數(shù)滿足等式■■=sig（ρ■）■，k■和β■表示第i個(gè)智能體的滑模變量參數(shù)。

將k■、k■、k■分別整理為k■、k■、k■：

k■=diag{k■I，k■I，…，k■I}∈R■k■=diag{k■I，k■I，…，k■I}∈R■k■=diag{k■I，k■I，…，k■I}∈R■（13）

那么，整個(gè)多智能體系統(tǒng)的遞歸終端滑模變量可寫為：

ρ=■■+k■e■+k■ sig（e■）■s=ρ+k■χ（14）

其中，ρ、α、s、 χ分別為ρ■、α■、s■、 χ■的集合。

遞歸終端滑模變量s的導(dǎo)數(shù)為：

■=■■+k■■■+σ+k■■（15）

其中，σ的表達(dá)式如下：

σ■=（k■α■|e■|■e■，k■α■|e■|■e■，…，k■α■|e■|■e■）■σ=（σ■■，σ■■，…，σ■■）（16）

定義如下變量：

？諄=Z■（σ+k■■■+k■■）（17）

？準(zhǔn)=ε+？諄+d-■■（18）

如果將■■記為？準(zhǔn)■=（ε■+？諄■+d■-■■）的估計(jì)值，那么自適應(yīng)更新律可以設(shè)計(jì)為：

■■=τ■|s■|-τ■μ■■■（19）

其中，τ■和μ■為需要設(shè)計(jì)的參數(shù)，記為：

τ=diag（τ■，τ■，…，τ■）∈R■（20）

那么，可以得到整個(gè)多智能體系統(tǒng)的自適應(yīng)更新律：

■=τ|s|-τμ■■（21）

選擇一個(gè)正常數(shù)δ為邊界層，自適應(yīng)律可以寫為：

u■=sign（s■）■■，■＞1■|■■|" ，■≤1（22）

那么，可以得到u■為：

u■=（u■，u■，…，u■）■（23）

綜上，節(jié)點(diǎn)i的控制策略可以寫為：

u■=η■■（-■■-μ■ s■-u■）（24）

其中，μ■＞0為需要設(shè)計(jì)的參數(shù)。

引理2［15］ 對(duì)于本文所考慮的多智能體系統(tǒng)（1），在假設(shè)1和假設(shè)2成立的前提下，控制策略（24）將保證整個(gè)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且滑模變量s■將收斂到下式：

|s■|≤■（25）

其中，π■和π■為需要設(shè)計(jì)的參數(shù)，且滿足如下不等式：

0＜π■＜10＜π■＜■（26）

4 仿真分析

為了說(shuō)明上述控制方法的有效性，筆者用文獻(xiàn)［10］中的二階多智能體非線性系統(tǒng)作為仿真對(duì)象，其動(dòng)態(tài)模型簡(jiǎn)化如下：

■■=v■■■=f■（x■，v■）+η■u■+d■（27）

未知的非線性動(dòng)力學(xué)可描述為：

f■（x■，v■）=4x■sin（0.25π+0.5v■）f■（x■，v■）=4x■cos（0.5v■）（28）

跟隨者的初始狀態(tài)為：

x■（0）=（0.3，0.2）■，v■（0）=（0，-0.1）■x■（0）=（0.1，0.1）■，v■（0）=（0.3，0.2）■x■（0）=（-1.8，1.4）■，v■（0）=（-0.1，-0.1）■x■（0）=（0.4，0.5）■，v■（0）=（0.2，0.3）■x■（0）=（-0.1，-0.5）■，v■（0）=（0.1，-0.2）■（29）

領(lǐng)導(dǎo)者的變化軌跡為：

x■（t）=（0.5sin t，0.5cos t）■v■（t）=（0.5cos t，-0.5sin t）■（30）

遞歸終端滑模變量s■=（s■，s■）■，外部未知擾動(dòng)選擇d■=（0.1sin t，0.1cos t）■。此外，系統(tǒng)狀態(tài)x■=

（x■，x■）■，v■=（v■，v■）■，控制輸入u■=（u■，u■）■，擾動(dòng)d■=（d■，d■）■。

仿真中的相關(guān)參數(shù)：μ■=10，π■=0.2，π■=0.005，τ■=11，μ■=0.008，η■=I■，其中I■表示二階單位矩陣。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入X■=［s■，■■）■，r■=60，高斯函數(shù)的參數(shù)c■=-1.0，-0.5，0，0.5，1.0-1.0，-0.5，0，0.5，1.0■，b■=8.6。遞歸終端滑模變量的參數(shù)k■=1.4，k■=0.1，k■=2，α■=1.8，

β■=0.8。

考慮以領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的多智能體無(wú)向通信拓?fù)鋱D如圖1所示，則矩陣L和B為：

L=" 2？搖？搖 -1？搖？搖" "0？搖？搖" " 0？搖？搖" -1-1？搖？搖" 2？搖？搖" -1？搖？搖" " 0？搖？搖" " 0" 0？搖？搖 -1？搖？搖" "2？搖？搖" -1？搖？搖" " 0" 0？搖？搖" "0？搖？搖" -1？搖？搖" "2？搖？搖" -1-1？搖？搖" "0？搖？搖" "0？搖？搖" -1？搖" "？搖 2（31）

B=1？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 00？搖？搖nbsp; 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 00？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 00？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 00？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0？搖？搖" 0（32）

在筆者控制方法的作用下，控制律u■和u■的變化曲線如圖2所示，可以看出筆者方法沒有明顯的控制器抖動(dòng)。

圖3為每個(gè)智能體的跟蹤軌跡變化曲線，可以看出每一個(gè)跟隨者經(jīng)過(guò)短暫的調(diào)節(jié)過(guò)程后都能夠與領(lǐng)導(dǎo)者的變化保持一致。

圖4為跟隨者的位置跟蹤誤差和速度跟蹤誤差，位置跟蹤誤差在穩(wěn)定10 s后能夠達(dá)到10-5數(shù)量級(jí)，速度跟蹤誤差能夠達(dá)到10-4數(shù)量級(jí)，說(shuō)明筆者算法有很高的控制精度，跟蹤誤差能夠很快收斂。

自適應(yīng)更新律的曲線變化如圖5所示，由于系統(tǒng)穩(wěn)定后，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差很小，為了直觀地看出自適應(yīng)律在該方法中起到的作用，令D=？諄+d-■0。

圖6展現(xiàn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)估計(jì)的效果，其中？資=1，2，可以看出，隨著系統(tǒng)的自適應(yīng)調(diào)整，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以有效地近似系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)。

遞歸終端滑模變量的曲線變化如圖7所示，可以看出滑模變量能夠快速收斂。

圖8為？滋3對(duì)一致性誤差上界的影響，可以看出，適當(dāng)放大？滋3的取值可以提高系統(tǒng)的整體性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)一類二階領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者多智能體系統(tǒng)，提出基于無(wú)向通信的自適應(yīng)控制算法。該控制算法是一種完全分布式的控制算法，可以在不存在外部擾動(dòng)上界的情況下解決控制器抖動(dòng)問題，并且控制器不包含任何圖論信息。仿真結(jié)果表明，所提算法能夠保證多智能體系統(tǒng)在短時(shí)間內(nèi)達(dá)到預(yù)期的軌跡和跟蹤性能。

參 考 文 獻(xiàn)

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（收稿日期：2024-02-28，修回日期：2024-10-21）

Adaptive Recursive Terminal Sliding Mode Control Algorithm Based on Multi-agent System

JIA Chao1， 2， WANG Hong-kun1， 2， SHANGGUAN Xuan-yue 1，2

（1.School of Electrical Engineering and Automation， Tianjin University of Technology；2. Tianjin Key Laboratory of Control Theory and Application for Complex Systems）

Abstract" "Aiming at the finite-time consensus of second-order leader-following multi-agent system with external disturbances and nonlinear dynamics， a fully-distributed adaptive recursive terminal sliding mode control algorithm was proposed， including having the avoiding singularity based to propose a new adaptive algorithm to overcome the controller’s vibration in multi-agent system; then， having the neural network employed to estimate unknown nonlinear dynamics in the system so that the controller needs to know the precise model information no longer; finally， making use of simulation example verify superiority of the algorithm. The results show that， this algorithm has a simple structure without any graph theory information and model information and has certain versatility.

Key words" "recursive terminal sliding mode control， neural network， multi-agent system， adaptive algorithm