邱明劼,周垂紅,汪圣利

(1.南京電子技術(shù)研究所,南京 210039;2.中國(guó)電子科學(xué)研究院,北京 100041)

0 引 言

傳統(tǒng)炮位偵校雷達(dá)的作戰(zhàn)對(duì)象以迫擊炮、榴彈炮等無動(dòng)力炮彈為主,此類目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡符合拋物線彈道規(guī)律,發(fā)射點(diǎn)較好預(yù)測(cè)。但隨著作戰(zhàn)縱深的日益增加,中近程戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈逐步成為炮位偵校雷達(dá)的新型作戰(zhàn)對(duì)象。

與無動(dòng)力的炮彈不同,彈道導(dǎo)彈的飛行過程可分為主動(dòng)段和被動(dòng)段兩個(gè)部分[1]。由于彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段和被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)存在較大差異,為了實(shí)現(xiàn)對(duì)發(fā)射點(diǎn)的精確估計(jì),炮位偵校雷達(dá)需針對(duì)主動(dòng)段軌跡而非被動(dòng)段軌跡進(jìn)行建?；驍M合,從而外推得到發(fā)射點(diǎn)位置。然而,由于導(dǎo)彈在主動(dòng)段的受力情況十分復(fù)雜,對(duì)于非合作目標(biāo),在無先驗(yàn)信息情況下難以準(zhǔn)確推斷導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)模型,僅能根據(jù)理論方法構(gòu)建近似模型[2-3]。目前對(duì)主動(dòng)段彈道近似建模的方法可以分為兩類:一是利用主動(dòng)段彈道輪廓先驗(yàn)知識(shí)進(jìn)行建模[4]。該類方法通常需要預(yù)先積累大量先驗(yàn)數(shù)據(jù),難度大且通常只能對(duì)已知型號(hào)導(dǎo)彈起到較好效果,對(duì)未知型號(hào)的估計(jì)效果差。二是利用通用數(shù)學(xué)模型對(duì)主動(dòng)段彈道進(jìn)行擬合[5-7]。由于該類方法不需要積累先驗(yàn)知識(shí),具有可行性強(qiáng)、適用性廣的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn),因而是目前研究的主要方向。

現(xiàn)有的傳統(tǒng)彈道外推算法大多使用各種濾波(如粒子濾波)或平滑算法(如最小二乘)處理雷達(dá)測(cè)量的位置和速度數(shù)據(jù)后,直接代入質(zhì)點(diǎn)彈道方程計(jì)算,但在長(zhǎng)距離情況下外推誤差較大,難以適應(yīng)彈道導(dǎo)彈的遠(yuǎn)距離外推需求[8]。文獻(xiàn)[9]和[10]分別采用了簡(jiǎn)單線性模型和重力轉(zhuǎn)彎模型進(jìn)行彈道擬合,但均無法準(zhǔn)確反映主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)特性,導(dǎo)致估計(jì)精度大幅下降。文獻(xiàn)[11]提出了基于時(shí)間逆轉(zhuǎn)的反向卡爾曼濾波方法,對(duì)于傳統(tǒng)炮彈發(fā)射點(diǎn)估計(jì)效果較好,但仍無法適應(yīng)彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)特征。

本文提取彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段在垂向和射向兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)特征,將發(fā)射點(diǎn)零時(shí)刻估計(jì)作為發(fā)射點(diǎn)估計(jì)的中間過程,提出了一種基于雙層擬合的發(fā)射點(diǎn)估計(jì)方法。該方法首先利用發(fā)射時(shí)間和導(dǎo)彈垂直位移之間的關(guān)系,利用三次多項(xiàng)式迭代估計(jì)導(dǎo)彈發(fā)射零時(shí),然后利用時(shí)間與射向之間的物理關(guān)系,估計(jì)出導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)位置。本文所提方法估計(jì)參數(shù)數(shù)量少,計(jì)算簡(jiǎn)單,定位誤差較傳統(tǒng)方法降低了50%以上,具有重要軍事應(yīng)用價(jià)值。

1 彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡仿真

通過正向設(shè)計(jì),精確仿真彈道導(dǎo)彈軌跡是進(jìn)行彈道運(yùn)動(dòng)軌跡研究和發(fā)射點(diǎn)估計(jì)的重要前提。表1給出了彈道導(dǎo)彈的飛行階段及其受力情況,以此為理論基礎(chǔ)進(jìn)行軌跡仿真[12]。

表1 彈道模型的分段及其受力情況

假設(shè)彈道導(dǎo)彈關(guān)機(jī)點(diǎn)以后僅受到重力的作用,導(dǎo)彈目標(biāo)的位置為p=[px,py,pz]T,速度為v=[vx,vy,vz]T,則依據(jù)圓球體地球模型建立的彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡可以表示為

(1)

式中:aT為推進(jìn)力產(chǎn)生的加速度;aD為空氣阻力產(chǎn)生的加速度;aG為地心引力產(chǎn)生的加速度;aC為科氏力和離心力產(chǎn)生的加速度。aT,aD,aG,aC構(gòu)成了彈道目標(biāo)的加速度[13]。

(2)

(3)

設(shè)ρ(h)是空氣密度函數(shù),ρ0=1.22 kg/m3,k=0.141 41×10-3m-1,h(t)為t時(shí)刻目標(biāo)海拔高度,v(t)為t時(shí)刻目標(biāo)速度,uv是單位向量,m(t)為t時(shí)刻目標(biāo)質(zhì)量,cD(v)是阻力系數(shù),S是目標(biāo)體與其速度方向的截面積,則空氣阻力加速度可近似表示為

(4)

ρ(h(t))=ρ0e-kh(t)

(5)

(6)

設(shè)ω=[0,0,ω]′是地球自轉(zhuǎn)角速度矢量,則科氏力和離心力產(chǎn)生的加速度為

(7)

綜上所述,根據(jù)式(1)～(7),可得到彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型為

(2ωvy+ω2px)

(-2ωvx+ω2py)

(8)

在被動(dòng)段沒有了推力,運(yùn)動(dòng)模型變?yōu)?/p>

(2ωvy+ω2px)

(-2ωvx+ω2py)

(9)

根據(jù)式(8)和式(9)即可通過正向設(shè)計(jì)的方式構(gòu)建出彈道導(dǎo)彈的仿真運(yùn)動(dòng)軌跡,用于對(duì)本文所提方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

2 主動(dòng)段雙層擬合方法

圖1為主動(dòng)段雙層擬合方法的流程圖,主要包括擬合坐標(biāo)系建立、發(fā)射零時(shí)刻估計(jì)、主動(dòng)段水平位移擬合和發(fā)射點(diǎn)估計(jì)及誤差計(jì)算4個(gè)步驟。

圖1 主動(dòng)段雙層擬合方法流程

2.1 擬合坐標(biāo)系建立

彈道曲線是在發(fā)射坐標(biāo)系O′X′Y′Z′下進(jìn)行描述的,但由于雷達(dá)無法提前知悉非合作目標(biāo)的發(fā)射點(diǎn)位置,僅能通過探測(cè)數(shù)據(jù)擬合發(fā)射坐標(biāo)系,從而在這個(gè)坐標(biāo)系下進(jìn)行發(fā)射點(diǎn)估計(jì)。在本文中將雷達(dá)依據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)建立的坐標(biāo)系稱為擬合坐標(biāo)系。

擬合坐標(biāo)系是以雷達(dá)觀測(cè)到的第一個(gè)導(dǎo)彈位置點(diǎn)在水平面上的投影作為原點(diǎn)O,以雷達(dá)觀測(cè)到的主動(dòng)段數(shù)據(jù)在水平面上的投影的最小二乘擬合結(jié)果作為X軸,垂直于水平面豎直向上為Y軸,如圖2中虛線坐標(biāo)系OXYZ所示。

圖2 擬合坐標(biāo)系OXYZ、發(fā)射坐標(biāo)系OX′Y′Z′和臨時(shí)坐標(biāo)系OtXtYtZt示意圖

為了建立擬合坐標(biāo)系,需要首先依據(jù)雷達(dá)的部署位置,首先建立臨時(shí)坐標(biāo)系OtXtYtZt,然后再通過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的方法,將其旋轉(zhuǎn)至擬合坐標(biāo)系下。

下面具體闡述擬合坐標(biāo)系建立的過程:

1) 以雷達(dá)觀測(cè)到的第一個(gè)彈道導(dǎo)彈軌跡點(diǎn)在地面上的投影為臨時(shí)坐標(biāo)系原點(diǎn)Ot,其與雷達(dá)位置之間的連線為臨時(shí)坐標(biāo)系Xt軸,垂直地面向上為臨時(shí)坐標(biāo)系Yt軸,并根據(jù)右手法則確定臨時(shí)坐標(biāo)系Zt軸,則觀測(cè)到的臨時(shí)坐標(biāo)系下的軌跡點(diǎn)集合為Pt={[0,0,zt0]T,[xt1,yt1,zt1]T,[xt2,yt2,zt2]T…}。

2)對(duì)軌跡點(diǎn)集合Pt在XtOtYt平面上的投影進(jìn)行一階函數(shù)最小二乘擬合,求得各軌跡點(diǎn)Yt軸坐標(biāo)關(guān)于Xt軸坐標(biāo)的關(guān)系,即ytn=f(xtn)=axtn+b,其中a和b是最小二乘擬合得到的擬合參數(shù)。

3)根據(jù)求得的參數(shù)a,得到臨時(shí)坐標(biāo)系OtXtYtZt與擬合坐標(biāo)系OXYZ之間的角度偏差φ=arctana,然后使用旋轉(zhuǎn)矩陣將軌跡點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,即

(10)

得到在擬合坐標(biāo)系下的軌跡點(diǎn)集合P={[x0,y0,z0]T,[x1,y1,z1]T,[x2,y2,z2]T…}。

通過上述步驟,即可將坐標(biāo)由雷達(dá)初始探測(cè)得到的臨時(shí)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換至擬合坐標(biāo)系中。在后續(xù)的兩次三階多項(xiàng)式擬合過程中,均認(rèn)為彈道僅在擬合坐標(biāo)系的XOY平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),在可以將導(dǎo)彈在三維空間中的位移情況簡(jiǎn)化為在彈道平面內(nèi)的二維運(yùn)動(dòng),簡(jiǎn)化彈道估計(jì)的同時(shí)完成了位移分量的分解,得到在X方向的水平位移和Y方向的垂直位移兩個(gè)分量。

但從圖2中可以看到,擬合坐標(biāo)系Y軸與導(dǎo)彈發(fā)射坐標(biāo)系的Y′軸方向相同,但X軸和Z軸均與實(shí)際發(fā)射坐標(biāo)系的X′軸和Z′軸存在一個(gè)角度偏差θ,這是由于實(shí)際彈道主動(dòng)段在Z'方向的運(yùn)動(dòng)以及雷達(dá)的觀測(cè)誤差影響所導(dǎo)致。在仿真條件下,可以通過對(duì)無誤差的仿真彈道在X′O′Z′平面投影的坐標(biāo)進(jìn)行一次多項(xiàng)式擬合,從而與擬合坐標(biāo)系下的軌跡點(diǎn)集合擬合結(jié)果進(jìn)行比較,根據(jù)兩者擬合后一次函數(shù)的斜率求得角度偏差θ。但在實(shí)際作戰(zhàn)條件下,將無法獲取這個(gè)角度,這將使得沿著擬合坐標(biāo)系X軸進(jìn)行外推的方向與實(shí)際彈道運(yùn)動(dòng)方向之間存在偏差,而這正是發(fā)射點(diǎn)估計(jì)的誤差來源之一。

2.2 發(fā)射零時(shí)刻估計(jì)

在2.1節(jié)建立的擬合坐標(biāo)系中,當(dāng)忽略彈道軌跡在Z軸方向上的運(yùn)動(dòng)時(shí),可認(rèn)為zTn≡0(n=1,2,3…),則導(dǎo)彈絕對(duì)發(fā)射時(shí)刻TS的彈道點(diǎn)坐標(biāo)可表示為(xTS,yTS,zTS)=(xTS,0,0),Ti時(shí)刻的彈道點(diǎn)坐標(biāo)為(xTi,yTi,0)。通過彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型仿真結(jié)果和大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可以看出,導(dǎo)彈主動(dòng)段在垂直方向的位移量yTi和水平方向的位移量xTi-xTS均為隨相對(duì)發(fā)射時(shí)間ti=Ti-TS(i=1,2,3…)單調(diào)增長(zhǎng)的平滑曲線。

盡管TS和xTi-xTS均為未知量,但絕對(duì)發(fā)射時(shí)間Ti和在Y軸方向上的位移量yTi均直接已知,因此可以假設(shè)TS=0 s,則ti=Ti,通過三階函數(shù)最小二乘擬合的方法,擬合出時(shí)間ti與yti的函數(shù)關(guān)系yti=g(ti)?？紤]到發(fā)射的導(dǎo)彈在相對(duì)發(fā)射時(shí)間0 s以前,其高度方向位移應(yīng)始終等于0,而在相對(duì)發(fā)射時(shí)間0 s之后,高度方向位移應(yīng)當(dāng)始終大于0,因此在進(jìn)行函數(shù)擬合時(shí),基于上述事實(shí)對(duì)擬合過程進(jìn)行約束:當(dāng)ti≤0時(shí),主動(dòng)段Y方向位移均等于0;當(dāng)ti>0時(shí),主動(dòng)段Y方向位移均大于等于0,即

(11)

從而使得擬合得到的三次函數(shù)曲線系數(shù)快速收斂,且不會(huì)因?yàn)檫^擬合導(dǎo)致外推趨勢(shì)發(fā)散。

根據(jù)上述兩個(gè)事實(shí)可知,當(dāng)擬合出的三次函數(shù)曲線最靠近初始觀測(cè)值的零點(diǎn)坐標(biāo)越接近于0時(shí),即t0越接近于0 s,所擬合出的函數(shù)應(yīng)當(dāng)越符合事實(shí)情況。因此,在擬合出時(shí)間-垂向位移函數(shù)曲線后,首先使用梯度下降法求出離第一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)最近的擬合曲線零點(diǎn)坐標(biāo)(tz,0),然后將發(fā)射零時(shí)刻加上tz與優(yōu)化速率η乘積代表的時(shí)間修正量Δt,對(duì)TS進(jìn)行修正。該過程也可等效為將所有觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)間Ti減去由tz與優(yōu)化速率η乘積代表的時(shí)間修正量Δt,對(duì)Ti進(jìn)行修正。

(12)

之后重復(fù)利用新的相對(duì)時(shí)間ti與位移yti進(jìn)行擬合、求零點(diǎn)、修正,使得逐次求得的三次函數(shù)零點(diǎn)tz逐步與0 s接近。當(dāng)擬合曲線零點(diǎn)坐標(biāo)tz小于所設(shè)定的閾值ttreshold,即可認(rèn)為在滿足上述約束條件下,時(shí)間-垂向位移擬合曲線與真實(shí)彈道在Y方向的曲線吻合,從而確定了每個(gè)軌跡點(diǎn)的相對(duì)時(shí)刻ti。

發(fā)射零時(shí)刻估計(jì)的具體過程如下:

1) 假定TS=0,利用每個(gè)軌跡點(diǎn)的絕對(duì)時(shí)刻Ti和高度方向位移yti進(jìn)行三次函數(shù)的最小二乘擬合,得到擬合函數(shù)

2) 使用梯度下降法,從第一個(gè)觀測(cè)到的軌跡點(diǎn)開始,求出離其最近的擬合曲線零點(diǎn)坐標(biāo)(tz,0)。

3)若|tz|≤ttreshold,即認(rèn)為此時(shí)的TS已經(jīng)足夠接近真實(shí)時(shí)間,擬合得到的曲線與實(shí)際情況吻合,得到擬合結(jié)果g(ti);|tz|>ttreshold,則使用優(yōu)化速率η乘以tz得到時(shí)間修正量Δt。

4) 將TS加上時(shí)間修正量Δt,重新求得每個(gè)軌跡點(diǎn)的相對(duì)時(shí)間ti=Ti-TS。

5)重復(fù)步驟1)～3),直至得到擬合結(jié)果g(ti)。

2.3 主動(dòng)段水平位移擬合

在擬合坐標(biāo)系中,發(fā)射點(diǎn)位置估計(jì)實(shí)際上已經(jīng)被轉(zhuǎn)化為求取相對(duì)時(shí)間t0時(shí)刻水平X方向位移量的問題。在2.2節(jié)中已經(jīng)將TS收斂至真實(shí)絕對(duì)發(fā)射時(shí)間,從而使得發(fā)射點(diǎn)的相對(duì)發(fā)射時(shí)間t0≈0 s,進(jìn)而進(jìn)行第二次三次函數(shù)的最小二乘擬合。此時(shí)將各軌跡點(diǎn)的相對(duì)發(fā)射時(shí)間ti作為自變量,以軌跡點(diǎn)的X方向位移作為應(yīng)變量進(jìn)行最小二乘擬合,即可得到導(dǎo)彈在水平面投影上的時(shí)間-水平位移擬合結(jié)果xTi=h(ti)。

在進(jìn)行三次函數(shù)擬合之前,同樣需要考慮如下的約束條件。由于是采用三次多項(xiàng)式對(duì)X方向的位移進(jìn)行擬合,而對(duì)位移求導(dǎo)即可得到對(duì)應(yīng)方向上的運(yùn)動(dòng)速度,因此在X方向上的速度應(yīng)為二次多項(xiàng)式形式?？紤]彈道導(dǎo)彈通常采用垂直發(fā)射,在X方向上初始速度為0,因此首先對(duì)時(shí)間-速度曲線構(gòu)建無常數(shù)項(xiàng)的二次多項(xiàng)式擬合模型:

vti=k(ti)=avti2+bvti

(13)

接著再對(duì)上式進(jìn)行積分即可得到X方向位移關(guān)于時(shí)間Ti的三次多項(xiàng)式模型:

xti=p(ti)=axti3+bxti2+cx

(14)

利用該三次多項(xiàng)式模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合,即可得到主動(dòng)段水平位移關(guān)于發(fā)射相對(duì)時(shí)間的具體表達(dá)式。由于這次擬合沒有相關(guān)的事實(shí)約束條件,因此其擬合精度與t0≈0 s的準(zhǔn)確性密切相關(guān)。

2.4 發(fā)射點(diǎn)估計(jì)及誤差計(jì)算

由于擬合坐標(biāo)系中的XOY平面是對(duì)三維發(fā)射坐標(biāo)系中X′O′Y′平面的近似估計(jì),兩者之間存在角度偏差θ,為了計(jì)算發(fā)射點(diǎn)估計(jì)結(jié)果的誤差,需要將在發(fā)射坐標(biāo)系中的真實(shí)發(fā)射點(diǎn)位置坐標(biāo)根據(jù)角度θ變換至擬合坐標(biāo)系下。

根據(jù)2.1節(jié)所述,利用一次多項(xiàng)式擬合求得擬合坐標(biāo)系和真實(shí)發(fā)射坐標(biāo)系之間的夾角θ后,設(shè)發(fā)射點(diǎn)真實(shí)位置在發(fā)射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xT′,yT′,zT′),雷達(dá)觀測(cè)首點(diǎn)在發(fā)射坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xF′,yF′,zF′),則發(fā)射點(diǎn)真實(shí)位置在擬合坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(xS,yS,zS)可表示為

(15)

從而得到最終的發(fā)射點(diǎn)定位誤差ε為

(16)

當(dāng)雷達(dá)與導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)之間距離為R時(shí),定位精度P定義為定位誤差除以偵察距離:

(17)

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 仿真條件

仿真過程采用搭載主頻為3.00 GHz的i5處理器的計(jì)算機(jī)進(jìn)行,仿真語(yǔ)言為Matlab語(yǔ)言。

仿真時(shí),首先根據(jù)式(8)和式(9)表示的彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段和被動(dòng)段運(yùn)動(dòng)模型,調(diào)整參數(shù)生成射程200～1 000 km的近程戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈軌跡,然后設(shè)置雷達(dá)位置并生成雷達(dá)觀測(cè)數(shù)據(jù)。結(jié)合實(shí)際作戰(zhàn)場(chǎng)景情況,假設(shè)炮位偵察雷達(dá)部署于導(dǎo)彈射向方向,且距離發(fā)射點(diǎn)位置300 km,雷達(dá)探測(cè)角度精度0.1°、距離精度100 m,探測(cè)仰角范圍為2°～25°,仿真場(chǎng)景如圖3所示。

圖3 仿真實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景設(shè)置圖

考慮地球曲率影響和雷達(dá)仰角探測(cè)范圍,從仿真生成的彈道中選擇出可被雷達(dá)觀測(cè)的彈道弧段,并添加雷達(dá)測(cè)量誤差。接著分別使用常規(guī)彈道外推的定軌方法[15],和本文提出的主動(dòng)段雙層擬合方法進(jìn)行發(fā)射點(diǎn)位置估計(jì),并多次添加雷達(dá)誤差進(jìn)行蒙特卡羅仿真,統(tǒng)計(jì)發(fā)射點(diǎn)精度結(jié)果。單次仿真流程如圖4所示。

圖4 單次仿真實(shí)驗(yàn)流程

本文所提方法中提到的時(shí)間修正量閾值參數(shù)Ttreshold和優(yōu)化速率參數(shù)η,在所有的仿真過程中均取2和0.5,發(fā)射時(shí)間TS初始值設(shè)置為-100 s,則相對(duì)時(shí)間t0=100 s。

3.2 仿真分析

根據(jù)彈道導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)模型生成的某條彈道軌跡如圖5所示,并以此彈道軌跡為例進(jìn)行精度分析。該彈道在發(fā)射坐標(biāo)系下各方向的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖6所示,其中紅色曲線部分即為彈道導(dǎo)彈主動(dòng)段軌跡,黑色曲線部分為被動(dòng)段軌跡。

圖5 某條仿真彈道軌跡

圖6 某條仿真彈道時(shí)間-位移分量曲線

選取添加測(cè)量誤差后的主動(dòng)段數(shù)據(jù),利用主動(dòng)段雙層擬合方法則雷達(dá)可觀測(cè)到的彈道軌跡如圖7所示。

圖7 雷達(dá)可觀測(cè)彈道軌跡

(a)時(shí)間-位移擬合第1次迭代結(jié)果

將第一層三階擬合后得到的Ti用于和擬合坐標(biāo)系中的X方向水平位移進(jìn)行第二層三階擬合,得到擬合結(jié)果如圖9中綠色曲線所示。

圖9 主動(dòng)段時(shí)間-水平位移三階函數(shù)擬合結(jié)果

從圖9中可以看出,在構(gòu)建的擬合坐標(biāo)系下,發(fā)射點(diǎn)位置估計(jì)結(jié)果為(-345.13,0,0)m。通過坐標(biāo)變換,真實(shí)發(fā)射點(diǎn)位置轉(zhuǎn)換至擬合坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值為(-70.13,0,-40.51)m,根據(jù)式(15)可得定位誤差為277.97 m,并根據(jù)式(16)計(jì)算得到本次仿真定位精度為277.97/300000=0.09%。

按照上述實(shí)驗(yàn)方法,共仿真生成10條彈道,其中前7條彈道為單級(jí)助推導(dǎo)彈彈道,后3條為二級(jí)助推導(dǎo)彈彈道。每條彈道采用傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈定軌方法和本文方法分別進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),并使用2.4節(jié)所提的精度計(jì)算方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到發(fā)射點(diǎn)定位誤差和精度情況如表2所示。從表2的結(jié)果可以看出,在仿真條件下,傳統(tǒng)利用定軌方法對(duì)具有一級(jí)和二級(jí)助推的仿真彈道發(fā)射點(diǎn)定位精度在0.7%～1.4%之間,而本文所提方法對(duì)發(fā)射點(diǎn)的估計(jì)精度可達(dá)到0.6%以內(nèi),定位誤差相比優(yōu)于傳統(tǒng)方法降低50%以上。

表2 傳統(tǒng)彈道外推方法與本文方法定位誤差對(duì)比

接著進(jìn)一步考慮不同雷達(dá)探測(cè)精度對(duì)本文算法的影響。對(duì)于現(xiàn)有雷達(dá),角度精度通常在0.5°以內(nèi),且對(duì)于遠(yuǎn)距離探測(cè)時(shí)角度精度帶來的測(cè)量誤差遠(yuǎn)大于距離精度影響,因此僅分析雷達(dá)角度精度對(duì)定位精度的影響。

分別選取具有一級(jí)助推和二級(jí)助推的彈道1和彈道8作為雷達(dá)測(cè)量精度對(duì)定位精度影響分析的實(shí)驗(yàn)彈道。假設(shè)雷達(dá)測(cè)角精度不超過0.5°,每0.01°設(shè)置一個(gè)精度采樣間隔,生成雷達(dá)測(cè)量誤差與理論彈道軌跡疊加,并使用本文方法在每個(gè)測(cè)角精度條件下進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),統(tǒng)計(jì)對(duì)兩條彈道的發(fā)射點(diǎn)定位精度,結(jié)果如圖10所示。

從圖10可以看出,對(duì)于具有一級(jí)助推和二級(jí)助推的彈道導(dǎo)彈軌跡,其發(fā)射點(diǎn)定位精度隨著雷達(dá)精度變差而逐步變差,但即使在雷達(dá)測(cè)角精度達(dá)到0.5°的情況下,使用本文算法得到的定位誤差也僅與測(cè)角精度0.1°情況下使用傳統(tǒng)方法得到的定位精度相近,從而充分說明本文所提方法可有效指導(dǎo)我方部隊(duì)遂行精確對(duì)地打擊任務(wù),具有明顯先進(jìn)性。同時(shí),本文算法在3.1節(jié)所述的仿真條件下,單次仿真運(yùn)行時(shí)間約為0.03 s,滿足發(fā)射點(diǎn)解算的實(shí)時(shí)性要求,具備良好的工程可實(shí)現(xiàn)性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于主動(dòng)段雙層擬合的彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)估計(jì)方法,利用三階函數(shù)擬合彈道導(dǎo)彈軌跡的時(shí)間-高度曲線,較準(zhǔn)確地估計(jì)出相對(duì)發(fā)射時(shí)刻后,再利用相對(duì)發(fā)射時(shí)間與水平距離位移進(jìn)行第二次三階函數(shù)擬合,進(jìn)而得到發(fā)射點(diǎn)的位置估計(jì)結(jié)果。在仿真實(shí)驗(yàn)條件下,將本文方法與傳統(tǒng)彈道外推方法進(jìn)行了對(duì)比,充分驗(yàn)證了方法的有效性。

本文所提方法能夠良好處理具有一級(jí)和二級(jí)助推的彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)估計(jì)任務(wù),但當(dāng)主動(dòng)段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)更加復(fù)雜時(shí),其軌跡將難以使用簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行擬合逼近,從而導(dǎo)致較大預(yù)測(cè)誤差。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用,其在軌跡預(yù)測(cè)方面已有許多學(xué)者開展研究。由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有對(duì)復(fù)雜非線性系統(tǒng)的良好逼近能力,將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法引入到彈道導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)估計(jì)中提升定位精度可作為后續(xù)進(jìn)一步研究的方向。