楊昊戩

西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 四川 成都 610031

引言

量子信息是一門研究利用量子物理學(xué)的原理和方法來(lái)存儲(chǔ)、處理和傳輸信息的學(xué)科[1]。量子信息處理有著經(jīng)典信息處理下難以比擬的技術(shù)優(yōu)越。近些年，隨著量子信息處理的技術(shù)的發(fā)展，量子態(tài)的制備和控制變得愈發(fā)重要。量子態(tài)的穩(wěn)定性對(duì)于保證通信和計(jì)算的正確性具有關(guān)鍵作用。

Werner態(tài)[2]和isotropic態(tài)作為量子信息理論中非常重要的兩種兩體量子混合態(tài)，其不僅具有較為重要的基礎(chǔ)研究意義，還有重要的應(yīng)用價(jià)值。

目前，在非相對(duì)論量子力學(xué)的背景下，Werner態(tài)與isotropic態(tài)受到了廣泛的研究。然而，相對(duì)論變換對(duì)于二者的影響并沒有得到充分的研究。

在相對(duì)論變換下，由于不同參考系的時(shí)間和空間坐標(biāo)系的變化,量子態(tài)的表示也會(huì)發(fā)生變化。同一個(gè)物理現(xiàn)象在不同的慣性系下進(jìn)行觀察，結(jié)果可能會(huì)發(fā)生改變。

因此，研究Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對(duì)論變換下的變化規(guī)律，有助于我們更好地理解量子態(tài)的本質(zhì)和穩(wěn)定性，并為其在量子信息處理的應(yīng)用提供理論和實(shí)驗(yàn)的支持。本文旨在研究Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對(duì)論變換下的性質(zhì)，并探討其在量子信息處理中的應(yīng)用。

1 Werner態(tài)及isotropic態(tài)的定義及其性質(zhì)

量子糾纏是目前量子信息理論的一個(gè)關(guān)鍵物理量。而量子信息理論的另一個(gè)關(guān)鍵物理量——量子非局域性，被Bell發(fā)現(xiàn)為量子力學(xué)的核心性質(zhì)之一，并得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1989年，在對(duì)兩個(gè)物理量之間關(guān)系的開創(chuàng)性研究中，R.F.Werner提出了一種由兩個(gè)粒子的糾纏態(tài)混合而成的具有高度對(duì)稱的量子態(tài)，即Werner態(tài)。他用Werner態(tài)來(lái)分析指出了量子糾纏與貝爾非局域性為兩個(gè)不同的物理概念，并首次給出了量子糾纏的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。

由于其對(duì)稱性，Werner態(tài)成為研究量子糾纏和非局域性的理想模型，對(duì)于我們深入理解量子糾纏性和量子信息學(xué)中的一些重要概念具有重要的貢獻(xiàn)。

每個(gè)Werner態(tài)都是對(duì)稱子空間和反對(duì)稱子空間上的投影的混合態(tài)，d是空間的維數(shù)。根據(jù)定義，對(duì)于作用于d維空間上的所有酉算子，Werner態(tài)具有幺正變換后密度矩陣不變的特性，滿足：

而Werner態(tài)具有豐富的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)[3]，可以用不同的參數(shù)表示，其中一種表達(dá)式定義為：

實(shí)驗(yàn)上，可以使用高亮度自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換(SPDC)光源成功地合成可調(diào)諧的Werner態(tài)。通過(guò)調(diào)節(jié)SPDC光源的參數(shù)，可以控制Werner態(tài)的純態(tài)分量相對(duì)權(quán)重，從而實(shí)現(xiàn)任意結(jié)構(gòu)的Werner態(tài)的合成，并進(jìn)行表征[4]。

isotropic態(tài)同樣滿足類似的性質(zhì)：

2 相對(duì)論變換的兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)

在量子信息領(lǐng)域中，不同的慣性系下，量子態(tài)的形式及性質(zhì)一般隨之改變。而相對(duì)論變換后的Werner態(tài)及isotropic態(tài)是否仍然是原有形式其參數(shù)如何變化，這是一個(gè)有趣并且具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的問題。具體地，我們討論了兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)在Wigner轉(zhuǎn)動(dòng)下的變化。

Wigner轉(zhuǎn)動(dòng)[6]描述了在相對(duì)論框架下兩個(gè)慣性系之間的旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)變換可以用旋轉(zhuǎn)矩陣來(lái)表示。

兩比特Werner態(tài)可以表示為：

兩比特Werner態(tài)可以寫成最大糾纏態(tài)和完全混合態(tài)的凸組合，因此可以通過(guò)計(jì)算該四階矩陣的特征值與特征向量來(lái)判斷任意一個(gè)量子態(tài)的四階矩陣是否為兩比特Werner態(tài)。

再根據(jù)公式，可以計(jì)算出其變換后的一般性的式子為：

公式中，

假設(shè)此處兩比特Werner態(tài)中的相對(duì)參數(shù)x為，進(jìn)而可以后有：

可判斷其仍為Werner態(tài)，且相對(duì)參數(shù)x和變換前一致仍為。

圖1 與較小時(shí)與x的比值

圖2 與趨近于∞時(shí)與x的比值

而針對(duì)isotropic態(tài)，根據(jù)公式，兩比特形式下的量子態(tài)矩陣為：

同樣，公式經(jīng)過(guò)變換后有：

綜上所述，研究量子態(tài)演化時(shí)應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)的影響，而兩比特的Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對(duì)論變換下仍為原量子態(tài)形式，其相對(duì)參數(shù)在速度趨近于光速時(shí)不變。良好的抗相對(duì)論噪聲性質(zhì)可用應(yīng)用。

3 結(jié)論

本文的主要目的是研究相對(duì)論變換對(duì)Werner態(tài)及isotropi影響。通過(guò)計(jì)算，得出結(jié)論：兩比特Werner態(tài)及isotropic態(tài)在相對(duì)論變換下仍然為Werner態(tài)及isotropic態(tài)，且其相對(duì)參數(shù)在速度趨近于光速時(shí)不變。未來(lái)研究可以進(jìn)一步討論高維的情形，及對(duì)其他常用的量子態(tài)進(jìn)行同樣研究。