摘 要：保持問題是在一個給定的數(shù)學結(jié)構(gòu)上研究保持某種不變量的映射的問題。針對埃爾米特矩陣空間保立方冪等的問題，通過刻畫在保立方冪等的實線性映射下，研究了2×2維埃爾米特矩陣空間的基底到m×m維埃爾米特矩陣空間上的像，給出了從低維到高維埃爾米特矩陣空間保持立方冪等的實線性映射的表示形式。

關(guān)鍵詞：保持問題；不變量；埃爾米特矩陣；立方冪等；線性映射

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.014

中圖分類號： O110.21

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）05-0121-11

Cubic Idempotence Preserver Problem in Hermitian Matrix Space

ZHANG Haoran， XU Jinli

（School of Science， Northeast Forestry University， Harbin 150080， China）

Abstract：Preserver problems are the study of preserving maps of certain invariants on a given mathematical structure. In order to preserve the cubic idempotent of Hermitian matrix space， we study the image from the basis of 2×2-dimensional Hermitian matrix space to m×m-dimensional Hermitian matrix space， and give the representation of the real linear mapping from low-dimensional to high-dimensional Hermitian matrix space.

Keywords：preserver problems; invariants; Hermitian matrix; cubic idempotent; linear mapping

0 引 言

保立方冪等問題屬于線性保持問題。線性保持問題由1897年 Frobenius^［1］提出，但并沒有引起學者的關(guān)注。直到1962年，Marcus等^［2］給出保持秩1矩陣這一重要的研究成果之后，保持問題才引起大量學者的關(guān)注，隨后對保持問題的研究成果^［3-7］才大量涌現(xiàn)出來。

此后，學者們對多種不變量的線性保持問題進行了研究。例如，秩保持問題^［8-9］，冪等保持問題^［10-11］，廣義逆保持問題^［12-13］，伴隨保持問題^［14］，交換保持問題^［15-18］等。保冪等問題是保持問題一個重要的分支，而立方冪等保持問題是對冪等保持問題的進一步研究；前人雖然對保冪等問題有了深入研究，但對保立方冪等問題研究的成果相對較少，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，進一步對文［19］定理3.1進行推廣。

本文在給出定理證明之前，給出本文中所用到的數(shù)學符號說明：

令Mn（C）為復(fù)數(shù)域C上n×n階的矩陣全體，Hn（C）為復(fù)數(shù)域C上n×n階的埃爾米特矩陣全體，Pn（C）={A∶A3=A，A∈Hn（C}即Pn（C）為復(fù)數(shù)域C上n×n階的埃爾米特立方冪等矩陣全體，Un（C）為復(fù)數(shù)域C上n×n階的酉矩陣全體。

1 相關(guān)引理

定義1^［19］ 若α∈V1，Φ（α2）∈V2，當k∈C時，Φ（kα）=kΦ（α）成立，則稱線性映射Φ：V1→V2為實線性映射。

引理1^［20］ 矩陣A∈C^n×n是一個立方冪等的埃爾米特矩陣，那么一定存在一個酉矩陣u∈C^n×n使得

A=uI^r1

－I^r2

0u*

其中：r1+r2=rA，rA表示矩陣A的秩。

2 埃爾米特矩陣保立方冪的實線性映射的刻畫

定理1 令映射Φ1：H2（C）→Hm（C）是埃爾米特矩陣空間上的保立方冪等的實線性映射，使得A∈P2（C）Φ（A）∈Pm（C），則存在一個酉矩陣u∈Um（C），使得

Φ（A）=

uAI^k1

A－I^k2

ATI^k3

AT－I^k4

0u*

A∈H2（C），2（k1+k2+k3+k4）lt;m，其中AT為A的轉(zhuǎn)置。

證明：由于Φ為實線性映射，且H2（C）在實數(shù)域上的基底為：

{E¹¹，E¹²，（E¹²+E²¹），i（E¹²－E²¹）}

下面分步驟刻畫Φ的形式。

第一步：刻畫Φ（E¹¹），Φ（E²²）的形式。

由于I2∈P2（C），由Φ的定義可知Φ（I2）∈^Pm（C^），由埃爾米特立方冪等矩陣的酉相似對角化性質(zhì)，存在酉矩陣u1∈Um（C），使得

Φ（I2）=u1I^t1

－I^t2

0u*1

其中整數(shù)t滿足0≤t1+t2≤m。

又由于E¹¹，E¹²，E¹¹－E²²，E¹²+E²¹=I2∈P2（C）

則由Φ的定義可知Φ（E¹¹），Φ（E²²）∈Pm（C），^Φ（E11－E²²），Φ（E¹¹+E²²）=Φ（I2）∈Pm（C）。

從立方冪等矩陣的定義可知：

Φ3（E¹¹）=Φ（E¹¹）（1）

Φ3（E²²）=Φ（E²²）（2）

（Φ（E¹¹）+Φ（E²²））3=Φ（E¹¹）+Φ（E²²）（3）

（Φ（E¹¹）－Φ（E²²））3=Φ（E¹¹）－Φ（E²²）（4）

由式（1）～（4）知

Φ（E¹¹）Φ（E²²）=Φ（E²²）Φ（E¹¹）=0。

令Φ1（A）=u1Φ^（A）mu*1，A∈H2（C），則可知Φ1：H2（C）→Hm（C）為保立方冪等的實線性映射，滿足：

Φ1（I2）=I^t1

－I^t2

0，

Φ1（E¹¹）Φ1（E²²）=Φ1（E²²）Φ1（E¹¹）=0（5）

情形一：若t1=t2=0，則

Φ1（E¹¹）+Φ1（E²²）=0（6）

在等式（6）的兩邊同乘Φ21（E²²）可得

Φ21（E²²）Φ1（E¹¹）+Φ31（E²²）=0，

再由式（2）和式（5）可知

Φ1（E²²）=0，

同理Φ1（E²²）=0。

由1212

1212∈P2（C），

12－12

－1212∈^P2（C^），

0110∈P2（瘙綇），利用Φ1的定義可知

Φ11212

1212∈Pm（C），Φ112－12－1212∈^Pm（C^），

Φ1E¹²+E²¹∈Pm（C），

又由于Φ1（E²²）=0，Φ1（E²²）=0，可得

±12Φ1（E¹²+E²¹）∈Pm（C）。

由立方冪等的定義，直接計算可得

Φ1（E¹²+E²¹）=0。

再利用12i2

－i212∈P2（C），

12－i2

i212∈P2（C），0i－i0∈P2（C，

由Φ1的定義可知Φ112i2

－i212∈Pm（C），

Φ1（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C），

由Φ1（E²²）=0，Φ1（E²²）=0，可得

Φ1（i（E¹²－E²¹））=0。

綜上可得：若Φ1（I2）=0，則Φ1（A）=0，A∈H2（C）。

情形2：若t1≠0，t2≠0，則

Φ1（I2）=I^t1

－I^t2

0，

滿足0lt;t1+t2≤m，且

Φ1（E¹¹）Φ1（E²²）=Φ1（E²²）Φ1（E¹¹）=0（7）

由Φ1（E¹¹）∈Pm（C），則存在u¹¹∈Um（C），使得

Φ1（E¹¹）=u¹¹I^k1

－I^k2

0

0u*¹¹

其中整數(shù)k1滿足0lt;k1lt;t1，k2滿足0lt;k2lt;t1。令Φ1（E²²）=u¹¹

A¹¹A¹²A¹³A¹⁴A¹⁵

A*¹²A²²A²³A²⁴A²⁵

A*¹³A*²³A³³A³⁴A³⁵

A*¹⁴A*²⁴A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*¹⁵A*²⁵A*³⁵A*⁴⁵A⁵⁵u*¹¹

利用（7）得A¹¹=0，A¹²=0，A¹³=0，A¹⁴=0，A¹⁵=0，A²²=0，A²³=0，A²⁴=0，A²⁵=0，即Φ1（E²²）=u¹¹

00000

00000

00A³³A³⁴A³⁵

00A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

00A*³⁵A*⁴⁵A⁵⁵u*¹¹，

且A³³A³⁴A³⁵

A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*³⁵A*⁴⁵A*⁵⁵∈P^m－k1－k2（C），

由埃爾米特矩陣立方冪等的酉相似性可知，存在u²²∈U^m－k1－k2（C），

有A³³A³⁴A³⁵

A*³⁴A⁴⁴A⁴⁵

A*³⁵A*⁴⁵A*⁵⁵=u²²

I^k3

－I^k3

0u*²²，

其中整數(shù)k3=t1－k1，整數(shù)k4=t2－k2，即

Φ1（E²²）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

0

0

I^k3

－I^k4

0×

I^k1

－I^k2

u*²²u*¹¹，

Φ1（E¹¹）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

I^k1

－I^k2

000×

I^k1

－I^k2

u*²²u*¹¹，

由Φ1（E¹¹）+Φ1（E²²）=Φ1（I2）=

u¹¹I^k1

－I^k2

u²²

I^k1

－I^k2

I^k3－I^k40×

I^k1－I^k2u*²²u*¹¹=

I^k1－I^k2I^k3－I^k40。

那么u¹¹I^k1－I^k2u²²=Im，

即可得

Φ1（E¹¹）=I^k1－I^k2000=

E¹¹I^k1－I^k2O（8）

類似的，可得

Φ1（E²²）=00I^k3－I^k40=

E²²I^k3－I^k4O（9）

情形3：若t1≠0，t2=0，則

Φ1（I2）=I^t100，

即：

Φ1（E¹¹）=I^k10000=

E¹¹I^k100，

Φ1（E²²）=00I^k300=

E²²I^k300，

情形4：若t1=0，t2≠0，則

Φ1（I2）=0－I^t20，

即：

Φ1（E¹¹）=0－I^k2000=

E¹¹0－I^k2O，

Φ1（E²²）=000－I^k40=

E²²0－I^k4O。

第二步：驟刻Φ1（E¹²+E²¹）的形式。

情形一：若t1≠0，t2≠0，

由于12121212∈P2（C），12－12－1212∈P2（C），

則12（E¹¹+E²²）±12（E¹²+E²¹）∈P2（C），

利用Φ1的定義可知：

Φ112（E¹¹+E²²）±12（E¹²+E²¹）∈Pm（C），

且Φ1（E¹²+E²¹）∈Pm（C）。

那么（Φ1（E¹²+E²¹））3=Φ1（E¹²+E²¹），

令Φ1（E¹²+E²¹）=B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵，

則B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵3=

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵

B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵

B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵

B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵

B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵

由立方冪等矩陣的定義與等式（8），（9）可得

18I^k1－I^k2I^k3－I^k40+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18^B11B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵2×

I^k1－I^k2I^k3－I^k40+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴0B*¹²B²²B²³B²⁴0B*¹³B*²³B³³B³⁴0B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴0B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵0+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵00000+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵－B*¹²－B²²－B²³－B²⁴－B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵－B*¹⁴－B*²⁴－B*³⁴－B⁴⁴－B⁴⁵00000×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0B*¹²－B²²B²³－B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0B*¹⁴－B*²⁴B*³⁴－B⁴⁴0B*¹⁵－B*²⁵B*³⁵－B*⁴⁵0×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0－B*¹²B²²－B²³B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0－B*¹⁴B*²⁴－B*³⁴B⁴⁴000000=

12B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40（10）

18I^k1－I^k2I^k3－I^k40－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵2×

I^k1－I^k2I^k3－I^k40－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴0B*¹²B²²B²³B²⁴0B*¹³B*²³B³³B³⁴0B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴0B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵0－

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵00000+

18B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵-B*¹²-B²²-B²³-B²⁴-B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵-B*¹⁴-B*²⁴-B*³⁴-B⁴⁴-B⁴⁵00000×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0B*¹²－B²²B²³－B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0B*¹⁴－B*²⁴B*³⁴－B⁴⁴0B*¹⁵－B*²⁵B*³⁵－B*⁴⁵0×

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵－

18B¹¹－B¹²B¹³－B¹⁴0－B*¹²B²²－B²³B²⁴0B*¹³－B*²³B³³－B³⁴0－B*¹⁴B*²⁴－B*³⁴B⁴⁴000000=

－12B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵+

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40（11）

等式（10），（11）結(jié)合可得

144B¹¹2B¹²4B¹³2B¹⁴2B¹⁵2B*¹²4B²²2B²³4B²⁴2B²⁵4B*¹³2B*²³4B³³2B³⁴2B³⁵2B*¹⁴4B*²⁴2B*³⁴4B⁴⁴2B⁴⁵2B*¹⁵2B*²⁵2B*³⁵2B*⁴⁵2B⁵⁵=

B¹¹B¹²B¹³B¹⁴B¹⁵B*¹²B²²B²³B²⁴B²⁵B*¹³B*²³B³³B³⁴B³⁵B*¹⁴B*²⁴B*³⁴B⁴⁴B⁴⁵B*¹⁵B*²⁵B*³⁵B*⁴⁵B⁵⁵

即有 B¹²=0，B¹⁴=0，B¹⁵=0，B²³=0，B²⁵=0，B³⁴=0，B³⁵=0，B⁴⁵=0，B⁵⁵=0，

所以

Φ1（E¹²+E²¹）=B¹¹0B¹³000B²²0B²⁴0B*¹³0B³³000B*²⁴0B⁴⁴000000（12）

再利用等式（10）可以得到：

^B11B¹³B²²B²⁴B*¹³B³³B*²⁴B⁴⁴2=I^k1I^k2I^k3I^k4，

再利用45252515∈P2（C），即

15（4E¹¹+E²²）+25（E¹²+E²¹）∈P2（C），

利用Φ1的定義可知

Φ115（4E¹¹+E²²）+25（E¹²+E²¹）∈Pm（C），

通過等式（8），（9）和等式（12）以及立方冪等矩陣的定義可得：

154I^k1－4I^k2I^k3－I^k40+

25B¹¹0B¹³000B²²0B²⁴0B*¹³0B³³000B*²⁴0B⁴⁴000000∈Pm（C），

通過直接計算得B¹¹=0，B²²=0，B³³=0，B⁴⁴=0，

即

Φ1（E¹²+E²¹）=00B¹³00000B²⁴0B*¹³00000B*²⁴00000000，

又由

^0B130B²⁴B*¹³0B*²⁴02=I^k1I^k2I^k3I^k4，

得到B¹³B*¹³=I^k1，B²⁴B*²⁴=I^k2，B*¹³B¹³=I^k3，B*²⁴B²⁴=I^k4，

所以有k1=k3，k2=k4，即

Φ1（E¹²+E²¹）=00B¹³00000B²⁴0B*¹³00000B*²⁴00000000，

其中B¹³∈U^k1（C），B²⁴∈U^k2（C），

令

Φ2（A）=I^k1I^k2B¹³－B²⁴I^m－k1－k2

Φ1（A）=I^k1I^k2I^k2－B*²⁴I^m－k1－k2

A∈H2（C），

則

Φ2（E¹²+E²¹）=00I^k100000－I^k20I^k100000－I^k200000000=

（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O（13）

Φ2（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k1－I^k2O，i∈［2］。（14）

情形2：若t1≠0，t2=0，

即：

Φ2（E¹²+E²¹）=00I^k10000000I^k100000000000000=

（E¹²+E²¹）I^k10O

Φ2（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k10O，i∈［2］。

情形3：若t1=0，t2≠0，

即：

Φ2（E¹²+E²¹）=00000000－I^k20000000－I^k200000000=

（E¹²+E²¹）0－I^k2O，

Φ2（E_ii）=E_ii0－I^k2O，i∈［2］。

第三步：刻畫Φ2（i（E¹²－E²¹））的形式。

情形一：若t1≠0，t2≠0，

由于

12i2－i212∈P2（C），12－i2i212∈P2（C），

則

12（E¹¹+E²²）±i2（E¹²－E²¹）∈P2（C），

利用Φ2的定義可知

Φ212（E¹¹+E²²）±12Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C

且Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C）。

那么（Φ2（i（E¹²－E²¹）））3=Φ2（i（E¹²－E²¹）），

令

Φ2（i（E¹²－E²¹））=C¹¹C¹²C¹³C¹⁴C¹⁵C*¹²C²²C²³C²⁴C²⁵C*¹³C*²³C³³C³⁴C³⁵C*¹⁴C*²⁴C*³⁴C⁴⁴C⁴⁵C*¹⁵C*²⁵C*³⁵C*⁴⁵C⁵⁵

由立方冪等矩陣的定義與等式（13），（14），可得

12I^k1－I^k2I^k3－I^k40±

12C¹¹C¹²C¹³C¹⁴C¹⁵C*¹²C²²C²³C²⁴C²⁵C*¹³C*²³C³³C³⁴C³⁵C*¹⁴C*²⁴C*³⁴C⁴⁴C⁴⁵C*¹⁵C*²⁵C*³⁵C*⁴⁵C⁵⁵∈Pm（C），

通過計算可得C¹²=0，C¹⁴=0，C¹⁵=0，C²³=0，C²⁵=0，C³⁴=0，C³⁵=0，C⁴⁵=0，C⁵⁵=0，

即

Φ2（i（E¹²－E²¹））=C¹¹0C¹³000C²²0C²⁴0C*¹³0C³³000C*²⁴0C⁴⁴000000（15）

且

C¹¹C¹³C²²C²⁴C*¹³C³³C*²⁴C⁴⁴2=I^k1I^k2I^k3I^k4（16）

再利用452i5－2i515∈P2（C），

即15（4E¹¹+E²²）+25（i（E¹²－E²¹））∈P2（C），

由Φ2的定義可知

15Φ2（4E¹¹+E²²）+25Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C），

通過等式（13），（14），（15）可得

154I^k1－4I^k2I^k3－I^k40+

25C¹¹0C¹³000C²²0C²⁴0C*¹³0C³³000C*²⁴0C⁴⁴000000∈Pm（C），

通過直接計算得C¹¹=0，C²²=0，C³³=0，C⁴⁴=0，即

Φ2（i（E¹²－E²¹））=00C¹³00000C²⁴0C*¹³00000C*²⁴00000000，

再利用等式（16）可知C¹³C*¹³=I^k1，C²⁴C*²⁴=I^k2，^C*13C¹³=I^k1，C*²⁴C²⁴=I^k2，

令C¹³=id¹³，d¹³∈U^k1（C），C²⁴=id²⁴，d²⁴∈^Uk2（C），則

Φ2（i（E¹²－E²¹））=00id¹³00000id²⁴0－id*¹³00000－id*²⁴00000000（17）

利用131－i31+i323∈P2（C），

即

13（E¹¹+2E²²+E¹²+E²¹）－13（i（E¹²－E²¹））∈^P2（C^）

由Φ2的定義可知

13Φ2（E¹¹+2E²²+E¹²+E²¹）－13Φ2（i（E¹²－E²¹））∈Pm（C）

由立方冪等矩陣的定義與等式（13），（14）及（17）可得

d¹³=d*¹³，d²⁴=d*²⁴，

即d¹³，d²⁴為埃爾米特酉矩陣。

利用酉相似性可知，存在酉矩陣w¹³∈U^k1（C）

使得d*¹³=w¹³I^l1－I^l1w*¹³，

存在酉矩陣w²⁴∈U^k2（C）

使得d*²⁴=w²⁴I^l3－I^l4w*²⁴，

其中整數(shù)l1、l2、l3、l4滿足l1+l2=k1，l3+l4=k2。

令Φ3（A）=w*¹³w*¹³w*²⁴w*²⁴I^m－k1－k2

Φ2（A）=w²⁴w²⁴w¹³w¹³I^m－k1－k2

于是

Φ3（i（E¹²－E²¹））=

00iI^l1－I^l200000iI^l3－I^l40－iI^l1－I^l200000－iI^l3－I^l400000000=

i（E¹²－E²¹）I^l1－I^l2I^l3－I^l4O（18）

其中l(wèi)1、l2、l3、l4滿足l1+l2+l3+l4=k1+k2。

Φ3（E¹²+E²¹）=（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O（19）

Φ3（Eⁱⁱ）=EⁱⁱI^k1－I^k2O（20）

對任意A=a¹¹a¹²a*¹²a²²則

A=a¹¹E¹¹+a²²E²²+Re（a¹²）（E¹²+E²¹）+

Im（a¹²）i（E¹²－E²¹），

通過等式（18）、（19）、（20）及Φ3的定義可知

Φ3（A）=Φ3（a¹¹E¹¹）+Φ3（a²²E²²）+

Φ3（Re（a¹²）（E¹²+E²¹））+

Φ3（Im（a¹²）i（E¹²－E²¹））=

a¹¹E¹¹I^k1－I^k2O+

a²²E²²I^k1－I^k2O+

Re（a¹²）（E¹²+E²¹）I^k1－I^k2O+

Im（a¹²）i（E¹²－E²¹）I^l1－I^l2I^l3－I^l4O=

AI^l1ATI^l2AT－I^l3A－I^l40

利用Φ3和Φ關(guān)系，可得存在u∈Um（C），使得

Φ（A）=

uAI^l1ATI^l2AT－I^l3A－I^l40u*

A∈H2（C）。

情形2：若t1≠0，t2=0，

即：

Φ（A）=uAI^l1ATI^l2000u*

A∈H2（C）。

情形3：若t1=0，t2≠0，

即：

Φ（A）=u00AT－I^l3A－I^l40u*

A∈H2（C）。

綜上，定理1證明完畢。

3 結(jié) 論

本文研究了埃爾米特矩陣保立方冪等問題，以2×2維埃爾米特矩陣為例，利用埃爾米特立方冪等的酉相似分解引理，通過刻畫埃爾米特空間的基底在映射下的像的表示形式，刻畫了從低維到高維的埃爾米特矩陣空間保立方冪等的實線性映射，完成了定理1的證明。

參 考 文 獻：

［1］ FROBENIUS G. Uber die Darstellung der Endliche Gruppen Durch Linear Substitu-tionen［J］. Sitzungsber Deutsch. Akad. Wiss. Berlin， 1897： 994.

［2］ MARCUS M， MOYLS B. Linear Transformations Onalgebras of Matrices［J］. Canadian Journal of Mathematics， 1959， 11： 61.

［3］ CONSTANTIN C. Linear maps Preserving Structuredsingular Values of Matrices［J］. Linear Algebra Appl，2021， 620： 76.

［4］ 吳丹， 李賀， 曹重光. 上三角矩陣保逆的誘導(dǎo)映射［J］.哈爾濱理工大學學報， 2015， 20（5）： 116.

WU Dan， LI He， CAO Chongguang. Induced Mapping of Upper Trigonometric Matrix with Inverse Protection［J］. Journal of Harbin University of Scienceand Technology， 2015， 20（5）： 116.

［5］ LOUISA C， HAYDEN J. On Maps Preserving Products Equal to Fixed Elements［J］. J Algebra， 2021，575： 220.

［6］ RODMAN L， SEMRL P. A Localization Technique for Linear Preserver Problems［J］. Linear Algebra and Its Applications， 2010， 433： 2257.

［7］ 周洪玲， 范廣慧， 蘇在濱等. 保域上矩陣可交換｛1｝-逆的線性映射［J］. 哈爾濱理工大學學報， 2010， 15（2）： 67.

ZHOU Hongling， FAN Guanghui， SU Zaibin， et al. Linear Mapping of Matrix Commutative {1} -Inverseon Conformal Domain［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2010， 15（2）： 67.

［8］ PEREIRA R. Bijective Linear Rank Preservers for Spaces of Matrices Over Antinegative Semirings［J］. Linear Algebra and Its Applications， 2011， 435： 1666.

［9］ 鄧琳， 徐金利. 保對稱矩陣張量積秩的線性映射［J］. 黑龍江大學自然科學學報， 2021， 38（2）： 143.

DENG Lin， XU Jinli. Linear Mapping of Tensor Product Rank of Symmetric Matrix［J］. Journal of Natural Science of Heilongjiang University， 2021， 38（2）：143.

［10］SLOWIK R. Maps on Infinite Triangular Matrices Preserving Idempotents［J］. Linear and Multilinear Algebra， 2014， 62： 938.

［11］鄧琳， 鄭克禮， 徐金利. 保對稱矩陣張量積冪等的線性映射［J］. 哈爾濱師范大學自然科學報， 2021， 37（2）： 1.

DENG Lin， ZHENG Keli， XU Jinli. Linear Mapping of Tensor-product Idempotent of Symmetric Matrices［J］. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 2021， 37（2）： 1.

［12］白婧. 保持兩類算子方程的可加映射［D］. 西安： 陜西師范大學， 2020.

［13］JAFARIAN A. A Survey of Invertibility and Spectrum Preserving Linear Maps［J］. Bulletin of the Iranian Mathematical Society， 2009， 35： 1.

［14］CHOOI W， Ng W. Classical Adjoint Commuting Mappings on Alternate Matrices and Skew-Hermitian Matrices［J］. Operators and Matrices， 2014， 8： 485.

［15］SLOWIK R. Bijective Maps of Infinite Triangular and Unitriangular Matrices Preserving Commutators［J］. Linear and Multilinear Algebra， 2013， 61： 1028.

［16］WANG D， ZHAI H， CHEN M. Bijective Maps on Unit Upper Triangular Matrices Preserving Commutators［J］. Linear and Multilinear Algebra， 2011， 59：25.

［17］王雨軒， 霍東華. 保持交換環(huán)上兩類矩陣運算的映射［J］. 高等數(shù)學研究， 2022， 25（1）： 49.

WANG Yuxuan， HUO Donghua. Preserving the Mapping of Two Classes of Matrix Operations on Commutative Rings［J］. Advanced Mathematics Research， 2022， 25（1）： 49.

［18］HUANG L， LIU Y. Maps Completely Preserving Comutativity and Maps Completely Preserving Jordan Zero-product［J］. Linear Algebra and Its Applications，2014， 462： 233.

［19］楊檸. 不同維埃爾米特矩陣空間冪等保持問題的研究［D］. 哈爾濱： 哈爾濱工程大學， 2019.

［20］楊克邵， 包學游. 矩陣分析［M］. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學出版社， 1988.

（編輯：溫澤宇）

基金項目： 國家自然科學基金（11701075）.

作者簡介：張浩苒（2000—），女，碩士研究生.

通信作者：徐金利（1982—），男，博士，副教授，E-mail：jclixv@qq.com.