胡東明

(湖北省武漢市新洲區(qū)第一中學(xué))

推論1由,得質(zhì)量,根據(jù)質(zhì)量守恒定律,一定質(zhì)量的理想氣體(狀態(tài)為p1、V1、T1)分離為兩部分氣體(狀態(tài)分別為p2、V2、T2和p3、V3、T3),有,反之亦然.這就是理想氣體分態(tài)方程.

推論2根據(jù)推論1,質(zhì)量,即對同種理想氣體(摩爾質(zhì)量M相同),質(zhì)量m與成正比.

推論3由,得密度,即對同種理想氣體,密度ρ與壓強p成正比,與熱力溫度T成反比.

下面舉例說明如何應(yīng)用這三個推論解決理想氣體狀態(tài)轉(zhuǎn)換和變質(zhì)量問題.

1 氣體狀態(tài)的轉(zhuǎn)換問題

例1一熱氣球(連同吊籃)充氣前的總質(zhì)量m＝180kg,充氣后球內(nèi)空氣的體積為V＝600m3.熱氣球外冷空氣的溫度為T0＝280K,密度為ρ0＝1.2kg·m－3.已知該氣球內(nèi)、外的氣壓始終都為p0＝1.0×105Pa,重力加速度大小g取10m·s－2.

(1)熱氣球剛開始緩慢升空時,氣球內(nèi)熱空氣的質(zhì)量;

(2)熱氣球剛開始緩慢升空時,氣球內(nèi)熱空氣的溫度.

(1)設(shè)剛開始升空時,氣球內(nèi)空氣的質(zhì)量為m1,由受力平衡得m1g＋mg＝ρ0gV,解得m1＝540kg.

(2)解法1剛開始升空時,氣球內(nèi)空氣的體積為V,設(shè)溫度為T1,等壓轉(zhuǎn)換到溫度為T0時空氣體積為V2,由蓋—呂薩克定律得.轉(zhuǎn)換后的空氣與氣球外冷空氣的壓強和溫度都相同,則密度相同,空氣質(zhì)量m1＝ρ0V2,解得T1＝373.3K.

解法2由于氣球內(nèi)、外的氣壓始終都為p0,設(shè)開始升空時氣球內(nèi)空氣溫度為T1,密度為由,得.取熱氣球外質(zhì)量為m0的冷空氣,設(shè)體積為V0,同樣密度為,由,得,有ρ0T0＝ρ1T1,解得T1＝373.3K.

解法1采用氣體狀態(tài)轉(zhuǎn)換法,將升空時空氣的溫度和壓強轉(zhuǎn)換到與已知密度的空氣的溫度和壓強相同的狀態(tài),根據(jù)推論3,空氣的密度就相同;解法2直接運用推論3,即“同種理想氣體在壓強相同的情況下,密度ρ與溫度T成反比”.

例2(2023年全國甲卷)一高壓艙內(nèi)氣體的壓強為1.2個大氣壓,溫度為17℃,密度為1.46kg·m－3.

(1)升高氣體溫度并釋放出艙內(nèi)部分氣體以保持壓強不變,求氣體溫度升至27 ℃時艙內(nèi)氣體的密度;

(2)保持溫度27 ℃不變,再釋放出艙內(nèi)部分氣體使艙內(nèi)壓強降至1.0個大氣壓,求艙內(nèi)氣體的密度.

(1)以升高溫度后艙內(nèi)剩余氣體為研究對象,設(shè)氣體質(zhì)量為m,體積為V1,溫度為T1＝(273＋27)K＝300K,密度為,等壓轉(zhuǎn)換到原溫度為T2＝(273＋17)K＝290K,體積為V2,由蓋—呂薩克定律有,得,又因為轉(zhuǎn)換后氣體的密度為,解得ρ1＝1.41kg·m－3.

(2)以降壓后艙內(nèi)氣體為研究對象,設(shè)氣體質(zhì)量為m0,壓強為p0,體積為V1,密度為.等溫轉(zhuǎn)換到原壓強1.2p0,體積為V3,由玻意耳定律有p0V1＝1.2p0V3,得V1＝1.2V3,又因為轉(zhuǎn)換后氣體的密度為,解得ρ0＝1.18kg·m－3.

第(1)問氣體壓強不變,也可以根據(jù)推論3,氣體密度與溫度成反比,有ρ1T1＝ρ2T2,得;同樣的,第(2)問氣體溫度不變,氣體密度與壓強成正比,有,得

例3一熱氣球體積為V,內(nèi)部充有溫度為Ta的熱空氣,氣球外冷空氣的溫度為Tb.已知空氣在1個大氣壓、溫度為T0時的密度為ρ0,該氣球內(nèi)、外的氣壓始終都為1個大氣壓,重力加速度大小為g.

(1)求該熱氣球所受浮力的大小;

(2)求該熱氣球內(nèi)空氣所受的重力;

(3)設(shè)充氣前熱氣球的質(zhì)量為m0,求充氣后它還能托起的最大質(zhì)量.

方法1氣體狀態(tài)轉(zhuǎn)換法

(1)設(shè)1 個大氣壓下、溫度為Tb、體積為V的空氣質(zhì)量為m.將這些氣體轉(zhuǎn)換為1個大氣壓、溫度為T0的空氣,設(shè)其體積為V0.

(2)設(shè)熱氣球內(nèi)的空氣質(zhì)量為m1,將氣球內(nèi)熱空氣轉(zhuǎn)換為1個大氣壓、溫度為T0的空氣,轉(zhuǎn)換后的空氣體積為V2.

(3)設(shè)該氣球還能托起的最大質(zhì)量為m2,由力的平衡條件得F＝G＋m0g＋m2g,解得

方法2探尋氣體密度法

(1)設(shè)1個大氣壓下質(zhì)量為m的空氣在溫度T0時的體積為V0,密度為

溫度為Tb時的體積為Vb,密度為

由蓋—呂薩克定律可得

聯(lián)立式①②③解得

氣球所受的浮力為

聯(lián)立式④⑤解得

(2)氣球內(nèi)熱空氣所受的重力

由式④知

聯(lián)立式⑦⑧解得

(3)設(shè)該氣球還能托起的最大質(zhì)量為m2,由力的平衡條件可知

聯(lián)立式⑥⑨○10可得

方法1第(1)問將排開氣體的壓強和溫度轉(zhuǎn)換到與已知氣體的壓強和溫度相同,根據(jù)推論3,其密度就相同.同樣的,第(2)問熱氣球內(nèi)氣體的壓強和溫度轉(zhuǎn)換到與已知氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解.方法2是直接探尋氣體密度,是高考答案給出的解法,式②是一種函數(shù)式的寫法,認為氣體在壓強不變的情況下,密度是溫度的函數(shù),即,這就是推論3的思想,式④表明一定質(zhì)量的理想氣體在壓強相同情況下,密度與溫度成反比,這就是推論3.

2 變質(zhì)量問題

類型1 充氣問題

例4如圖1所示為噴灑農(nóng)藥用的某種噴霧器.其藥液桶的總?cè)莘e為15L,裝入藥液后,封閉在藥液上方有1atm、2L的空氣,忽略打氣和噴藥過程氣體溫度的變化.

圖1

(1)若要使氣體壓強增大到2.5atm,噴霧器內(nèi)充氣后空氣的質(zhì)量與充氣前空氣質(zhì)量之比是多少?

(2)如果壓強達到2.5atm 時停止打氣,并開始向外噴藥,那么當(dāng)噴霧器不能再向外噴藥時,桶內(nèi)剩下的藥液還有多少升? 噴藥后噴霧器內(nèi)剩余空氣的質(zhì)量與充氣前空氣質(zhì)量之比是多少?

(1)將2.5atm、2L 空氣等溫轉(zhuǎn)換到1atm下,由玻意耳定律有p1V1＝p0V2,解得V2＝5L.噴霧器內(nèi)充氣后空氣的質(zhì)量與充氣前空氣質(zhì)量之比為.

由于向外噴藥過程中,噴霧器內(nèi)空氣的質(zhì)量沒有變化,所以噴藥后噴霧器內(nèi)剩余空氣的質(zhì)量與充氣前空氣質(zhì)量之比仍然為.

本題第(1)問將噴霧器內(nèi)充氣后空氣的壓強和溫度轉(zhuǎn)換到與充氣前空氣的壓強和溫度相同,其密度就相同,運用推論3求解質(zhì)量之比;也可以根據(jù)打氣前后藥液上方的氣體溫度和體積都相同,運用推論2,有.同樣的,第(2)問也可以直接運用推論3,得.

類型2 抽氣問題

例5(2020年山東卷)中醫(yī)拔罐的物理原理是利用玻璃罐內(nèi)外的氣壓差使罐吸附在人體穴位上,進而治療某些疾病.常見拔罐有兩種,如圖2所示,左側(cè)為火罐,下端開口;右側(cè)為抽氣拔罐,下端開口,上端留有抽氣閥門.使用火罐時,先加熱罐中氣體,然后迅速按到皮膚上,自然降溫后火罐內(nèi)部氣壓低于外部大氣壓,使火罐緊緊吸附在皮膚上.抽氣拔罐是先把罐體按在皮膚上,再通過抽氣降低罐內(nèi)氣體壓強.

圖2

某次使用火罐時,罐內(nèi)氣體初始壓強與外部大氣壓相同,溫度為450K,最終降到300K,因皮膚凸起,內(nèi)部氣體體積變?yōu)楣奕莘e的.若換用抽氣拔罐,抽氣后罐內(nèi)剩余氣體體積變?yōu)槌闅獍喂奕莘e的,罐內(nèi)氣壓與火罐降溫后的內(nèi)部氣壓相同.罐內(nèi)氣體均可視為理想氣體,忽略抽氣過程中氣體溫度的變化.求應(yīng)抽出氣體的質(zhì)量與抽氣前罐內(nèi)氣體質(zhì)量的比值.

設(shè)外界大氣壓為p0,火罐的容積為V0,則火罐內(nèi)氣體初始狀態(tài)的壓強為p0,溫度為T1＝450K,體積為V0;溫度降低后氣體的壓強為p2,溫度為T2＝300K,體積為.由理想氣體狀態(tài)方程得,代入數(shù)據(jù)得p2＝0.7p0.

本題首先運用推論1 的理想氣體分態(tài)方程求解抽出氣體的體積ΔV,然后根據(jù)抽氣拔罐中抽出氣體的壓強和溫度與抽氣前氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解質(zhì)量之比.也可以根據(jù)抽氣前后罐內(nèi)氣體的溫度相同,運用推論2,求得剩余氣體的質(zhì)量與抽氣前罐內(nèi)氣體質(zhì)量之比,即.

類型3 灌氣(氣體分裝)問題

例6甲、乙兩個儲氣鋼瓶儲存有同種氣體(可視為理想氣體).甲瓶的容積V1＝8L,瓶中氣體的壓強為7p0;乙瓶的容積V2＝4L,瓶中氣體的壓強為p0.現(xiàn)通過細管將兩瓶連通,甲給乙充氣,直到兩鋼瓶中氣體壓強相等,充氣過程中兩瓶中氣體溫度相等且保持不變,細管中氣體體積忽略不計.求穩(wěn)定后:

(1)乙儲氣鋼瓶中氣體的壓強p;

(2)甲瓶中氣體的質(zhì)量與甲瓶中原有氣體的質(zhì)量之比.

(1)由玻意耳定律有7p0V1＋p0V2＝p(V1＋V2),解得p＝5p0.

(2)若穩(wěn)定后甲瓶中氣體再被壓縮到原來的壓強7p0時,體積為V3,由玻意耳定律pV1＝7p0V3,設(shè)穩(wěn)定后甲瓶中氣體的質(zhì)量與甲瓶中原有氣體的質(zhì)量之比為k,由密度的定義有,聯(lián)立解得

本題第(1)問直接運用推論1的理想氣體分態(tài)方程;第(2)問將甲瓶中穩(wěn)定后的氣體的壓強和溫度轉(zhuǎn)換到與穩(wěn)定前氣體的壓強和溫度相同,運用推論3求解質(zhì)量之比.也可以直接根據(jù)穩(wěn)定前后甲瓶中氣體的溫度與體積相同,運用推論2,得k＝.

類型4 漏氣問題

例7一位消防員在火災(zāi)現(xiàn)場發(fā)現(xiàn)一個容積為V0的廢棄的氧氣罐,經(jīng)檢測,內(nèi)部封閉氣體壓強為1.2p0.為了消除安全隱患,消防員擬用下面兩種處理方案:

(1)冷卻法:經(jīng)過合理冷卻,使罐內(nèi)氣體溫度降為27 ℃,此時氣體壓強降為p0,求氧氣罐內(nèi)氣體原來的溫度;

(2)放氣法:保持罐內(nèi)氣體溫度不變,緩慢地放出一部分氣體,使罐內(nèi)氣體壓強降為p0,求氧氣罐內(nèi)剩余氣體的質(zhì)量與原來總質(zhì)量的比值.

(2)假設(shè)將放出的氣體和剩余的氣體都收集起來,等溫轉(zhuǎn)換到壓強為p0的狀態(tài),其體積為V,由玻意耳定律有1.2p0V0＝p0V,解得V＝1.2V0,則剩余氣體與原來氣體的總質(zhì)量之比為.

本題第(2)問也可以根據(jù)放氣前后氧氣罐內(nèi)氣體的體積和溫度相同,運用推論2,得

3 小結(jié)

對于同種理想氣體,其狀態(tài)參量中的壓強和溫度屬于強度量,不具有加和性,而體積屬于廣延量,但也只能在壓強和溫度相同的情況下具有加和性.因此,在解決狀態(tài)轉(zhuǎn)換和變質(zhì)量問題時,需要靈活運用克拉珀龍方程及其推論,巧妙轉(zhuǎn)換氣體狀態(tài),以實現(xiàn)快速準(zhǔn)確求解的目的.

(完)