張博涵, 曹善成, 王 博,4, 歐陽華江, 徐方暖

(1.西北工業(yè)大學 工程力學系,西安 710072;2.西北工業(yè)大學 航天學院,西安 710072;3.西南交通大學 機械工程學院, 成都 610031;4.大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點實驗室,大連 116024)

1 引 言

基于力學屈曲原理[1]的無機可延展電子器件,既能保持無機功能電子器件優(yōu)異的電學性能[2,3],還能使硬而脆的無機電子器件具備拉伸、壓縮、彎曲和扭曲等延展性能;因此,該類電子器件受到了學術界和工程領域專家學者們的廣泛關注?；诹W屈曲原理的薄膜-基底結構,是將剛性硬而脆的薄膜型功能電子器件層粘合在預拉伸的柔性基底上;然后,釋放掉柔性基底上的預拉伸應變后,薄膜中產生壓縮的殘余應變,致使薄膜結構在柔性基底上表面處發(fā)生褶皺變形[4]。

針對薄膜-基底結構的力學屈曲褶皺,已有大量的理論研究、實驗及有限元工作開展[5-9]。其中,實驗研究結果表明,當薄膜結構受到壓縮應變時,薄膜會在柔性基底表面形成一維波紋(1D wavy)、人字形波紋(herringbone wavy)和棋盤形波紋(checkerboard wavy)等三種類別的褶皺[10]。針對該類結構的失穩(wěn)特性,文獻[11,12]從靜力學設計角度,研究了該類薄膜-基底結構失穩(wěn)機理特性。然而,這類電子器件在應用過程中,不可避免會需要承受或者工作于復雜動態(tài)的環(huán)境中[13-15];準確評估該類結構動態(tài)力學行為是其從理論設計走向實際應用需要解決的問題之一。

針對存在一維波紋薄膜結構的動態(tài)力學行為,目前國內學者也開始關注。Ou等[16,17]研究了一維薄膜-基底結構的動力學行為,并通過雅可比橢圓函數,解析地給出了該結構的動態(tài)振幅表達式。Ma等[18]研究了基底為有限厚度時的非線性自由振動。Wang等[19]分析了表面效應和壓電效應對彎曲薄膜結構動態(tài)行為的影響,以避免復雜環(huán)境中的共振。Bi等[20,21]研究了具有中間層的薄膜-基底結構的動態(tài)行為,得到了含中間層時的解析非線性頻率,并分析了中間層對結構動態(tài)行為的影響。然而,針對薄膜結構的二維褶皺,即當該薄膜-基底結構發(fā)生人字形或棋盤形褶皺模式時,這類結構的動態(tài)力學行為鮮有研究。因此,本文將研究棋盤形褶皺薄膜-基底結構的動力學行為特性。

2 硬薄膜-柔性基底能量計算

2.1 模型描述

圖1 薄膜-基底結構與棋盤形褶皺

在理論分析中,薄膜建模為馮·卡門理論描述的薄彈性板,認為基底是半無限線彈性體。圖1(a)所示的參考構型中定義了計算所用的坐標系,坐標原點O位于薄膜的中性層;平面內的x軸和y軸分別指向雙軸載荷的主應變方向;z方向代表薄膜的厚度方向。本文采用能量方法,建立二維薄膜-基底結構的振動控制方程;因此,需要分別計算出二維薄膜-基底結構的動能和勢能。

2.2 薄板結構勢能

(1)

線彈性二維薄膜的本構關系為

(2)

根據文獻[9],薄膜結構會受到的橫向牽引力T3及面內牽引力T1和T2分別為

(3)

(4)

(5)

根據文獻[20-21]可知,二維薄膜結構的勢能Uf包含兩部分,一個是薄膜結構的彈性勢能Uf,其由于薄膜結構受到彎曲變形產生;另外一個為膜能Ufs,其由于薄膜受到拉伸變形產生

Uf=Ufb+Ufs

(6)

式中Uf和Ufs的計算表達式為

(7)

(8)

式中S為積分區(qū)域的面積。

2.3 柔性基底彈性應變能

基底建模為薄膜以下的半無限空間,假設基底失穩(wěn)時表面出現(xiàn)了w(x,y)的位移,以w(x,y)作為邊界條件代入半無限大空間的彈性響應問題[11]中可求得基底的能量表達式。對于薄膜-基底結構的二維褶皺問題,根據文獻[12]可知,該結構中的彈性應變能計算為

(9)

為褶皺位移w(x,y)的傅里葉變換形式,其變換表達式為

(10)

3 棋盤形褶皺結構振動控制方程

如圖1(b)所示的棋盤形褶皺結構的面外位移w(x,y,t)可以假設為[12]

w(x,y,t)=A(t)cos(k1x1)cos(k2x2)

(11)

式中 待定參數A(t)為隨時間變化的褶皺幅值,k1和k2為褶皺波紋沿x方向和y方向的特征波數。在計算二維薄膜-基底結構的勢能時,本文還需要計算二維薄膜的面內位移u和v。文獻[9]指出可忽略薄膜/基底界面處的面內牽引力對褶皺波長和振幅的影響。在分析二維薄膜-基底結構屈曲失穩(wěn)時,假設T1=T2=0,這樣,根據方程(1～4)可以求出面內位移u和v的表達式為

(12)

(13)

將方程(12～14)代入方程(7,8)可以得到薄膜結構的彎曲能和膜能分別為

(14)

(15)

把面外位移式(11)代入式(9),可以得到存儲在柔性基底中的彈性勢能為

(16)

二維薄膜的動能計算表達式為

(17)

根據Lagrange方程,可以得到棋盤形褶皺薄膜-基底結構的振動控制方程,Lagrange方程表達式為

(18)

式中 Lagrange函數L的表達式為

(19)

(20)

式中 系數α1和α2為

(21)

為了分析計算方便起見,引入無量綱參數

(22)

將式(22)的無量綱式代入方程(20),可以得到無量綱的振動控制方程為

(23)

(24)

4 數值方法

辛數值方法在求解保守系統(tǒng)問題時,展現(xiàn)出優(yōu)異的保辛特性(如動量守恒和相體積守恒)[22,23]。針對非線性振動控制方程(23),其解析解很難得到,因此本文采用數值計算精度高和穩(wěn)定性好的辛Runge-Kutta法對其進行數值求解。

在進行數值求解前,本文需要將二階動力學方程進行降階處理,即需要引入新的變量

(25)

然后,利用方程(25),方程(23)可以改寫為如下一階微分方程組

(26)

本文采用二級四階的辛Runge-Kutta方法,其迭代格式為[24]

(27)

(28)

5 結果與討論

5.1 數值算例

表1 薄膜和基底結構的材料和幾何參數[12]

薄膜-基底結構的Hamilton能量可以寫為

(29)

圖2 Hamilton能量誤差

為了進一步展示辛數值方法的數值穩(wěn)定性,圖3和圖4分別對比了兩種不同步長下的薄膜-基底結構的時間位移曲線。

圖3 二級四階辛Runge-Kutta法和經典四級四階Runge-Kutta法在步長Δτ=0.04時的仿真結果

圖4 二級四階辛Runge-Kutta法和經典四級四階Runge-Kutta法在步長Δτ=0.01時的仿真結果

對方程(26)描述的保守系統(tǒng),其另一個性質是相空間中的軌線圍成的面積不隨時間演化而變化。圖5繪制了薄膜-基底結構的相位?？梢钥闯?在不同時刻下,采用辛數值方法得到的相位曲線始終為一條曲線;不會發(fā)生數值耗散現(xiàn)象。即驗證了辛數值方法在保守系統(tǒng)下的保結構特性[15]。

圖5 步長精度Δτ=0.01,Δτ=0.02時隨時間演化的相位

5.2 靜態(tài)分岔

在方程(26)中,令f(τ,Y)為零,可以解析得到薄膜-基底結構靜態(tài)振幅表達式和臨界預應變的表達式為

(30)

(31)

(32)

圖6 薄膜-基底結構失穩(wěn)的分岔

圖7 棋盤形波紋的勢能與預應變載荷x和波紋幅值的關系

6 結 論

本文研究了二維棋盤形褶皺薄膜-基底結構動力學行為。首先將二維薄膜結構等效為薄板結構,將柔性基底等效為半無限大基底結構,計算了薄膜-基底結構系統(tǒng)總能量;通過拉格朗日運動方程得到了該棋盤形褶皺的振動控制方程。然后,應用二級四階辛Runge-Kutta法求解該方程,通過數值試驗,驗證了辛數值算法的有效性和優(yōu)越性。主要結論如下。

(1) 數值試驗驗證了辛算法具有保結構、保能量的特點。辛Runge-Kutta算法能夠很好地保持棋盤形褶皺薄膜-基底結構原有的能量守恒特點,能夠保證該結構在振動過程中長時間數值穩(wěn)定。

(2) 棋盤形褶皺薄膜結構的振動會圍繞在其靜態(tài)幅值附近。通過調控預應變可調控棋盤褶皺的靜態(tài)幅值,隨著預應變的增加,靜態(tài)幅值遞增。