李夢真,莫愿斌

(廣西民族大學(xué) 人工智能學(xué)院,廣西 南寧 530006)

0 引 言

近年來,隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,計(jì)算復(fù)雜性的增強(qiáng),優(yōu)化問題在現(xiàn)階段受到廣泛關(guān)注,利用元啟發(fā)式算法求解多種復(fù)雜優(yōu)化問題也是當(dāng)下研究的熱點(diǎn)。常見的元啟發(fā)式算法有粒子群算法(Particle Swarm Optimization,PSO)[1]、布谷鳥算法(Cuckoo Search,CS)[2]、差分進(jìn)化算法(Differential Evolution,DE)[3]、灰狼優(yōu)化算法(Grey Wolf Optimizer,GWO)[4]、鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm,WOA)[5]、海鷗優(yōu)化算法(Seagull Optimization Algorithm,SOA)[6]、麻雀優(yōu)化算法(Sparrow Search Algorithm,SSA)[7]、阿基米德優(yōu)化算法(Archimedes Optimization Algorithm,AOA)[8]、斑點(diǎn)鬣狗優(yōu)化算法(Spotted Hyena Optimization,SHO)[9]等等。

黏菌算法是2020年Li等人[10]根據(jù)黏菌個體振蕩捕食行為提出的,建立了由黏菌行為模式啟發(fā)的數(shù)學(xué)模型,實(shí)驗(yàn)證明該算法具有良好的尋優(yōu)能力,并廣泛應(yīng)用于解決優(yōu)化問題;文獻(xiàn)[11]提出了一種基于成敗歷史存檔的融合龍格庫塔黏菌算法,改進(jìn)后算法的求解精度和魯棒性更具競爭力;文獻(xiàn)[12]利用精英反向?qū)W習(xí)和二次插值提升算法全局尋優(yōu)性能、收斂精度及局部開發(fā)能力,幫助算法跳出局部極值;文獻(xiàn)[13]提出了一種融合精英策略的SMA,在有固定頻率約束的桁架結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化問題中取得較好結(jié)果。該文提出的融合多策略的改進(jìn)黏菌算法包含三個改進(jìn)策略,能針對原算法存在的缺點(diǎn)進(jìn)行整合性提升。首先,采用Sine映射初始化種群,提高種群多樣性;其次,引入自適應(yīng)變異t分布策略,改進(jìn)原算法容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn);最后,引入黃金正弦機(jī)制來改進(jìn)算法在迭代后期收斂速度慢、收斂精度低的問題。通過基準(zhǔn)測試函數(shù)及CEC2021測試函數(shù)對改進(jìn)后的黏菌算法進(jìn)行性能測試,測試結(jié)果明顯優(yōu)于其他對比算法,然后將其應(yīng)用于工程應(yīng)用問題,GTSMA都取得了理想的結(jié)果。

1 黏菌算法

黏菌算法生物背景新穎,結(jié)構(gòu)清晰,主要利用黏菌覓食的潛力與特性來解決復(fù)雜的優(yōu)化問題。黏菌覓食的潛力最初體現(xiàn)在路徑規(guī)劃中,該算法主要模擬黏菌靠近食物、包圍食物和獲得食物三個階段。首先,黏菌根據(jù)空氣中的氣味濃度去接近食物,黏菌個體會根據(jù)公式1的規(guī)則進(jìn)行更新移動:

(1)

其中,X表示黏菌的當(dāng)前位置,LB與UB表示搜索范圍的上下邊界,XA與XB表示從所有黏菌個體中隨機(jī)挑選的兩個個體,Vb是介于[-a,a]的參數(shù),迭代次數(shù)越多,Vb的值越趨于0,Vc從1-0呈線性變化,t表示黏菌個體當(dāng)前的迭代次數(shù),權(quán)重參數(shù)W表示黏菌的質(zhì)量,Xb(t)表示第t次迭代適應(yīng)度最優(yōu)的個體位置,r表示[0,1]區(qū)間的隨機(jī)值,其中控制變量p和參數(shù)a的函數(shù)表達(dá)式如式2、式3:

p=tanh|S(i)-DF|

(2)

(3)

其中,S(i)代表黏菌個體X的適應(yīng)度,而DF表示最佳適應(yīng)度值,tmax代表個體更新的最大迭代次數(shù)。而W的表達(dá)式如式4:

W(smellIndex)=

(4)

其中,condition表示適應(yīng)度排在前一半的個體,other表示余下的種群個體,r表示[0,1]區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值,bF和wF分別表示當(dāng)前種群中的最好和最差適應(yīng)度值。

2 融合多策略的改進(jìn)黏菌算法

2.1 Sine混沌映射

豐富的初始種群,對于算法的收斂速度和尋優(yōu)精度都十分重要。黏菌在初期的位置具有隨機(jī)性和不確定性,可能會出現(xiàn)種群分布不均勻,容易陷入局部最優(yōu)。而混沌序列可以用來解決上述問題[14]。常見的混沌映射有l(wèi)ogistic映射、kent映射等,該文采用Sine混沌映射,選取式5產(chǎn)生的初始變量值利用式6映射到黏菌個體上,產(chǎn)生多樣性較好的初始種群。

Yi+1=ρsin(πi)

(5)

(6)

其中,Yi∈[-1,1]為混沌序列;i=1,2,…,N表示種群規(guī)模;ρ為控制參數(shù);Ud和Ld分別為黏菌個體在第d維的上限和下限。

2.2 自適應(yīng)t分布變異策略

t分布最早被命名為“Student’s distribution”,高斯分布(Gaussian Distribution,GD)和柯西分布(Cauchy Distribution,CD)是t分布的兩個特殊邊界分布,該策略融合了高斯分布和柯西分布的優(yōu)點(diǎn),初期參數(shù)t取較小值,符合柯西分布;迭代進(jìn)行到中后期時,t取值就會變大,t分布無限接近高斯分布。具體的黏菌位置更新方式如式7:

X(t+1)=

(7)

其中,ts是以SMA迭代次數(shù)為自由度的t分布,隨著S增加,t也會增加,t分布由開始的柯西分布逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)楦咚狗植肌?/p>

2.3 黃金正弦策略

黃金正弦算法(golden Sine Algorithm,goldenSA)[15]是引用黃金分割系數(shù)加入正弦函數(shù)設(shè)計(jì)來提升尋優(yōu)性能的一種新型智能算法。算法開始時通過隨機(jī)生成N個個體來更新初始空間,在個體位置更新過程中,利用黃金分割系數(shù)來縮小個體的搜索空間。其位置更新公式如下:

(8)

3 GTSMA優(yōu)化算法

3.1 算法流程

針對基本SMA的缺點(diǎn),該文提出融合多策略的改進(jìn)黏菌算法(GTSMA)。首先,引入Sine混沌映射提高迭代初期種群的多樣性;其次,隨著迭代次數(shù)的增加,自適應(yīng)t分布變異策略中自由度參數(shù)t取值也會隨之變大,可以增加算法跳出局部最優(yōu)的概率;最后與黃金正弦算法相結(jié)合。在算法迭代后期利用黃金分割系數(shù)對整個過程進(jìn)行優(yōu)化,改進(jìn)算法在迭代后期收斂精度較低的問題。GTSMA流程如圖1所示。

圖1 算法流程

3.2 算法的時間復(fù)雜度分析

設(shè)黏菌種群規(guī)模為N,問題維度為D,最大迭代次數(shù)為T,目標(biāo)函數(shù)復(fù)雜度為Oobj。則GTSMA在Sine混沌映射初始化種群階段的時間復(fù)雜度為O(N×M),適應(yīng)度值評估和排序的復(fù)雜度為O(T×N×(1+logN)),權(quán)重參數(shù)W更新時間復(fù)雜度為O(T),迭代后期融合黃金正弦更新最優(yōu)位置的時間復(fù)雜度為O(T×M),最后階段位置更新的時間復(fù)雜度為O(T×N×M)。綜上所述,GTSMA的時間復(fù)雜度為O(T×N×(M+Oobj+1+logN))。

4 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

4.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

所有實(shí)驗(yàn)代碼均在Matlab R2018a上運(yùn)行,以保證公平的比較。

4.2 基準(zhǔn)測試函數(shù)

選取單峰、多峰函數(shù)等不同類型的基準(zhǔn)測試函數(shù)對GTSMA進(jìn)行測試來驗(yàn)證GTSMA的性能,函數(shù)的維數(shù)、范圍和理論最優(yōu)值如表1所示。

表1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

4.3 GTSMA與其他算法對比

論文通過對WOA,PSO,GWO,CS,SMA,GTSMA分別在6個測試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行30次的結(jié)果進(jìn)行對比來檢驗(yàn)文中改進(jìn)策略是否有效,運(yùn)行結(jié)果見表2。

表2 所有比較算法的運(yùn)行結(jié)果

由表2數(shù)據(jù)可知,針對不同類型的函數(shù),GTSMA的綜合性能最強(qiáng)。對于函數(shù)f3,f5,f6,GTSMA的三項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于原始SMA。由圖2可以更直觀看出GTSMA效果更理想。對于函數(shù)f1,f2, 其他比較算法收斂精度較低,GTSMA相對于原始SMA收斂到最優(yōu)值所需迭代次數(shù)更少。對于函數(shù)f4,算法迭代初期該函數(shù)的收斂曲線下降明顯、收斂速度快。對于函數(shù)f5,GTSMA只需五十多次迭代即可獲得理論上最優(yōu)值。對于f3,f6,從圖中可以看出函數(shù)拐點(diǎn)次數(shù)明顯增多,說明該算法不僅能夠快速收斂,而且還能在后期的迭代過程中快速逃離局部最優(yōu),提高了算法的勘探能力。

(a)f1比較算法收斂曲線 (b)f2比較算法收斂曲線 (c)f3比較算法收斂曲線

4.4 CEC2021測試集實(shí)驗(yàn)分析

在CEC2021測試集上與其他同類型算法進(jìn)行對比,檢驗(yàn)GTSMA的綜合性能,CEC2021測試函數(shù)見表3。

表3 CEC2021測試集

將GTSMA與標(biāo)準(zhǔn)SMA,SOA,WOA,DE以及GWO進(jìn)行對比。實(shí)驗(yàn)參數(shù)取種群規(guī)模為N=30,維度d=30,最大迭代次數(shù)為500。表4展示了算法在運(yùn)行過程中取得的最優(yōu)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由表4中算法的運(yùn)行結(jié)果可知,GTSMA在10個測試函數(shù)中平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差均為0,根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析,GTSMA相比同類算法優(yōu)勢更大。

表4 所有比較算法CEC2021測試集實(shí)驗(yàn)結(jié)果

5 GTSMA在工程優(yōu)化問題的應(yīng)用

拉壓彈簧設(shè)計(jì)問題作為優(yōu)化工程應(yīng)用問題中的經(jīng)典案例,結(jié)構(gòu)模型如圖3所示,它的目標(biāo)是在滿足一定約束條件下令彈簧質(zhì)量f(x)最小。該問題主要包括彈簧金屬絲直徑D(x1)、彈簧圈平均直徑D(x2)以及彈簧的有效圈數(shù)N(x3)三個設(shè)計(jì)變量以及最小撓度、剪切應(yīng)力、振蕩頻率以及外徑限制四個不等式約束。其數(shù)學(xué)模型如式9所示。

圖3 壓力彈簧模型

約束條件為:

(9)

其中,變量x1,x2,x3的取值范圍如下:

0.05≤x1≤2,0.25≤x2≤1.3,2≤x3≤15

用GTSMA和標(biāo)準(zhǔn)SMA求解拉壓彈簧設(shè)計(jì)問題,并與WOA[5],SSA[7],AOA[8],混沌粒子群算法(Chaos particle swarm optimization algorithm,CPSO)[16]取得的最優(yōu)值進(jìn)行對比。為確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,用于比較算法的數(shù)據(jù)均取自于對應(yīng)的參考文獻(xiàn)。其中對比結(jié)果如表5所示。

表5 拉壓彈簧設(shè)計(jì)問題優(yōu)化結(jié)果

從表5的數(shù)據(jù)可知,在拉壓彈簧設(shè)計(jì)問題尋優(yōu)結(jié)果中,GTSMA的尋優(yōu)結(jié)果為0.012 66,結(jié)果均優(yōu)于其他四種優(yōu)化算法。因此,GTSMA的尋優(yōu)能力更強(qiáng),可以有效地處理拉壓彈簧工程問題。

6 結(jié)束語

在原始SMA的基礎(chǔ)上,提出了一種融合多策略的改進(jìn)黏菌算法,迭代初期在種群初始化過程中引入Sine混沌序列提高種群多樣性;然后引入自適應(yīng)t分布策略避免黏菌個體陷入局部最優(yōu);最后融合黃金正弦算法思想更新個體位置,提高算法的收斂精度及運(yùn)行速度。在基準(zhǔn)測試函數(shù)、CEC2021測試集以及實(shí)際工程設(shè)計(jì)優(yōu)化問題上均取得了滿意效果,表明了GTSMA的可操作性和適用性。今后的工作將繼續(xù)研究改進(jìn)的優(yōu)化策略,提高該算法的運(yùn)行速度并將其應(yīng)用到更復(fù)雜的優(yōu)化問題中。