趙 巖, 張亞輝, 林家浩

(1.大連理工大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,大連 116023;2.大連理工大學(xué)寧波研究院,寧波 315016)

1 引 言

隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題廣泛存在于地震、風(fēng)、波浪和空間不平順等復(fù)雜環(huán)境載荷作用下結(jié)構(gòu)和裝備的設(shè)計(jì)和安全性評(píng)價(jià)中。自創(chuàng)建以來(lái),虛擬激勵(lì)法作為線性隨機(jī)振動(dòng)分析的高效精確方法,在橋梁抗震/抗風(fēng)、車(chē)輛工程和航空航天工程等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1,2],成為分析隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題的一種有力手段。虛擬激勵(lì)法在創(chuàng)建和發(fā)展過(guò)程中,得到鐘萬(wàn)勰院士的極大關(guān)懷和大力支持,特別是結(jié)合鐘萬(wàn)勰院士提出的精細(xì)積分法和對(duì)偶辛體系,虛擬激勵(lì)法對(duì)于非平穩(wěn)問(wèn)題和隨機(jī)波傳播問(wèn)題等都給出了有效的解決途徑[3-5]?；谝酝S機(jī)振動(dòng)虛擬激勵(lì)法處理非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題的分析思路,本文給出一種非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析閉合解的求解方式。

在很多實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的抗震分析中,地震輸入通常采用一致地面激勵(lì),即假定各支承點(diǎn)的地面運(yùn)動(dòng)是相同的。這種假定對(duì)于跨度不是很大的高層建筑或高聳結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō),是比較合理的。但對(duì)于大跨度橋梁、水壩和管線等空間結(jié)構(gòu),由于地震發(fā)生時(shí),結(jié)構(gòu)的各支承點(diǎn)受地震傳播的行波效應(yīng)、局部場(chǎng)地效應(yīng)和部分相關(guān)效應(yīng)的影響,各支承處輸入的地面運(yùn)動(dòng)顯著不同,需要采用多點(diǎn)輸入地震作用模型[6]。早期關(guān)于大跨度多點(diǎn)輸入地震響應(yīng)分析的研究,很多工作都建立在地面運(yùn)動(dòng)做為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程假設(shè)的基礎(chǔ)之上。實(shí)際地震觀測(cè)發(fā)現(xiàn),地震發(fā)生過(guò)程中振動(dòng)強(qiáng)度通常經(jīng)歷上升、平穩(wěn)和下降三個(gè)階段,呈現(xiàn)出一種典型的非平穩(wěn)特性。Priestley[7]建議采用演變激勵(lì)模型描述地震的非平穩(wěn)特性,由于具有比較明確的物理意義,該模型在地震工程得到廣泛的應(yīng)用。對(duì)于非一致非平穩(wěn)地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析,Perotti[8]模擬地面運(yùn)動(dòng)為具有演變譜的非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程,采用隨機(jī)振動(dòng)方法研究了多支座大跨度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)行為。Alderucci等[9]針對(duì)地面運(yùn)動(dòng)空間變異性對(duì)于大跨度多支承結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)振動(dòng)問(wèn)題推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)演變功率譜密度函數(shù)的閉合解,研究了演變過(guò)程模型和西格瑪振蕩過(guò)程模型。文獻(xiàn)[10]結(jié)合虛擬激勵(lì)法與精細(xì)積分方法研究了大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)(包括非均勻調(diào)制)隨機(jī)地震響應(yīng)的有效分析。

大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題通常需要進(jìn)行時(shí)頻分析。在時(shí)頻分析過(guò)程中,需要對(duì)每一頻點(diǎn)執(zhí)行一次時(shí)域逐步積分,如果分析的頻域區(qū)間包含過(guò)多的頻點(diǎn),這種方法會(huì)消耗過(guò)多計(jì)算資源。本文基于虛擬激勵(lì)法從頻域建立了大跨度結(jié)構(gòu)多點(diǎn)輸入非平穩(wěn)振動(dòng)分析的有效方法,推導(dǎo)了考慮地震地面運(yùn)動(dòng)部分相干效應(yīng)時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)演變功率譜的閉合解。由于實(shí)現(xiàn)了確定性調(diào)制過(guò)程與隨機(jī)過(guò)程的分離,應(yīng)用本文的方法只需要對(duì)確定性調(diào)制過(guò)程實(shí)施傅里葉分析計(jì)算,在具有較高精度的前提下,計(jì)算效率獲得有效的提升。

2 非一致激勵(lì)下大跨度結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于一個(gè)有n1個(gè)地面支座和n2個(gè)自由度的離散線性大跨度結(jié)構(gòu),其多點(diǎn)地震激勵(lì)運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成如下的分塊矩陣形式[1]

(1)

式中xb(t)為支座的地面強(qiáng)迫位移,xs(t)為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所有非支座節(jié)點(diǎn)位移,pb(t)為地面作用于支座的力,M,C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣,下標(biāo)s和b分別對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的非支座自由度和支座自由度。對(duì)于集中質(zhì)量離散化模型,質(zhì)量矩陣中的交互項(xiàng)Msb和Mbs為零。

在求解運(yùn)動(dòng)方程(1)時(shí),可將絕對(duì)位移xs(t)分解為擬靜位移ys(t)和動(dòng)態(tài)相對(duì)位移yr(t)兩部分,即

(2)

式中 擬靜位移ys(t)滿足靜力學(xué)平衡方程

(3)

由式(3)可得擬靜位移ys(t)和地面支座節(jié)點(diǎn)位移xb(t)滿足

(4)

(5)

(6)

(7)

的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(8)

式中E為一個(gè)m1×n1的轉(zhuǎn)換矩陣。顯然,當(dāng)只考慮三個(gè)平動(dòng)分量而不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)分量時(shí),m1=3n1。

由式(4,5,8)可分別改寫(xiě)為

ys(t)=-Pub(t)

(9)

(10)

式中 系數(shù)矩陣P為

(11)

3 大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析的頻域方法

3.1 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)輸入及響應(yīng)

(12)

式中h(τ)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣,其與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H(ω)存在傅里葉變換關(guān)系為

(13)

大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的位移響應(yīng)xs(t)為

xs(t)=yr(t)+ys(t)=

(14)

3.2 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)的相關(guān)分析

進(jìn)行大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)的相關(guān)分析,由式(14)可知,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的自相關(guān)函數(shù)為

(15)

式(15)右端項(xiàng)具有四個(gè)部分,分別為動(dòng)態(tài)相對(duì)位移yr(t)和擬靜位移ys(t)的自相關(guān)函數(shù),以及兩者的互相關(guān)函數(shù)。為推導(dǎo)方便,首先考察式(15)右端第一項(xiàng)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移yr(t)的自相關(guān)分析,有

(16)

(17)

式中 推導(dǎo)過(guò)程利用了輸入激勵(lì)功率譜矩陣Süü的譜分解。將式(17)代入式(16),并交換積分運(yùn)算符號(hào)有

(18)

(19)

(20)

由此,可得系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)yr(t)的互相關(guān)矩陣為

(21)

對(duì)于式(15)右端的其余三部分的期望運(yùn)算,其推導(dǎo)過(guò)程與上述結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移yr(t)的自相關(guān)分析類似,為避免繁瑣,本文直接給出最后的結(jié)果如下。

結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)的自相關(guān)函數(shù)為

βj(t,ω)=PG(t)u～(t,ω)

(22)

結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移響應(yīng)yr(t)和結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)的互相關(guān)函數(shù)為

(23)

結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)和結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移響應(yīng)yr(t)的互相關(guān)函數(shù)為

(24)

利用式(20～23),并令tk=tl=t,由式(15)可以獲得考慮部分相干效應(yīng)大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)xs(t)的方差函數(shù)

(25)

由維納-辛欣關(guān)系可知,式(25)積函數(shù)正是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的演變功率譜密度矩陣,為

(αj(t,ω)+βj(t,ω))T

(26)

進(jìn)一步可以按式(27)計(jì)算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的時(shí)變方差

(27)

3.3 演變功率譜分析的頻域方法

考慮虛擬激勵(lì)載荷向量式(20)關(guān)于時(shí)間t的傅里葉積分變換,此時(shí)ω為常值,有

(28)

(29)

為調(diào)制函數(shù)矩陣G(t)的傅里葉變換矩陣。

與式(28)相應(yīng)的逆傅里葉變換為

(30)

利用式(19,28,30),由式(19)可進(jìn)一步推導(dǎo)出計(jì)算虛擬響應(yīng)αj(t,ω)的頻域表達(dá)形式,即

(31)

式中

(32)

式(21)中令tk=tl=t,利用式(19,32)可得系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)y(t)隨時(shí)間演變的自相關(guān)矩陣為

(33)

式(33)的被積函數(shù)正是結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移響應(yīng)yr(t)的演變功率譜密度矩陣,為

(34)

與式(34)推導(dǎo)類似,可以得到結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)相對(duì)位移響應(yīng)ys(t)的演變功率譜密度矩陣

ηs(t)=-PG(t)

(35)

由式(34～36)可以得到大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)位移響應(yīng)演變功率譜密度矩陣表達(dá)式為

Sysys(t,ω)=β(t,ω)Süü(iω)βT(t,ω)

(36)

4 數(shù)值算例

如圖1某大跨度斜拉橋,全長(zhǎng)為866 m,結(jié)構(gòu)采用全漂浮雙索面斜拉體系。橋梁有限元模型具有429個(gè)節(jié)點(diǎn),其中包含6個(gè)地面節(jié)點(diǎn),劃分301個(gè)單元,1156個(gè)自由度。主甲板和橋塔采用三維梁?jiǎn)卧M,斜拉索采用一維索單元模擬。在分析中,采用前200階模態(tài)進(jìn)行模態(tài)分解,模態(tài)振型阻尼比取為0.05。采用本文提出的頻域方法與文獻(xiàn)[3]的時(shí)頻分析方法進(jìn)行非平穩(wěn)非一致地震作用下結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析。有效頻率區(qū)間取為ω∈[0.0,100] rad/s,頻域步長(zhǎng)為Δω=0.2 rad/s。

圖1 斜拉橋有限元模型

4.1 方法驗(yàn)證

采用均勻調(diào)制演變非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程模型描述地面運(yùn)動(dòng),考慮如下三段調(diào)制函數(shù),即

(37)

式中 各參數(shù)取值分別為I0=1,t1=1.5,t2=15,c0=0.2。

基于中國(guó)規(guī)范選取地面加速度反應(yīng)譜,特性參數(shù)為7°區(qū)域設(shè)防,2類場(chǎng)地類別,1類地震分類。本文采用Kaul[11]提出的方法進(jìn)行該場(chǎng)地反應(yīng)譜與等效功率譜轉(zhuǎn)換,并作為下述分析采用的地面加速度功率譜。

采用Loh-Yeh[12]建議的相干函數(shù)模型進(jìn)行各地面支座節(jié)點(diǎn)相干關(guān)系模擬

(38)

式中kx為地震波傳播的波數(shù),根據(jù)SMART-1地震臺(tái)網(wǎng)的第40次的加速度記錄,取kx=0.125。

假定橋梁受沿著橋主軸方向傳播的SV波作用,地震視波速vapp=700 m/s。計(jì)算分析中,時(shí)頻分析方法采用時(shí)間步長(zhǎng)為0.02 s;采用本文的頻域分析方法時(shí),采樣頻率為10 Hz。為方便進(jìn)行兩種方法的對(duì)比驗(yàn)證,選擇斜拉橋主甲板的2個(gè)觀測(cè)點(diǎn)A和點(diǎn)B(位置分別為x1=262.2 m,x2=412.2 m),分別采用時(shí)頻方法和本文建立的頻域方法計(jì)算兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)豎向剪力的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。

為進(jìn)行兩種方法的對(duì)比驗(yàn)證,圖2～圖4給出了主甲板不同觀測(cè)位置豎向剪力時(shí)變標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算結(jié)果。圖2和圖3為主甲板點(diǎn)A和點(diǎn)B的豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差。圖4為地震作用時(shí)刻為t=30 s時(shí),主甲板豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差?？梢钥闯?兩種方法計(jì)算非常一致,最大誤差不超過(guò)0.2%。從圖2和圖3可以看出,對(duì)于時(shí)變方差響應(yīng),大致經(jīng)過(guò)上升、平穩(wěn)和下降3個(gè)階段,表明了響應(yīng)的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)特性。對(duì)于圖4,剪力沿著主甲板的分布具有一定的對(duì)稱性,這是由于懸索橋的結(jié)構(gòu)大致對(duì)稱,并承受對(duì)稱載荷作用的結(jié)果。在上述計(jì)算中,時(shí)頻分析方法計(jì)算時(shí)間為2347.98 s,本文建立的頻域分析方法計(jì)算時(shí)間為1030.32 s。

圖2 主甲板點(diǎn)A豎向剪力時(shí)變標(biāo)準(zhǔn)差

圖3 主甲板點(diǎn)B豎向剪力時(shí)變標(biāo)準(zhǔn)差

圖4 t=30 s時(shí)主甲板不同位置豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差

4.2 不同相干模型

對(duì)于考慮地震傳播的時(shí)空結(jié)構(gòu),根據(jù)強(qiáng)震觀測(cè)及統(tǒng)計(jì)分析已經(jīng)發(fā)展了多種相干函數(shù)模型,除了本文采用的Loh模型,下面給出另外兩種模型。

馮啟民-胡聿賢相干函數(shù)模型[13]

(39)

Harichandran-Vanmarcke相干函數(shù)模型[14]

(40)

式中

θ(ω)=K[1+(ω/ω0)b]-1/2

(41)

根據(jù)SMART-1地震臺(tái)網(wǎng)的加速度記錄,模型的參數(shù)為A=0.736,α=0.147,K=5210,ω0=6.85 rad/s,b=2.78。

假定SV波作用,視波速vapp=750 m/s,分別考慮Loh,Harichandran和Haicheng相干模型,其余分析參數(shù)同4.1節(jié)。選擇的主甲板的觀測(cè)點(diǎn)B,計(jì)算的豎向剪力F和橫向彎矩M時(shí)變方差分別如圖5和圖6所示。同樣給出了地震作用時(shí)間為t=30 s時(shí)刻,主甲板剪力和彎矩圖標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果,如圖7和圖8所示。從上述結(jié)果可以看出,不同的相干模型對(duì)于內(nèi)力響應(yīng)具有顯著的影響。對(duì)于本文討論的參數(shù)情況,采用Haicheng相干模型時(shí)計(jì)算的內(nèi)力響應(yīng)最大,Loh相干模型獲得的結(jié)果最小。從圖7和圖8可以看出,計(jì)算的結(jié)果仍然具有一定的對(duì)稱性,三種相干模型計(jì)算內(nèi)力響應(yīng)沿著橋梁主軸方向的變換趨勢(shì)大致相同,對(duì)于主甲板對(duì)稱軸位置的內(nèi)力響應(yīng)存在一定差別,對(duì)于主甲板中間位置,Haicheng和Harichandran相干模型的計(jì)算結(jié)果存在一個(gè)波谷,但Loh相干模型的計(jì)算結(jié)果則存在一個(gè)波峰。

圖5 不同相干模型豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差

圖6 不同相干模型觀橫向彎矩標(biāo)準(zhǔn)差

圖7 不同相干模型下主甲板剪力標(biāo)準(zhǔn)差

圖8 不同相干模型下主甲板彎矩標(biāo)準(zhǔn)差

5 結(jié) 論

由于地震波傳播過(guò)程中的行波效應(yīng)、場(chǎng)地相干效應(yīng)以及局部場(chǎng)地效應(yīng),對(duì)于大跨度結(jié)構(gòu)的抗震分析需要考慮地面運(yùn)動(dòng)的非一致性。本文基于虛擬激勵(lì)法建立了多點(diǎn)輸入非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析的閉合解,與傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法不同,建立的方法完全基于頻域執(zhí)行。該方法比較顯著的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)確定性調(diào)制過(guò)程與非平穩(wěn)過(guò)程的有效分離。在具體計(jì)算分析中僅需要考慮確定性調(diào)制部分的分析,由于輸入調(diào)制函數(shù)具有慢變函數(shù)的特性,在應(yīng)用離散傅里葉分析技術(shù)時(shí)不需要較高的采樣頻率,即可獲得良好精度的計(jì)算結(jié)果。