高進(jìn) 崔海冰 樊濤 李昂 杜尊峰

摘要：基于Kriging模型的復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果高度依賴于Kriging模型的擬合精度，在構(gòu)建Kriging模型的過程中，不同相關(guān)函數(shù)和回歸函數(shù)的選擇均會(huì)影響模型精度。為解決模型的不確定性對(duì)可靠性分析結(jié)果的影響，同時(shí)兼顧計(jì)算效率和精度，基于Kriging模型和蒙特卡羅模擬（MCS）方法，提出了一種結(jié)合自適應(yīng)集成策略和主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)的結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法。該方法考慮Kriging模型的建模不確定性，將多種Kriging模型組合，構(gòu)建了一種綜合考慮樣本點(diǎn)貢獻(xiàn)和樣本點(diǎn)距離的主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)，通過主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)迭代更新集成Kriging模型直至滿足收斂條件，最后通過構(gòu)建的集成Kriging模型和MCS方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析。數(shù)值算例和工程算例結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性，該方法與其他主要方法相比穩(wěn)健性更好，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，計(jì)算效率更高。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)可靠性；自適應(yīng)集成策略；Kriging模型；主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)

中圖分類號(hào)：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.008

A Structural Reliability Calculation Method Based on Adaptive Kriging

Ensemble Model

GAO Jin1，2 CUI Haibing1，2 FAN Tao3 LI Ang3 DU Zunfeng3

1.Weichai Power Company Limited，Weifang，Shandong，261061

2.State Key Laboratory of Engine Reliability，Weifang，Shandong，261061

3.School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin，300354

Abstract： The reliability analysis results of complex structures based on the Kriging model were highly dependent on the fitting accuracy of the Kriging model. In the constructing processes of the Kriging model， the selection of different correlation and regression functions affected the accuracy of the model. In order to solve the impacts of model uncertainty on the reliability analysis results， while considering computational efficiency and accuracy， based on the Kriging model and Monte Carlo simulation（MCS） method， a structural reliability calculation method combining adaptive ensemble strategy and active learning function was proposed. Considering the modeling uncertainty of Kriging models， combined with multiple Kriging models， this methed constructed an active learning function that comprehensively considered sample point contribution and sample point distance. The ensemble Kriging model was iteratively updated through the active learning function until the convergence conditions were satisfied. Finally the structural reliability analysis was carried out by the constructed ensemble Kriging model and MCS method. The validity of the proposed method was verified by numerical and engineering examples， and the results show that the proposed method is more robust than other major methods， and the computational efficiency is higher while ensuring the computational accuracy.

Key words： structural reliability； adaptive ensemble strategy； Kriging model； active learning function

0 引言

綜合考慮多源不確定性的機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性分析在實(shí)際工程中具有重要意義，但機(jī)械結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)多為隱式函數(shù)，且計(jì)算往往涉及大量有限元仿真計(jì)算，傳統(tǒng)方法如蒙特卡羅模擬（MCS）方法、一階可靠性方法及二階可靠性方法等已無法滿足實(shí)際工程需求［1］，因此，利用代理模型來替代結(jié)構(gòu)的實(shí)際功能函數(shù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析已經(jīng)成為可靠性研究的重要分支和關(guān)鍵技術(shù)［2］。其中，Kriging模型具有估計(jì)方差小且無偏，適用于高度非線性、高維度的復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，在可靠性領(lǐng)域備受關(guān)注［3］。近年來，為提高基于Kriging模型的可靠性分析方法的計(jì)算精度和計(jì)算效率，相關(guān)研究主要集中在以下三個(gè)方向：

一是通過自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)更新代理模型。目前，BICHON等［4］提出的預(yù)期可行性學(xué)習(xí)函數(shù)（expected feasibility function，EFF）和ECHARD等［5］提出的考慮樣本點(diǎn)被錯(cuò)誤估計(jì)概率的自適應(yīng)U函數(shù)應(yīng)用最為廣泛，ZHENG等［6］考慮樣本點(diǎn)對(duì)失效概率的貢獻(xiàn)，對(duì)U函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)一步提高了Kriging模型的收斂速度。SUN等［7］提出的最小改進(jìn)函數(shù)（least improvement function，LIF）提高了Kriging模型的擬合精度。二是提高Kriging模型擬合精度。HAN等［8-9］考慮樣本點(diǎn)的梯度信息，構(gòu)建了梯度增強(qiáng)Kriging模型（gradient-enhanced Kriging，GE-Kriging）。SCHOBI等［10-11］將多項(xiàng)式混沌展開（polynomial chaos expansion，PCE）與Kriging模型相結(jié)合，即將PCE的最優(yōu)截?cái)嗉献鳛镵riging模型的回歸函數(shù)部分，提出了多項(xiàng)式混沌Kriging模型（polynomial-chaos-based Kriging，PC-Kriging），并基于PC-Kriging模型提出了一種新的可靠性分析方法。三是改進(jìn)抽樣方法并與Kriging模型相結(jié)合進(jìn)行可靠性分析。ZHANG等［12］和BARKHORI等［13］分別提出了將Kriging模型與子集模擬抽樣（subset simulation，SS）和重要性抽樣（importance sampling，IS）相結(jié)合的可靠性計(jì)算方法。史朝印等［14］基于Kriging模型和交叉熵重要性抽樣法提出了一種新的可靠性分析方法，該方法通過Kriging模型協(xié)助混合高斯模型參數(shù)更新，引入重要性抽樣思想，縮小了MCS仿真樣本的規(guī)模，并通過算例驗(yàn)證了其優(yōu)越性。

綜上所述，已有的相關(guān)研究所提出的基于代理模型的可靠性分析方法都有著較高的準(zhǔn)確度和效率，但均是在單一Kriging模型下展開研究，忽略了Kriging建模過程中相關(guān)函數(shù)與回歸函數(shù)的選擇不確定性問題，而這一問題可能會(huì)導(dǎo)致Kriging模型預(yù)測(cè)性能不佳［15］，另一方面，由于每種代理模型各有優(yōu)劣，而在面對(duì)隱式功能函數(shù)時(shí)，在設(shè)計(jì)前難以了解其特性，如何選取合適的代理模型是一個(gè)難題。CHENG等［16］提出了一種基于PCE、SVM、Kriging的集成代理模型可靠性分析方法，但該方法在更新訓(xùn)練集時(shí)，需額外計(jì)算預(yù)測(cè)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)信息，容易引起集成誤差，可能導(dǎo)致集成代理模型在部分區(qū)域擬合不佳。李寧等［17］提出了基于自適應(yīng)集成學(xué)習(xí)代理模型（Kriging模型與PC-Kriging模型）的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，提高了可靠性分析的準(zhǔn)確性與效率，但該方法未考慮Kriging模型的相關(guān)函數(shù)的選擇對(duì)擬合結(jié)果的影響。在實(shí)際問題中，由于功能函數(shù)往往非常復(fù)雜且為隱式，缺乏足夠的先驗(yàn)信息，一般很難選擇最優(yōu)的Kriging模型。對(duì)此，本文基于自適應(yīng)集成策略，對(duì)不同回歸函數(shù)和相關(guān)函數(shù)下的Kriging模型進(jìn)行加權(quán)集成，解決了難以選擇最優(yōu)Kriging模型的問題，結(jié)合所提出的改進(jìn)學(xué)習(xí)函數(shù)，提出了一種基于自適應(yīng)Kriging集成模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，并通過算例予以驗(yàn)證。

1 Kriging模型

1.1 Kriging模型基本理論

Kriging模型是一種半?yún)?shù)的高效插值方法，是根據(jù)協(xié)方差函數(shù)對(duì)隨機(jī)過程進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)的算法，它由兩部分組成：隨機(jī)部分和多項(xiàng)式回歸。對(duì)于任意已知的m個(gè)n維樣本點(diǎn)（X1，X2，…，Xm），其對(duì)應(yīng)的真實(shí)響應(yīng)值為（G（X1），G（X2），…，G（Xm）），則對(duì)任意輸入向量X與其Kriging模型的預(yù)測(cè)值G（X）關(guān)系可表示為

G（X）=（g（X））Tβ+z（X）（1）

其中，（g（X））Tβ為Kriging模型的回歸函數(shù)，表示高斯過程的均值；g（X）為模型的基函數(shù)；β為g（X）對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)；z（X）表示均值為0的高斯隨機(jī)過程，其方差為σ2，協(xié)方差可表示為

Cov［z（Xi），z（Xj）］=σ2R（Xi，Xj，θ）（2）

式中，R（Xi，Xj，θ）表示z（Xi）和z（Xj）的相關(guān)函數(shù)；θ表示R（Xi，Xj，θ）的相關(guān)參數(shù)，可通過最大似然估計(jì)求出。

1.2 Kriging模型的相關(guān)函數(shù)和回歸函數(shù)

Kriging模型建模過程中存在多種相關(guān)函數(shù)選擇不確定性問題，相關(guān)函數(shù)的選擇應(yīng)考慮功能函數(shù)性質(zhì)和變量的分布特點(diǎn)。常用相關(guān)函數(shù)R（Xi，Xj，θ）形式有指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、三次函數(shù)、Matérn函數(shù)［18］等，本文選擇指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、Matérn函數(shù)三類相關(guān)函數(shù)構(gòu)建集成代理模型，它們具體的表達(dá)式如表1所示。

回歸函數(shù)g（X）Tβ反映了Kriging代理模型的預(yù)測(cè)趨勢(shì)，常見的回歸函數(shù)主要有常量回歸、線性回歸、2階回歸等［18］，盡管（g（X））Tβ的具體形式對(duì)Kriging模型的擬合精度影響不大［19］，但文獻(xiàn)［10］將PCE作為Kriging模型的一種回歸函數(shù)，構(gòu)建的PC-Kriging模型具有較好的擬合性能。因此本文選擇PCE回歸函數(shù)和常量回歸函數(shù)構(gòu)建集成代理模型。PCE通過多項(xiàng)式展開，對(duì)函數(shù)的近似擬合輸出可表示為

式中，ψa（X）為多變量標(biāo)準(zhǔn)正交多項(xiàng)式，其系數(shù)為ya；A為多項(xiàng)式階數(shù)。

利用PCE替代Kriging模型的基函數(shù)g（X）得到對(duì)應(yīng)的PC-Kriging模型如下式所示［20］：

綜上，本文對(duì)PCE回歸和常量回歸兩類Kriging模型分別構(gòu)建其在指數(shù)函數(shù)、高斯函數(shù)、Matérn3/2函數(shù)以及Matérn5/2函數(shù)四種相關(guān)函數(shù)下的代理模型，共計(jì)8種Kriging模型（表2），結(jié)合自適應(yīng)集成策略構(gòu)建集成代理模型。

2 基于自適應(yīng)Kriging組合模型的可靠性分析方法

2.1 自適應(yīng)集成策略

集成代理模型的基本思想是使用加權(quán)形式對(duì)多個(gè)代理模型進(jìn)行聚合，以充分利用每個(gè)代理模型的預(yù)測(cè)能力，同時(shí)解決難以選擇最佳代理模型的問題。集成代理模型有如下表達(dá)式：

式中，K為所使用的代理模型的個(gè)數(shù)，本文K=8；M（X）為集成代理模型對(duì)任意輸入向量X的預(yù)測(cè)值；i（X）為第i個(gè)代理模型對(duì)任意輸入向量X的預(yù)測(cè)值；wi為第i個(gè)代理模型的權(quán)重。

文獻(xiàn)［21］提出了一種基于全局預(yù)測(cè)誤差確定權(quán)重的啟發(fā)式策略，表達(dá)式如下：

其中，εLi為第i個(gè)模型全局預(yù)測(cè)誤差，為盡可能減少功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)，選擇全局留一交叉驗(yàn)證誤差（leave-one-out，LOO）作為全局預(yù)測(cè)誤差。α（α<1）、β（β<0）分別為控制單個(gè)代理模型相對(duì)重要性的兩個(gè)參數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)［21-22］分別取α=0.05，β=-1。

2.2 主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)

主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)是指在更新代理模型過程中，根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)值將樣本集進(jìn)行排序，并篩選合適的樣本點(diǎn)添加到訓(xùn)練集中，以提高代理模型的預(yù)測(cè)精度。由于在實(shí)際工程應(yīng)用中，功能函數(shù)的計(jì)算涉及到大量的有限元分析計(jì)算，計(jì)算時(shí)間長，因此，在構(gòu)建代理模型時(shí)，需要在保證計(jì)算精度的情況下盡可能減少訓(xùn)練集的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，本文基于IEGO（improved efficient global optimization）學(xué)習(xí)函數(shù)［19］，提出了一種新的主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)。

IEGO學(xué)習(xí)函數(shù)基于JONES等［23］首次提出的EGO學(xué)習(xí)函數(shù)，為使代理模型在極限狀態(tài)附近擬合精度更高，文獻(xiàn)［19］對(duì)EGO學(xué)習(xí)函數(shù)中的期望值定義進(jìn)行調(diào)整，使其選點(diǎn)策略更符合可靠度計(jì)算的要求。IEGO學(xué)習(xí)函數(shù)定義如下：

首先定義樣本點(diǎn)X處對(duì)Kriging模型的改進(jìn)程度為

式中，σ（X）為Kriging模型的預(yù)測(cè)方差；Φ（·）、φ（·）分別表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。

則下一次待添加到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（DoE）的最佳樣本點(diǎn)為所有樣本點(diǎn)中期望值最大所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Xbest。

但I(xiàn)EGO學(xué)習(xí)函數(shù)只優(yōu)先考慮了極限狀態(tài)方程附近的擬合，未考慮樣本點(diǎn)的距離對(duì)擬合效率的影響，事實(shí)上，在選擇最佳新樣本點(diǎn)的同時(shí)，學(xué)習(xí)函數(shù)必須考慮樣本聚類的潛在風(fēng)險(xiǎn)，以避免構(gòu)建代理模型時(shí)出現(xiàn)過擬合，因此，采用以下距離準(zhǔn)則來保證待添加到DoE的最佳樣本點(diǎn)遠(yuǎn)離現(xiàn)有的樣本點(diǎn)。距離函數(shù)定義為

式中，Xi為已有的訓(xùn)練集中樣本點(diǎn)；dm（X）為待添加樣本點(diǎn)與已有樣本點(diǎn)的最近距離;dmin為已有樣本點(diǎn)之間的最小距離。

本文在IEGO學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮樣本點(diǎn)聚集的改進(jìn)學(xué)習(xí)函數(shù)IE（X），其表達(dá)式如下：

基于式（11），選擇候選樣本點(diǎn)中IE（X）值最大的樣本點(diǎn)作為新增樣本點(diǎn)加入到實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，重新生成集成Kriging模型，直至輸出的失效概率達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，滿足下式所示［24］的收斂條件，迭代終止：

2.3 可靠度計(jì)算流程

基于集成Kriging模型和蒙特卡羅抽樣，結(jié)合本文提出的改進(jìn)學(xué)習(xí)函數(shù)的可靠性分析方法主要流程如圖1所示。

主要步驟如下：

（1）采用蒙特卡羅抽樣構(gòu)建候選樣本池，根據(jù)隨機(jī)變量的分布類型抽取Nmc個(gè)樣本點(diǎn)作為樣本池（X1，X2，…，XNmc）。

（2）采用拉丁超立方抽樣法（Latin hypercube sampling，LHS）生成DoE中的初始樣本點(diǎn)（X1，X2，…，Xn），并計(jì)算其真實(shí)功能函數(shù)響應(yīng)值（G（X1），G（X2），…，G（Xn））。

（3）根據(jù)DoE中的初始樣本點(diǎn)及真實(shí)響應(yīng)值初步構(gòu)建K種Kriging模型，并根據(jù)式（5）、式（6）計(jì)算每個(gè)代理模型集成權(quán)重，構(gòu)建集成Kriging模型，最后利用集成Kriging模型去計(jì)算候選樣本池中所有點(diǎn)的預(yù)測(cè)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

（4）根據(jù)步驟（3）中的結(jié)果計(jì)算式（11）中的IE（X）。

（5）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的停止準(zhǔn)則判斷是否需要更新集成Kriging模型，若不滿足停止準(zhǔn)則，則根據(jù)本文提出的學(xué)習(xí)函數(shù)和步驟（4）的計(jì)算結(jié)果選擇IE（X）最大值所對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)作為新的樣本點(diǎn)加入DoE中，跳轉(zhuǎn)到步驟（3），否則，執(zhí)行下一步。

（6）基于集成Kriging模型的預(yù)測(cè)均值，采用MCS計(jì)算失效概率f和變異系數(shù)CovPf，當(dāng)CovPf≤0.05時(shí)，輸出f，否則，更新樣本池Nmc，執(zhí)行步驟（1）。其中

3 算例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，現(xiàn)通過三個(gè)算例進(jìn)行驗(yàn)證，每一個(gè)算例均使用本文方法和常用的AK-MCS-U［5］、AK-MCS-EFF［4］、AK-MCS-IEGO［19］、MCS等方法進(jìn)行計(jì)算比較，驗(yàn)證本文所提方法在計(jì)算可靠度方面的有效性和正確性，需要說明的是，其他方法的Kriging模型的相關(guān)函數(shù)采用高斯函數(shù)，回歸函數(shù)采用常量回歸。

3.1 數(shù)值算例

3.1.1 算例1：四分支串聯(lián)系統(tǒng)

本算例功能函數(shù)如下［5］：

式中，x1、x2相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，x1～N（0，1），x2～N（0，1）;k=6，7。

首先根據(jù)變量分布函數(shù)和蒙特卡羅抽樣函數(shù)構(gòu)建候選樣本池，再利用LHS抽樣獲得初始樣本，并根據(jù)式（15）獲得真實(shí)響應(yīng)值，擬合初始的Kriging模型，然后根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)不斷更新集成Kriging模型直至收斂，輸出求解的失效概率Pf，并以MCS方法的結(jié)果PMCf（視作精確值）作為參照，利用下式計(jì)算各個(gè)結(jié)果的相對(duì)誤差：

運(yùn)算結(jié)果如表3所示，可以看出本文所提出的方法與AK-MCS-U、AK-MCS-EFF等主要方法相比，在保證計(jì)算準(zhǔn)確度的同時(shí)，能夠顯著減少系統(tǒng)模型下對(duì)其功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。

圖2展示了AK-MCS-U、AK-MCS-EFF、AK-MCS-IEGO和本文所提方法所對(duì)應(yīng)的四類學(xué)習(xí)函數(shù)分別在k=6和k=7時(shí)最佳樣本點(diǎn)分布。結(jié)合表3可以看出，雖然U函數(shù)在極限狀態(tài)附近的擬合效果較好，求解精度較高，但由于U函數(shù)的停止準(zhǔn)則過于嚴(yán)格，樣本點(diǎn)出現(xiàn)了大量的局部聚集，從而導(dǎo)致Kriging模型出現(xiàn)過擬合，增加計(jì)算成本，而EFF函數(shù)雖然調(diào)用功能函數(shù)次數(shù)最少，樣本點(diǎn)分布也較合理，但計(jì)算精度較差，這是因?yàn)镋FF函數(shù)在計(jì)算時(shí)容易出現(xiàn)提前收斂［25］，在k=7時(shí)，誤差甚至達(dá)到了5.05%，不具備參考性。IEGO函數(shù)在極限狀態(tài)附近擬合效果較好，但是在k=6，k=7時(shí)均出現(xiàn)了樣本點(diǎn)局部聚集的情況，增加了計(jì)算成本，這也導(dǎo)致了雖然該方法計(jì)算精度與本文方法相近，但計(jì)算效率均低于本文方法計(jì)算效率。本文方法在保證最佳樣本點(diǎn)處在極限狀態(tài)附近的基礎(chǔ)上，分布比IEGO函數(shù)更加均勻合理，未出現(xiàn)樣本點(diǎn)局部聚集的情況，計(jì)算效率更高，說明了本文提出的考慮樣本點(diǎn)距離的改進(jìn)學(xué)習(xí)函數(shù)的有效性。

圖3展示了k=6時(shí)不同Kriging模型的權(quán)重系數(shù)隨模型迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)，可以看出PC-Kriging模型的權(quán)重系數(shù)整體上高于常量回歸Kriging模型權(quán)重系數(shù)，Kriging模型5權(quán)重最高，說明了PC-Kriging模型比常規(guī)Kriging模型在擬合精度上具有一定的優(yōu)勢(shì)，在具有相同回歸函數(shù)的Kriging模型中，采用Matérn5/2函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)的權(quán)重較高，采用指數(shù)函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)的權(quán)重較低，說明在此案例中，采用Matérn5/2函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)的Kriging模型具有較好的擬合效果。

3.1.2 算例2：非線性振動(dòng)系統(tǒng)

6維隨機(jī)非線性振動(dòng)系統(tǒng)如圖4所示［8］，功能函數(shù)如下：

其中，c1、c2表示系統(tǒng)中兩個(gè)連接彈簧剛度；M表示小車質(zhì)量；R表示位移閾值；F1、t1分別為系統(tǒng)所受載荷幅值和時(shí)間。隨機(jī)變量分布如表4所示。

根據(jù)變量（c1，c2，M，R，t1，F(xiàn)1）的分布函數(shù)生成候選樣本池，然后利用LHS抽樣在樣本池中抽取12個(gè)樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，同時(shí)，為了說明本文所提方法的穩(wěn)定性，分別對(duì)AK-MCS-U、AK-MCS-EFF、AK-MCS-IEGO、AK-SS方法和本文所提方法進(jìn)行30次計(jì)算，30次計(jì)算結(jié)果的平均值如表5所示，30次計(jì)算結(jié)果的失效概率箱型圖見圖5。

可以看出，五種方法的失效概率均在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，這是由抽樣的隨機(jī)性所導(dǎo)致的，同時(shí)，五種方法中，AK-MCS-U的波動(dòng)最小，精度最高，最接近MCS的結(jié)果，但結(jié)合表4可以看出，該方法所添加的樣本點(diǎn)最多，說明該方法雖然精度較高，但效率較低，而AK-MCS-EFF雖然效率較高，但是精度較低，本文所提方法不但能保證精度高、效率高的要求，結(jié)果的穩(wěn)定性也比較強(qiáng)，這說明了本文方法的有效性。

為了說明本文提出的集成模型具有較好的穩(wěn)定性，現(xiàn)分別取本文的集成模型和表2的8種Kriging模型分別與本文提出的學(xué)習(xí)函數(shù)相結(jié)合，對(duì)該算例計(jì)算30次，失效概率和新增樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)果如圖6所示?？梢钥闯?，基于不同代理模型所得的失效概率和新增樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)均在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，但集成模型的概率波動(dòng)較小。綜合來看，本文的方法能在保證計(jì)算精度的前提下，使穩(wěn)定性更高，且計(jì)算效率較高。

3.2 工程算例：某配氣機(jī)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)的頻率可靠性分析

發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)是一種控制燃料氣體進(jìn)出氣缸的裝置，是內(nèi)燃機(jī)重要組成部分之一。所設(shè)計(jì)的配氣機(jī)構(gòu)性能好壞會(huì)直接影響內(nèi)燃機(jī)的各項(xiàng)性能指標(biāo)［26］。當(dāng)配氣機(jī)構(gòu)傳動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率與凸輪的激振頻率差值不超過某一固定閾值時(shí)，該傳動(dòng)系統(tǒng)會(huì)以最大的振幅開始振動(dòng)，從而引起機(jī)械和結(jié)構(gòu)很大的變形和動(dòng)應(yīng)力，即共振失效。為此，以某型號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)為對(duì)象，利用所提方法對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性分析，并與其他主要方法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證所提方法的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖7為一發(fā)動(dòng)機(jī)配氣機(jī)構(gòu)系統(tǒng)簡圖。其中，mt、mv、ms分別為挺柱AD、氣門BC和氣門彈簧質(zhì)量；I、θ分別為搖臂AB對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)動(dòng)角度；a、b分別為挺柱、氣門到搖臂中心的距離；ks、kt分別為閥簧剛度和簡化后挺柱的剛度，取kt=0；c一般為阻尼系數(shù)，由模態(tài)理論可知，阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的固有頻率影響可忽略不計(jì)，此處不予考慮。各隨機(jī)變量的分布信息如表6所示。根據(jù)文獻(xiàn)［26］所推導(dǎo)的配氣系統(tǒng)振動(dòng)可靠性的功能函數(shù)如下：

式中，ω為系統(tǒng)的固有頻率；f為系統(tǒng)激振頻率的統(tǒng)計(jì)量；γ為固定閾值，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般取系統(tǒng)固有頻率均值的10%～15%。

與數(shù)值算例的求解流程類似，首先根據(jù)變量的分布函數(shù)生成候選樣本池，然后利用LHS抽樣抽取12個(gè)樣本點(diǎn)作為初始樣本點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，各方法計(jì)算結(jié)果如表7所示。結(jié)合表7可以看出，本案例中采用代理模型進(jìn)行可靠性分析的精度都比較高，但本文提出的方法計(jì)算成本最低，說明與算例1、2相比，集成Kriging模型在擬合高維非線性函數(shù)時(shí)具有較大優(yōu)勢(shì)，僅需調(diào)用功能函數(shù)12+33次，極大地減小了計(jì)算量。

圖8展示了本算例中不同Kriging模型的權(quán)重系數(shù)隨模型迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)，可以看出PC-Kriging模型的權(quán)重系數(shù)整體上遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于常量回歸Kriging模型的權(quán)重系數(shù)。

結(jié)合圖3可以看出，在擬合高維非線性函數(shù)時(shí)，結(jié)合PCE的Kriging模型相比于常量回歸Kriging模型更有優(yōu)勢(shì)，采用常量回歸函數(shù)和指數(shù)函數(shù)作為相關(guān)函數(shù)的Kriging模型精度較低，說明此類模型對(duì)高維非線性函數(shù)的擬合效果不佳。

為了進(jìn)一步說明本文提出的集成模型在解決實(shí)際問題時(shí)具有較高的穩(wěn)定性，現(xiàn)分別使用本文的集成模型和8種Kriging模型對(duì)該算例計(jì)算30次，其結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯黾赡Ｐ偷挠?jì)算次數(shù)和計(jì)算結(jié)果的波動(dòng)均最小，說明集成模型的穩(wěn)定性較好，與單一Kriging模型相比，集成模型穩(wěn)定性和精度均有一定的提高。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于集成Kriging模型與改進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)函數(shù)相結(jié)合的可靠性分析方法，并利用2個(gè)數(shù)值算例和1個(gè)工程案例驗(yàn)證了本文所提方法的有效性和高效性，主要結(jié)論如下：

（1）基于自適應(yīng)集成策略對(duì)不同回歸函數(shù)和不同相關(guān)函數(shù)下的Kriging模型進(jìn)行集成，與單一Kriging模型相比，集成模型具有更高的穩(wěn)健性，在解決工程實(shí)際問題時(shí)，能通過構(gòu)建更穩(wěn)健的代理模型來計(jì)算可靠度，保證計(jì)算結(jié)果可靠。

（2）在IEGO學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上所提出的改進(jìn)學(xué)習(xí)函數(shù)，既能夠使最佳樣本點(diǎn)分布于極限狀態(tài)面附近，保證Kriging模型在極限狀態(tài)面附近的擬合精度，又綜合考慮了樣本點(diǎn)之間的距離對(duì)擬合精度和擬合效率的影響，使得樣本點(diǎn)能均勻分布于極限狀態(tài)面附近，避免了樣本點(diǎn)出現(xiàn)局部聚集，從而導(dǎo)致選點(diǎn)浪費(fèi)。

（3）數(shù)值和工程算例驗(yàn)證了集成Kriging模型在處理高維非線性函數(shù)時(shí)具有較大優(yōu)勢(shì)，能夠在保證計(jì)算精度的條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的高效求解。

本文所提出的集成Kriging模型的權(quán)重是將全局留一交叉驗(yàn)證誤差（LOO）作為全局預(yù)測(cè)誤差來確定各個(gè)模型的權(quán)重，但LOO是一種高方差估計(jì)，可能會(huì)導(dǎo)致某些性能較差的模型獲得較高的權(quán)重，影響集成Kriging模型的擬合性能，在未來研究中，可考慮制定更有效的權(quán)重策略，以進(jìn)一步提高模型的穩(wěn)健性和求解精度。

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