摘 要：針對末端被動關(guān)節(jié)初速度不為零的平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定控制問題，提出了一種基于模型降階和開環(huán)迭代控制的控制策略。根據(jù)平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用模型降階的方法，將原來的平面多連桿欠驅(qū)動系統(tǒng)降階為平面虛擬兩連桿欠驅(qū)動系統(tǒng)。根據(jù)降階后平面虛擬兩連桿欠驅(qū)動系統(tǒng)具有的冪零近似特性，設(shè)計(jì)了一種開環(huán)迭代控制器，控制該平面虛擬兩連桿欠驅(qū)動系統(tǒng)到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)。同時，平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂末端點(diǎn)也被控制到目標(biāo)位置。最后，選擇了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng); 平面欠驅(qū)動機(jī)械臂; 冪零近似; 模型降階; 開環(huán)迭代; 穩(wěn)定控制

DOI：10.15938/j.jhust.2024.05.012

中圖分類號： TP242;TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2024）05-0105-09

Stable Control Strategy for Planar Multi-link Underactuated Mechanical System with Non-zero Initial Velocity

HUANG Zixin^1，2， HOU Mengyu1， QIN Xiangyu1， WANG Lejun3

（1.School of Electrical and Information Engineering， Wuhan Institute of Technology， Wuhan 430205， China;

2.Hubei Key Laboratory of Digital Textile Equipment， Wuhan Textile University， Wuhan 430200， China;

3.Chongqing Key Laboratory of Complex Systems and Bionic Control，Chongqing University

of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065， China）

Abstract：Aiming at the stability control problem of planar multi-link underactuated manipulator system with non-zero initial velocity of last passive joint， a stable control strategy based on model reduction and open-loop iterative control is presented. According to the structural characteristic of this planar multi-link underactuated system， the original system model is reduced to a planar virtual two-link underactuated system by using the method of model reduction. Considering the existence of the nilpotent approximation characteristic of the reduced system， the open iterative controllers are designed to drive this planar virtual two-link underactuated system to its target states. At the same time， the end joint of planar multi-link underactuated manipulator also reaches its target position. Finally， the planar multi-link underactuated manipulator system with different structural parameters is selected for simulation experiments. The experimental results verify the effectiveness of the proposed control method.

Keywords：nonlinear system; planar underactuated manipulator; nilpotent approximation; model reduction; open-loop iterative; stable control

0 引 言

相對于全驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)^［1-2］，欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)的控制輸入數(shù)目少于系統(tǒng)的運(yùn)動自由度^［3-5］，且該系統(tǒng)具有質(zhì)量輕、能耗低等方面的優(yōu)勢^［6-8］，受到學(xué)者們持續(xù)密切地關(guān)注。同時，欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)還具有不同的非完整約束特性，使得其穩(wěn)定控制具有很大的挑戰(zhàn)性^［9-11］。

平面欠驅(qū)動機(jī)械臂是一類典型的欠驅(qū)動機(jī)械系統(tǒng)，該系統(tǒng)忽略系統(tǒng)重力的影響。根據(jù)平面欠驅(qū)動機(jī)械臂不同的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，當(dāng)被動關(guān)節(jié)處于不同位置時，該類系統(tǒng)分別具有一階非完整、二階非完整等特性^［12-13］。實(shí)際工作中，機(jī)械臂系統(tǒng)的末端驅(qū)動關(guān)節(jié)使用頻率相對于其他驅(qū)動關(guān)節(jié)更高，其出現(xiàn)故障概率相對更大。所有末端關(guān)節(jié)為被動的平面欠驅(qū)動機(jī)械臂都具有的二階非完整積分特性和角加速度約束關(guān)系^［14-15］，均屬于二階非完整系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)的末端關(guān)節(jié)失效時，會使得系統(tǒng)無法正常工作，帶來不利的影響和巨大的損失。當(dāng)被動關(guān)節(jié)處于系統(tǒng)其余位置時，根據(jù)系統(tǒng)驅(qū)動連桿和欠驅(qū)動連桿之間的角度或角速度約束關(guān)系，可以通過控制驅(qū)動連桿來實(shí)現(xiàn)對欠驅(qū)動連桿狀態(tài)的控制。但是當(dāng)被動關(guān)節(jié)處于系統(tǒng)末端時，該類系統(tǒng)驅(qū)動連桿和末端欠驅(qū)動連桿之間不存在角度和角速度的約束關(guān)系，無法通過控制驅(qū)動連桿的角度和角速度來控制末端欠驅(qū)動連桿的角度和角速度。因此，無法直接控制系統(tǒng)末端點(diǎn)的位置，導(dǎo)致這類系統(tǒng)的控制具有很大的難度。為了保證末端關(guān)節(jié)失效后，機(jī)械臂系統(tǒng)仍能繼續(xù)正常工作，需對末端關(guān)節(jié)為被動的機(jī)械臂系統(tǒng)其控制策略展開研究。

平面Pendubot是具有末端被動關(guān)節(jié)的最簡平面欠驅(qū)動機(jī)械臂，對該系統(tǒng)的控制研究開展較早且成果豐富。Luca等^［16］就針對平面Pendubot系統(tǒng)特性，提出了一種基于迭代轉(zhuǎn)向范式的穩(wěn)定控制方法。文［17］對平面Pendubot系統(tǒng)特性進(jìn)行詳細(xì)地分析，并據(jù)此提出了一種穩(wěn)定控制策略，通過仿真驗(yàn)證了該策略的有效性。文［18］提出的一種基于迭代方式的控制策略，將初始狀態(tài)為零的平面Pendubot系統(tǒng)控制到其目標(biāo)狀態(tài)。Wu^［19］等也針對該系統(tǒng)，提出了一種基于傅里葉變換和智能優(yōu)化的控制策略，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)從初始位置到目標(biāo)位置的控制目標(biāo)。

對于具有末端被動關(guān)節(jié)的平面AAP（active-active-passive）系統(tǒng)，何廣平等^［20］對該系統(tǒng)的特性進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并發(fā)現(xiàn)當(dāng)對系統(tǒng)其余驅(qū)動關(guān)節(jié)施加合適的控制力矩后，被動關(guān)節(jié)將作自由螺旋運(yùn)動。吳方朋等^［21］針對平面AAP系統(tǒng)，基于分層模糊控制思想，提出一種有效的控制策略來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的位置控制目標(biāo)。文［22］所提控制方法通過平面AAP系統(tǒng)驅(qū)動連桿和欠驅(qū)動連桿之間的配合運(yùn)動來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)位置控制。文［23］提出了一種基于系統(tǒng)連桿運(yùn)動軌跡規(guī)劃和跟蹤的位置控制方法。上述文獻(xiàn)針對具有末端被動關(guān)節(jié)的平面Pendubot和平面AAP系統(tǒng)，所提控制方法都是基于系統(tǒng)欠驅(qū)動連桿初始速度為零的前提，但實(shí)際情況中，當(dāng)驅(qū)動裝置損毀或故障，驅(qū)動連桿退變?yōu)榍夫?qū)動連桿并作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動時，欠驅(qū)動連桿的速度并不為零，針對這一情況，現(xiàn)存控制策略研究較少。

考慮到工作環(huán)境的復(fù)雜，平面欠驅(qū)動機(jī)械臂的連桿數(shù)目不斷增多，使得系統(tǒng)的控制輸入也不斷增加。因此，平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂系統(tǒng)各個連桿之間的狀態(tài)約束也更加復(fù)雜。系統(tǒng)的控制具有更大的難度。本文以具有末端被動關(guān)節(jié)的平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂為研究對象，針對該系統(tǒng)欠驅(qū)動連桿初速度不為零時的控制展開研究，提出了一種基于模型降階和開環(huán)迭代控制的穩(wěn)定控制方法。在實(shí)現(xiàn)平面系統(tǒng)所有連桿控制目標(biāo)的同時，系統(tǒng)末端點(diǎn)也從任意初始位置運(yùn)動到目標(biāo)位置。根據(jù)歐拉-拉格朗日法建立系統(tǒng)的動力學(xué)模型，并對該系統(tǒng)進(jìn)行降階。然后基于迭代控制理論，設(shè)計(jì)控制器，分兩個階段分別實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)驅(qū)動連桿和欠驅(qū)動連桿的控制，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)控制目標(biāo)。最后，利用智能優(yōu)化算法中的差分進(jìn)化算法^［24-25］求取一組系統(tǒng)連桿目標(biāo)角度，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)建模與控制方案

1.1 動力學(xué)模型

具有末端被動關(guān)節(jié)的平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂——平面AnP，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。前n個連桿為驅(qū)動連桿，最后一個連桿為欠驅(qū)動連桿；mi為第i（i=1，2，…，n+1）桿的質(zhì)量；Li為第i桿的長度；li為第i桿的質(zhì)心到前一關(guān)節(jié)的長度；Ji為第i桿的轉(zhuǎn)動慣量；τi為施加在第i關(guān)節(jié)的力矩；（x，y）為末端點(diǎn)的坐標(biāo)。

根據(jù)歐拉-拉格朗日法建立平面AnP系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

M（q）+H（q，）=τ（1）

其中：q∈^（n+1）×1為角度向量；τ∈R^（n+1）×1為控制力矩。第（n+1）個連桿為欠驅(qū)動連桿，其控制力矩τⁿ⁺¹為0。M（q）∈R^{（n+1）（n+1）}是慣性矩陣，具有正定性和對稱性。

H（q，）=（q，）－（1/2）（TM（q））/^q∈R^（n+1）×1是科式力和離心力的結(jié)合矩陣。

令狀態(tài)變量為X=［XT1 XT2］T，其中X1=q，X2=?？傻玫狡矫鍭nP系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

1=X2

2=F（X）+G（X）τ（2）

其中，

F（X）=f1f2…fⁿ⁺¹T=－M^－1（q）H（q，）

G（X）=g¹¹…g^1（n+1）

g²¹…g^2（n+1）

g^（n+1）1…g^{（n+1）（n+1）}=M^－1（q）（3）

系統(tǒng)控制目標(biāo)是將末端點(diǎn)從任意初始位置移動到目標(biāo)位置。如圖1，末端點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為

x=－∑ⁿ⁺¹ⁱ⁼¹Lisin∑i^j=1qj

y=∑ⁿ⁺¹ⁱ⁼¹Licos∑i^j=1qj（4）

根據(jù)式（4），系統(tǒng)控制目標(biāo)為控制所有連桿到目標(biāo)角度。由于該系統(tǒng)同一目標(biāo)位置對應(yīng)的各桿目標(biāo)角度存在多解性，因此使用差分進(jìn)化算法^［26］得到一組優(yōu)化目標(biāo)角度。定義差分進(jìn)化算法中的評價函數(shù)為

h=|x－xd|+|y－yd|（5）

其中（xd，yd）為系統(tǒng)末端點(diǎn)的目標(biāo)位置。

1.2 降階模型

當(dāng)平面AnP系統(tǒng)驅(qū)動連桿保持在各自目標(biāo)角度時，被動關(guān)節(jié)保持在一個確定的位置，欠驅(qū)動連桿會自由旋轉(zhuǎn)。此時，平面AnP系統(tǒng)降階成為平面虛擬Pendubot，平面AnP系統(tǒng)第n、n+1個連桿分別為平面虛擬Pendubot的驅(qū)動連桿與欠驅(qū)動連桿。

平面虛擬Pendubot的動力學(xué)模型為

（）^¨+（，^·）=（6）

其中，

（）=¹¹¹²

²¹²²

（，^·）=1（，^·）

2（，^·）（7）

=［12］T ^·=［^·1^·2］T=［10］T（8）

¹¹=b1+b2+2b3cos2

¹²=²¹=b2+b3cos2

²²=b2

1=－b3（2^·1^·2+^（·2）2）sin2

2=b3^（·1）2sin2（9）

b1=mnl2n+mⁿ⁺¹L2n+Jn

b2=mⁿ⁺¹l2ⁿ⁺¹+Jⁿ⁺¹

b3=mⁿ⁺¹Lnlⁿ⁺¹（10）

平面虛擬Pendubot的約束方程為

^21¨1+^22¨2+2=0（11）

令^¨1=u為輔助控制輸入，可得：

^¨1=u

^¨2=－^－1222－^－12221u（12）

令=［12^·1^·2］T，平面虛擬Pendubot的狀態(tài)方程可寫為如下形式：

^·=^·1

^·2

0

－Nsin2^（·1）2+

001

－（1+Ncos2）u=

（）+（）u（13）

其中N=b3/b2。

1.3 控制方案

基于平面虛擬Pendubot的冪零近似特性，平面AnP系統(tǒng)的控制被分為兩個階段：

1）平面AnP系統(tǒng)模型降階

控制平面AnP系統(tǒng)所有驅(qū)動連桿到達(dá)目標(biāo)角度，并使平面AnP系統(tǒng)前n-1個連桿保持在目標(biāo)角度，將系統(tǒng)的第n、n+1個連桿分別作為降階后系統(tǒng)的驅(qū)動連桿與欠驅(qū)動連桿，則平面AnP系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot。

2）平面AnP系統(tǒng)位置控制

當(dāng)平面AnP系統(tǒng)完成模型退化階段后，將平面虛擬Pendubot的驅(qū)動連桿控制到其目標(biāo)角度，使得其欠驅(qū)動連桿按照設(shè)計(jì)的開環(huán)迭代控制器穩(wěn)定到目標(biāo)角度，則平面AnP系統(tǒng)末端點(diǎn)到達(dá)目標(biāo)位置，實(shí)現(xiàn)平面AnP系統(tǒng)的位置控制。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 第一階段控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)第一階段控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)如下：

V1（X）=∑ni=1Pi2（xi－x^id）2+12x2²ⁱ（14）

其中：Pi為一個正常數(shù)；x^id=q^id代表各驅(qū)動連桿的目標(biāo)角度。

V1（X）的導(dǎo)數(shù)為

V·1（X）=∑ni=1x²ⁱ（Pi（xi－x^id）+fi+Giτi）（15）

其中Gi=［gⁱ¹gⁱ²…gⁱⁿ］。

為了確保V·1（X）≤0，設(shè)計(jì)控制器為

τi=－（Pi（xi－x^id）+fi+Dix²ⁱ+Tj）g^－1ii

Tj=∑nj=1，j≠ig^ijτj（16）

其中Di為正常數(shù)。

顯然，式（16）保證了：

V·1（X）=－∑ni=1Dix2²ⁱ≤0（17）

將式（16）代入式（2）可得到閉環(huán)系統(tǒng)：

X·=Fa（X）（18）

設(shè)Ψ1為式（18）的不變集：

Ψ1={X∈瘙綆²ⁿ|V·1=0}（19）

式（19）的最大不變集為

M1={X∈Ψ1|xi=x^id，x²ⁱ=0}（20）

根據(jù)LaSalle不變原理，當(dāng)t→∞時，式（18）的每個解X都會收斂到最大不變集M1。

定義條件Sa為

Sa∶=|xi－x^id|≤e1

|x²ⁱ|≤e2（21）

其中e1、e2為很小的正數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)所有驅(qū)動連桿狀態(tài)都滿足條件Sa時，表明平面AnP系統(tǒng)所有驅(qū)動連桿的運(yùn)動狀態(tài)都到達(dá)了控制目標(biāo)。同時，原始的平面AnP系統(tǒng)也被降階為平面虛擬Pendubot。此時，第一階段的控制目標(biāo)完成，該時刻記為t1。

2.2 第二階段控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式（6）和式（12），可以得到：

1=（M～¹¹－M～¹²M～^－122M～²¹）u+H～1－M～¹²M～^－122H～2（22）

根據(jù)文［16］所提出的方法，可以計(jì)算得到平面虛擬Pendubot的冪零近似模型。根據(jù)向量場和向量場李括號{，，［，］，［，［，］］}構(gòu)造可達(dá)矩陣，并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化得到系統(tǒng)在［0102^·01^·02］的特權(quán)坐標(biāo)。

1=01－z3（a）

2=02+^·02z1+αz3（b）

^·1=z2（c）

^·2=^·02－αz2+βz3－γz4+βz1z2（d）（23）

其中：

α=1+Ncos02， β=N^·02sin02， γ=N2sin202。

平面虛擬Pendubot的冪零近似模型為

1=1（a）

2=u（b）

3=－z2（c）

4=z222ρ1－（^·02）2z214ρ2+αz32ρ1u（d）（24）

其中：ρ1=Ncos02 ，ρ2=Nsin02。

利用冪零近似模型（24）等效替代系統(tǒng)模型（13）來計(jì)算控制輸入。在系統(tǒng)經(jīng)歷了一個周期循環(huán)控制之后，第一連桿的位置應(yīng)該返回到（^1d，0）。因此，根據(jù)^¨1=u，u應(yīng)該滿足以下條件：

∫T0u（t）dt=0，∫T0∫t0u（τ）dτdt=0（25）

通過式（24b），（24c），以及式（25），可以得到：

z2（T）=∫T0u（t）dt=0（a）

z3（T）=－∫T0∫t0u（τ）dτdt=0（b）（26）

根據(jù)式（23b）和（26b），我們可以得到被動關(guān)節(jié)在第一個周期（k=1）的角度誤差。

Δ2=12－02=^·02z1（T）=^·02T（27）

根據(jù)式（24a）可得：z1（t）=∫T01dt=T，式（27）表明2不依賴于控制輸入，但是依賴于^·02。

根據(jù)式（23d）以及（26），我們可以得到被動關(guān)節(jié)在第一個周期（k=1）的角速度誤差。

Δ^·2=^·12－^·02=－γz4（T）（28）

根據(jù)式（24d），我們能得到：

z4（T）=∫T012Ncos02z22（t）dt－

∫T0（^·02）24Nsin02z21（t）+α2Ncos02z3（t）u（t）dt（29）

利用分部積分法，我們可以得到：

∫T0z21（t）u（t）dt=－2∫T0z3（t）dt（30）

∫T0z3（t）u（t）dt=∫T0z22（t）dt（31）

根據(jù)式（28）至式（31），可得：

Δ^·2=N2sin02cos02∫T0z22（t）dt－

Ncos02（^·02）2∫T0z3（t）dt（32）

式中：N2sin02cos02∫T0z22（t）dt的符號由02決定；Ncos02（^·02）2∫T0z3（t）dt的符號由（^·02）2決定。

輔助控制輸入u（t）設(shè)計(jì)為如下形式：

u（t）=－Acos4πtT，t∈0，T2

Acos4πt－T2T，t∈T2，T（33）

其中A為控制輸入u（t）的振幅。

根據(jù)式（24b）和（24c），可得3=－u，因此：

∫T0z3（t）dt=∫T0∫t0∫σ0u（ρ）dρdσdt=0（34）

∫T0z22（t）dt=∫T0（∫t0u（σ）dσ）2dt=T332π2A2（35）

根據(jù)式（32）、（34）和（35），可得：

Δ^·2=A2T3N264π2sin202（36）

上式表明，Δ^·2與sin202同號。

為了保證第二根連桿在每個迭代周期之后都越來越接近給定值，給出第一個周期的收斂關(guān)系，如下所示：

|d2－12|≤η1|d2－02|（37）

|^·12|≤η2|^·02|（38）

其中η1，η2∈［0，1），為收斂系數(shù)。

在不失一般性的前提下，假設(shè)：

d2－12=η1（d2－02）（39）

^·12=η2^·02（40）

根據(jù)式（27）和（39），我們得到：

T=（1－η1）d2－02^·02，0≤η1lt;1（41）

由于Tgt;0，當(dāng)式（41）成立時，以下條件應(yīng)該滿足：

02lt;d2

^·02gt;0 or

02gt;d2

^·02lt;0（42）

根據(jù)式（28）、（36）以及（40），可得：

A=8πNT^·02（η2－1）Tsin202， 0≤η2lt;1（43）

為了確保式（43）中平方根為正，需要滿足以下條件：

^·02lt;0∶02∈Q1

02∈Q3，^·02gt;0∶02∈Q2

02∈Q4（44）

其中Qi（i=1，2，3，4）分別為第i個象限。

將式（42）和（44）結(jié)合，能得到如下四種條件。只要滿足其中一個，就能通過式（41）以及式（43）實(shí)現(xiàn)平面虛擬Pendubot的穩(wěn)定控制。

d2∈Q1，02∈Q1， 02gt;d2，^·02lt;0（a）

d2∈Q2，02∈Q2， 02lt;d2，^·02gt;0（b）

d2∈Q3，02∈Q3， 02gt;d2，^·02lt;0（c）

d2∈Q4，02∈Q4， 02lt;d2，^·02gt;0（d）（45）

定義Sb∶=（45a）∪（45b）∪（45c）∪（45d）。當(dāng)系統(tǒng)滿足條件Sb時，我們可以利用控制器（20）持續(xù)的進(jìn)行迭代操作以完成平面虛擬Pendubot的穩(wěn)定控制。

為了保證該系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot并實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定控制，當(dāng)切換條件S1∶=Sa∪Sb滿足時，控制器應(yīng)該從式（16）轉(zhuǎn)換至式（22）。

根據(jù)狀態(tài)方程（13），可以采用迭代操作方法使平面虛擬Pendubot的兩連桿角速度都為零，同時保證在每個迭代周期內(nèi)第一根驅(qū)動連桿的初始狀態(tài)與最后時刻的狀態(tài)相同。

定義每個迭代周期為T，迭代周期的初始時刻為0=t1，平面虛擬Pendubot的初始狀態(tài)為

0=x（t1）=［0102^·01^·02］=［q11q12012］（46）

其中q11=qd1。

當(dāng)平面虛擬Pendubot穩(wěn)定時，定義該時刻為m=t2，狀態(tài)為m=x（t2）。

m=［m1m200］=［qd1qd200］（47）

基于上述定義，給出迭代操作算法基本流程為：

步驟1 設(shè)置0=t1，t2－t1=mT，k=0+kT和k=1，…，m。定義為第k個迭代周期的狀態(tài)。k應(yīng)該比^k－1更接近m。

步驟2 控制平面虛擬系統(tǒng)到k，k從1到m。

步驟3 迭代開環(huán)控制律u（^k+1）根據(jù)u（k）得到；當(dāng)［k，^k+1］時，系統(tǒng)狀態(tài)再從k到^k+1。一般情形下，k≠m。

步驟4 設(shè)置^k+1=k+T。如果^k+1=m，則迭代操作完成，否則，返回至步驟2。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

為驗(yàn)證所提控制方法有效性，在本節(jié)選擇合適的參數(shù)和對象來進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。這里，以平面AAAP（active-active-active-passive）系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)對象進(jìn)行仿真。平面AAAP系統(tǒng)的模型參數(shù)選擇如表1所示。

選擇驅(qū)動連桿對應(yīng)的控制器（16）參數(shù)為：Pi=1.0、Di=1.8，式（21）的參數(shù)為：e1=e2=10^－4。

設(shè)平面AAAP系統(tǒng)所有連桿的初始角度、初始角速度以及末端關(guān)節(jié)的目標(biāo)位置為

［q¹⁰，q²⁰，q³⁰，q⁴⁰］=［－1.0， 0.8， －1.3， －0.4］（rad）

［¹⁰，²⁰，³⁰，⁴⁰］=［0， 0， 0， 0.1］（rad/s）

（xd， yd）=（2.0， 1.5）（m）（48）

其中，平面AAAP系統(tǒng)末端欠驅(qū)動連桿的初始速度不為零。

將差分進(jìn)化算法的參數(shù)分別設(shè)置為pm=0.3，^pc=0.7和η1=^0.0001。通過差分進(jìn)化算法，可以得到優(yōu)化后平面AAAP系統(tǒng)各驅(qū)動連桿和欠驅(qū)動連桿對應(yīng)的目標(biāo)角度為

q^1d=－1.0254（rad）

q^2d= 1.3009（rad）

q^3d=－1.1056（rad）

q^4d=－0.9995（rad）（49）

仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖2所示。

由圖2可見，在t=0s時，平面AAAP系統(tǒng)驅(qū)動連桿速度為零，欠驅(qū)動連桿的初始角速度不為零，系統(tǒng)輸入的力矩也為零。然后，控制器控制系統(tǒng)驅(qū)動連桿運(yùn)動，其速度和角度不斷變化。在t=20s時，所有驅(qū)動連桿皆穩(wěn)定在其目標(biāo)角度，并且末端欠驅(qū)動連桿以恒定的角速度做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。在20s≤t≤41s內(nèi)，保持前兩根連桿在其目標(biāo)角度，此時原系統(tǒng)被降階為平面虛擬Pendubot。通過控制平面虛擬Pendubot系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對末端欠驅(qū)動連桿的控制。在^t=41s時，末端連桿穩(wěn)定在其目標(biāo)角度q^4d=^{－0.9995rad，}該平面AAAP系統(tǒng)的末端點(diǎn)也被控到其目標(biāo)位置。仿真結(jié)果證明本文所提控制方法的有效性。

為了進(jìn)一步說明本文所提控制方法對欠驅(qū)動連桿初始速度不為零時系統(tǒng)控制的有效性，這里進(jìn)行第2組仿真，除欠驅(qū)動連桿初始速度外，其余仿真參數(shù)值選取與文［27］相同，當(dāng)欠驅(qū)動連桿初速度取非零值（⁴⁰=0.1rad/s），仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，在t=0s時，平面AAAP系統(tǒng)驅(qū)動連桿速度皆為零，末端欠驅(qū)動連桿的初始角速度為0.1rad/s時，控制輸入的力矩也為零。隨著控制器輸入?yún)?shù)的改變，系統(tǒng)驅(qū)動連桿開始運(yùn)動，其速度和角度不斷變化，在t=10s時穩(wěn)定在其目標(biāo)角度。在10s≤t≤17s內(nèi)，穩(wěn)定第1、2連桿在其目標(biāo)狀態(tài)，通過控制第3連桿目標(biāo)狀態(tài)出發(fā)最終回到目標(biāo)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)對欠驅(qū)動連桿的控制。在t=17s時，末端連桿穩(wěn)定在其目標(biāo)角度，系統(tǒng)的末端點(diǎn)也被控到其目標(biāo)位置。上述結(jié)果證明當(dāng)欠驅(qū)動初速度不為零，本文所提控制策略可將系統(tǒng)各個連桿和末端點(diǎn)從與文［27］相同的初始狀態(tài)控制到相同的目標(biāo)狀態(tài)。充分證明了本文所提控制策略的有效性。

4 結(jié) 論

本文針對末端被動關(guān)節(jié)初速度不為零的平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂，提出了一種基于模型降階和開環(huán)迭代控制的位置控制策略，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)末端點(diǎn)的穩(wěn)定控制目標(biāo)。根據(jù)平面多連桿欠驅(qū)動機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，基于模型降階方法，將原系統(tǒng)降階為平面虛擬Pendubot。然后，根據(jù)平面虛擬Pendubot具有的冪零近似特性和開環(huán)迭代控制方法，實(shí)現(xiàn)對平面虛擬Pendubot系統(tǒng)的控制，從而實(shí)現(xiàn)了對原始系統(tǒng)驅(qū)動連桿和欠驅(qū)動連桿的控制目標(biāo)。同時，原始系統(tǒng)的末端點(diǎn)也將被控到達(dá)目標(biāo)位置。最后，通過仿真驗(yàn)證了該控制策略的有效性。

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（編輯：溫澤宇）

基金項(xiàng)目： 湖北省自然科學(xué)基金（2023AFB380）；智能機(jī)器人湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室創(chuàng)新基金（HBIRL202301）；湖北省數(shù)字化紡織裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題（KDTL2022003）.

作者簡介：黃自鑫（1988—），男，博士，副教授；

侯夢毓（2001—），女，碩士研究生.

通信作者：王樂君（1991—），男，博士，講師，E-mail：wanglj@cqupt.edu.cn.