葉伯生 金雄程 黎晗 邵柏巖 李曉昆 李思澳

摘要：針對機(jī)器人誤差模型建立后的誤差補(bǔ)償問題，提出一種改進(jìn)的偽目標(biāo)迭代算法。該算法用每次迭代中生成新的偽目標(biāo)來修正關(guān)節(jié)角，從而不斷減小機(jī)器人實(shí)際誤差。完善了偽目標(biāo)迭代算法流程，提出了5種新的不同的偽目標(biāo)生成方法，分析了各種方法的特點(diǎn)和適用場景。結(jié)合多種偽目標(biāo)生成方法提出了一種集成算法，進(jìn)一步提高誤差補(bǔ)償精度。使用HSR-JR612機(jī)器人進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明，算法耗時(shí)在毫秒級別，補(bǔ)償效果好，集成算法能進(jìn)一步提高位姿補(bǔ)償效果。最后使用UR10機(jī)器人與激光跟蹤儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，補(bǔ)償后機(jī)器人末端位置誤差可以減小到0.06 mm以內(nèi)，姿態(tài)誤差可以減小到0.025°以內(nèi)。

關(guān)鍵詞：機(jī)器人；誤差補(bǔ)償；定位精度；偽目標(biāo)

中圖分類號：TP242.2

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.013

Robot Error Compensation Algorithm by Pseudo Target Iterative Generation

YE Bosheng JIN Xiongcheng LI Han SHAO Baiyan LI Xiaokun LI Siao

School of Mechanical Science and Engineering，Huazhong University of Science and Technology，

Wuhan，430074

Abstract： Aiming at the problems of error compensation after robot error modeling， an improved algorithm was proposed based on pseudo target iteration. This algorithm generated a new pseudo target in each iteration to correct the joint angles， thereby continuously reducing the actual errors of the robot. The pseudo target iterative algorithmic process was improved to mature the algorithm flow， 5 new and different false target generation methods were proposed， and the characteristics and applicable scenarios of each method were analyzed. An ensemble algorithm was proposed combining multiple false target generation methods to further improve the accuracy of error compensation. Using the HSR-JR612 robot to carry out simulation experiments， the simulation results show that the algorithm takes milliseconds and the compensation effectiveness is good， and the integrated algorithm may further improve the pose compensation effect. Finally， the UR10 robot and the laser tracker were used for experiments. The experimental results show that after compensation， the position errors of the robot end may be reduced to less than 0.06 mm， and the attitude errors may be reduced to less than 0.025°.

Key words： robot； error compensation； positioning accuracy； pseudo target

0 引言

工業(yè)機(jī)器人末端位置誤差主要分為幾何參數(shù)誤差和非幾何參數(shù)誤差［1］，幾何參數(shù)包括關(guān)節(jié)角、連桿長度、連桿偏置等［2］，可以先進(jìn)行幾何參數(shù)辨識，再直接修正控制器內(nèi)部的對應(yīng)參數(shù)來補(bǔ)償幾何參數(shù)誤差。ZENG等［3］和CHEN等［4］在計(jì)算合理的位置誤差后，直接修改機(jī)器人控制命令中的位置坐標(biāo)來實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償。但是許多機(jī)器人的控制器沒有開放底層修改權(quán)限，而且非幾何參數(shù)誤差不能通過直接修改控制器參數(shù)來補(bǔ)償。

為了提高機(jī)器人末端精度，需要準(zhǔn)確的補(bǔ)償技術(shù)對辨識出來的誤差進(jìn)行補(bǔ)償。ANGELIDIS等［5］設(shè)計(jì)了一種能夠直接預(yù)測指令位置的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在此指令位置下機(jī)器人實(shí)際輸出的位置接近期望位置。但這類算法沒有直接計(jì)算實(shí)際誤差然后補(bǔ)償，對數(shù)據(jù)集的依賴性大，即數(shù)據(jù)采集成本高。倪華康等［6］采用微分誤差補(bǔ)償法來補(bǔ)償幾何參數(shù)誤差和基坐標(biāo)系誤差造成的末端誤差。此類方法較為常用，但這種方法只進(jìn)行一次補(bǔ)償，補(bǔ)償效果有進(jìn)一步的提高空間。陳宵燕［7］基于誤差模型提出了一種笛卡兒空間攝動(dòng)補(bǔ)償算法，原理是基于最小二乘法最小化殘余誤差，補(bǔ)償效果較好，但算法運(yùn)算量大。何慶稀等［8］將激光跟蹤儀測出的位姿偏差直接附加到指令位姿實(shí)現(xiàn)在線位姿補(bǔ)償，此類方法原理簡單但補(bǔ)償精度有限。預(yù)測補(bǔ)償法是一種輸入運(yùn)動(dòng)規(guī)劃法［9］，能將笛卡兒空間的位置誤差映射到關(guān)節(jié)空間中，通過修正關(guān)節(jié)角來實(shí)現(xiàn)末端誤差補(bǔ)償。NGUYEN等［10］使用逆雅可比矩陣將位置誤差轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)角補(bǔ)償值，但可能存在矩陣奇異性問題。奚陶［11］基于Newton-Raphson法根據(jù)末端位置誤差來修正關(guān)節(jié)角。DEVLIEG等［12］提出采用關(guān)節(jié)空間補(bǔ)償法對關(guān)節(jié)間隙引起的位置誤差進(jìn)行在線補(bǔ)償。上述幾種預(yù)測補(bǔ)償算法補(bǔ)償精度高，但沒有對算法耗時(shí)進(jìn)行具體的量化討論。尹仕斌［13］提出了一種基于偽目標(biāo)位姿迭代的算法來補(bǔ)償實(shí)際輸入的關(guān)節(jié)角，該算法每個(gè)位置點(diǎn)的平均迭代次數(shù)在3～5次，效率較高。

針對建立誤差辨識模型后的誤差補(bǔ)償環(huán)節(jié)，本文提出一種改進(jìn)的基于偽目標(biāo)迭代的誤差補(bǔ)償算法，通過修正關(guān)節(jié)角實(shí)現(xiàn)位置或位姿的誤差補(bǔ)償。關(guān)于算法中的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，提出使用數(shù)值迭代法來代替解析法，另外提出5種新的偽目標(biāo)生成方法，并綜合多種生成方式來提高補(bǔ)償精度。最后使用HSR-JR612機(jī)器人進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證算法的有效性。

1 誤差補(bǔ)償算法介紹

如果不考慮機(jī)器人實(shí)際存在的幾何誤差及非幾何誤差，在每次作業(yè)中，機(jī)器人會通過逆運(yùn)動(dòng)學(xué)由目標(biāo)位姿Td（相對于機(jī)器人基坐標(biāo)系）得到機(jī)器人的理論輸入關(guān)節(jié)角θd，并將其輸入控制器，二者關(guān)系如下：

θd=IK（Td）（1）

其中，目標(biāo)位姿Td∈SE（3），SE（3）表示三維特殊歐氏群（special Euclidean group），IK（·）為機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)。本文的討論對象是六自由度關(guān)節(jié)機(jī)器人，因此關(guān)節(jié)角向量θd∈R6。

實(shí)際上機(jī)器人受幾何誤差、關(guān)節(jié)柔性誤差等各種因素影響，其末端存在一定的誤差，為此，需要準(zhǔn)確的誤差辨識模型（或稱誤差預(yù)測模型）去預(yù)測不同關(guān)節(jié)角下的末端誤差。本文的算法根據(jù)預(yù)測或測量得到的誤差，對輸入關(guān)節(jié)角進(jìn)行修正，得到修正的關(guān)節(jié)角θa，使得實(shí)際機(jī)器人末端位置在關(guān)節(jié)角為θa時(shí)盡可能地逼近目標(biāo)位置。

建立誤差辨識模型后，將預(yù)測實(shí)際末端位姿的函數(shù)（actual pose predictor）設(shè)為AP（θ），輸入為一組關(guān)節(jié)角，輸出為預(yù)測的實(shí)際末端位姿。該函數(shù)可針對不同機(jī)器人選用準(zhǔn)確的誤差預(yù)測模型進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，比如可以使用分級誤差預(yù)測模型［2，10］或其他誤差預(yù)測模型［5］。

將修正關(guān)節(jié)角度θa通過理論正運(yùn)動(dòng)學(xué)得到的位姿定義為偽目標(biāo)（pseudo target，PT）位姿點(diǎn)Tp。算法的最終目的是使該修正關(guān)節(jié)角θa對應(yīng)的實(shí)際末端位姿Ta逼近目標(biāo)位姿Td。綜上，有如下關(guān)系成立：

Tp=FK（θa）（2）

θa=IK（Tp）（3）

Ta=AP（θa）（4）

其中，F(xiàn)K（·）為機(jī)器人理想模型的正運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)，修正關(guān)節(jié)角θa∈R6，位姿Ta、Tp均屬于SE（3）。

基于文獻(xiàn)［13］提出的“偽目標(biāo)位姿”迭代補(bǔ)償算法，本文進(jìn)一步拓展和改進(jìn)，采用不同的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)，提出多種新的偽目標(biāo)生成方式。改進(jìn)的偽目標(biāo)生成迭代算法主要流程如圖1所示。

主要過程描述如下：

（1）迭代開始。迭代次數(shù)k=0，將修正關(guān)節(jié)角的初始值θ（0）a設(shè)為θd，將初始偽目標(biāo)T（0）p設(shè)為目標(biāo)位姿Td，二者關(guān)系如式（1）所示。設(shè)置變量Ebest來記錄最小的末端誤差，變量θbest記錄最小誤差對應(yīng)的修正關(guān)節(jié)角，Ebest的初始值設(shè)為一個(gè)較大數(shù)即可，如圖1中將其設(shè)為100。

（2）根據(jù)式（4）計(jì)算θ（k）a對應(yīng)的末端實(shí)際位姿：

T（k）a=AP（θ（k）a）（5）

（3）計(jì)算第k次迭代中θ（k）a對應(yīng)的末端實(shí)際位姿及其與目標(biāo)位姿Td間的誤差：

E=ε（T（k）a，Td）（6）

式中，函數(shù)ε（·）用來計(jì)算兩個(gè)位姿之間的誤差，根據(jù)不同的需求，可以用不同的誤差計(jì)算函數(shù)。

當(dāng)只關(guān)心末端位置精度時(shí)，誤差計(jì)算可以使用下式所示的笛卡兒空間位置誤差公式：

式中，P（k）ax、P（k）ay、P（k）az為T（k）a在3個(gè)笛卡兒坐標(biāo)軸上的位置分量；Pdx、Pdy、Pdz為Td在3個(gè)笛卡兒坐標(biāo)軸上的位置分量。

同時(shí)考慮位置精度和姿態(tài)精度時(shí)，誤差計(jì)算可以采用文獻(xiàn)［13-14］中所使用的位姿誤差計(jì)算公式：

其中，E的計(jì)算結(jié)果單位為mm，xe、ye、ze、r（1）e1、r（2）e2、r（3）e3由下式求得：

（4）計(jì)算誤差E后，若E＜Ebest，則更新Ebest和θbest；否則繼續(xù)迭代，更新迭代次數(shù)k←k+1。若更新了Ebest，同時(shí)Ebest小于閾值或迭代次數(shù)k大于預(yù)設(shè)值，則停止迭代，輸出θbest作為最終修正關(guān)節(jié)角輸出；否則繼續(xù)迭代，更新迭代次數(shù)k←k+1。

（5）根據(jù)上一次迭代生成第k（k>0）次迭代的偽目標(biāo)位姿：

T（k）p=PT（T（k－1）p，T（k－1）a，Td）（10）

式中，PT（·）為偽目標(biāo)生成函數(shù)。

（6）通過迭代逆運(yùn)動(dòng)學(xué)（iterative inverse kinematics，IIK）算法計(jì)算偽目標(biāo)對應(yīng)的關(guān)節(jié)角：

θ（k）a=IIK（T（k）p，θ（k－1）a，ΘIIK）（11）

其中，IIK（·）為迭代法逆運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)，這類算法除了要輸入姿態(tài)，一般還需要輸入一組關(guān)節(jié)角初值和標(biāo)志迭代結(jié)束的誤差閾值；ΘIIK為標(biāo)志迭代結(jié)束的誤差閾值。

如式（11）所示，迭代逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將上一個(gè)偽目標(biāo)對應(yīng)的關(guān)節(jié)角θ（k－1）a作為迭代初始值，由于每次生成的偽目標(biāo)和上一次迭代生成的偽目標(biāo)比較接近，所以選用該初值能夠提高逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法效率，同時(shí)保證算法穩(wěn)定性。經(jīng)過比較，本文以及后續(xù)的仿真中將使用文獻(xiàn)［15］中的迭代算法，該算法在迭代后期有較好的穩(wěn)定性。

（7）返回步驟（2）并重復(fù)之后的步驟。

2 多種偽目標(biāo)生成方式

偽目標(biāo)生成的原則為：偽目標(biāo)加上其對應(yīng)誤差后的末端實(shí)際位姿能夠逼近目標(biāo)位姿Td，下面將討論式（10）中偽目標(biāo)生成函數(shù)PT（·）的具體實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［13］提出的偽目標(biāo)生成函數(shù)已經(jīng)被驗(yàn)證有較好的補(bǔ)償效果，其具體實(shí)現(xiàn)如下式所示：

T（k）p=T（k－1）p（T（k－1）a）－1Td（12）

由于算法思想是類似的，因此偽目標(biāo)生成方式的流程應(yīng)該為：參考目標(biāo)位姿Td和實(shí)際位姿T（k－1）a間的偏差，在上一個(gè)偽目標(biāo)位姿T（k－1）p的基礎(chǔ)上生成下一個(gè)偽目標(biāo)。機(jī)器人末端位姿可以表示為

其中，姿態(tài)部分R∈SO（3），SO（3）為三維特殊正交群（special orthogonal group），位置部分P∈R3。

在偽目標(biāo)生成方法中，本文將位置和姿態(tài)分別進(jìn)行處理。

2.1 位置部分生成方法

偽目標(biāo)生成的重點(diǎn)在于找到合適的方法去衡量偽目標(biāo)位姿與目標(biāo)位姿間的偏差，并靠生成新的偽目標(biāo)來補(bǔ)償這個(gè)偏差，其中位置部分的差距使用坐標(biāo)相減的差來衡量。本文提出的偽目標(biāo)生成算法中，位置部分均采用下式進(jìn)行計(jì)算：

P（k）p=P（k－1）p－ΔP=P（k－1）p－（P（k－1）a－Pd）=

P（k－1）p+Pd－P（k－1）a（14）

其中，P（k）p為第k次迭代生成的偽目標(biāo)的位置，P（k－1）a為上一次迭代中關(guān)節(jié)角θ（k－1）a對應(yīng)的實(shí)際位置，Pd為目標(biāo)位置。三者均屬于R3。

2.2 姿態(tài)部分生成方法

偽目標(biāo)生成算法的姿態(tài)部分可采用多種方式處理，本文將對比討論這幾種方法。下文提到的R（k）p表示第k次生成的偽目標(biāo)的姿態(tài)，R（k－1）a為第k－1次迭代中關(guān)節(jié)角對應(yīng)的實(shí)際位置，Rd為目標(biāo)位姿的姿態(tài)部分，三者均屬于SO（3）。

（1）固定姿態(tài)法。若只考慮位置誤差而不關(guān)心姿態(tài)誤差，則可以一直選擇目標(biāo)姿態(tài)Rd作為偽目標(biāo)的姿態(tài)，即選擇如下策略更新偽目標(biāo)的姿態(tài)部分：

R（k）p=Rd（15）

式（15）的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算量小，效率高，缺點(diǎn)在于沒有考慮位姿部分的誤差，最終可能會出現(xiàn)末端位置誤差小但姿態(tài)誤差大的補(bǔ)償結(jié)果，所以不適用于對位姿精度要求高的情況。

（2）直接加減法。將姿態(tài)誤差定義為相減，通過加減來實(shí)現(xiàn)偽目標(biāo)更新，此時(shí)更新策略如下：

R（k）p=R（k－1）p+Rd－R（k－1）a（16）

式（16）明顯的缺點(diǎn)在于不能保證R（k）p∈SO（3），所以生成的偽目標(biāo)不一定是有效的姿態(tài)矩陣，在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)可能會無解。但本文提出使用的迭代逆運(yùn)動(dòng)學(xué)屬于數(shù)值求解法，能在一定程度上緩解這種情況，只要設(shè)置合適的迭代結(jié)束閾值ΘIIK，也能夠使整體算法迭代收斂，并使結(jié)果有效。式（16）的優(yōu)點(diǎn)在于運(yùn)算簡單，相比于固定姿態(tài)法多考慮了姿態(tài)誤差，理論上能夠進(jìn)一于步提高姿態(tài)精度。

（3）直接相乘法。為了保證生成的偽目標(biāo)的姿態(tài)R（k）p∈SO（3），定義如下的姿態(tài)更新策略：

R（k）p=Rd（R（k－1）a）－1R（k－1）p=Rd（R（k－1）a）TR（k－1）p（17）

文獻(xiàn)［13］提出的式（12）中的矩陣相乘需要進(jìn)行128次實(shí)數(shù)乘法，而式（17）與式（14）總共只需54次實(shí)數(shù)乘法，同時(shí)基于SO（3）的性質(zhì)，矩陣逆運(yùn)算轉(zhuǎn)變成了運(yùn)算簡單的矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算，所以直接相乘法理論上有更高的運(yùn)算效率。

（4）三角度轉(zhuǎn)換法。機(jī)器人軌跡插補(bǔ)領(lǐng)域中有一種經(jīng)典方法是先將姿態(tài)轉(zhuǎn)換成三角度表示法（如歐拉角形式、導(dǎo)航角形式）進(jìn)行處理，再將姿態(tài)轉(zhuǎn)換回SO（3）的形式。所以可以考慮在歐拉角空間或?qū)Ш浇强臻g進(jìn)行如同式（16）的操作，更新策略如下：

R（k）p=EtoR（RtoE（R（k－1）p）+RtoE（Rd）－RtoE（R（k－1）a））（18）

其中，EtoR（·）是將姿態(tài)從SO（3）形式轉(zhuǎn)換為三角度表示法形式的變換函數(shù)，RtoE（·）是其逆變換，可調(diào)用現(xiàn)有的相關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。

三角度表示法可以采用Z-Y-Z序列形式（即歐拉角形式），也可采用X-Y-Z序列形式（即導(dǎo)航角形式）。三角度轉(zhuǎn)換法提出了一種新的處理角度方法，但缺點(diǎn)是這類姿態(tài)表示方法可能存在萬向節(jié)死鎖問題，雖然是極少數(shù)情況，但這可能會導(dǎo)致算法無法求解。

（5）單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換法。姿態(tài)還可以使用單位四元數(shù)（unit quaternion）描述，四元數(shù)不存在萬向節(jié)死鎖問題，同時(shí)四元數(shù)、SO（3）矩陣和歐拉角之間能進(jìn)行無信息損失轉(zhuǎn)換［16-17］。一個(gè)單位四元數(shù)q滿足：q∈Q且其模|q|=1，其中，Q為四元數(shù)集合。

在本方法中，首先將姿態(tài)R（k）p、R（k－1）a、Rd轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的單位四元數(shù)形式q（k）p、q（k－1）a、qd，可以使用文獻(xiàn)［16］中的方法或直接調(diào)用相關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。根據(jù)單位四元數(shù)性質(zhì)，得到如下更新偽目標(biāo)公式：

q（k）p=q（k－1）p（q－1dq（k－1）a）－1=q（k－1）p（q（k－1）a）*qd（19）

式中，（q（k－1）p）*表示q（k－1）p的共軛四元數(shù)，共軛運(yùn)算即四元數(shù)所有虛部取反。

最后需要將q（k）p轉(zhuǎn)換為SO（3）形式。本方法的創(chuàng)新在于效仿了球面線性插補(bǔ)（spherical linear interpolation）算法［17］的思想，提出在單位四元數(shù)空間中生成偽目標(biāo)的姿態(tài)，優(yōu)點(diǎn)在于沒有萬向節(jié)死鎖問題，缺點(diǎn)是有兩次形式轉(zhuǎn)換的過程，運(yùn)算成本會稍微高一些。

3 多算法集成

基于上述多種偽目標(biāo)生成算法以及文獻(xiàn)［13］的算法，結(jié)合其各自的優(yōu)缺點(diǎn)，本文提出對多個(gè)算法進(jìn)行集成使用的思路，即對于某個(gè)待補(bǔ)償?shù)哪繕?biāo)點(diǎn)，使用多個(gè)算法求解補(bǔ)償后的關(guān)節(jié)角，最后對比各自的補(bǔ)償效果，選擇效果最好的關(guān)節(jié)角作為最終輸出關(guān)節(jié)角，流程如圖2所示。

考慮到不同生成算法對不同目標(biāo)點(diǎn)的誤差補(bǔ)償效果不同，采用這種有效的策略可發(fā)揮各個(gè)生成算法的優(yōu)勢。

4 算法驗(yàn)證

4.1 仿真驗(yàn)證

本節(jié)將使用HSR-JR612機(jī)器人及文獻(xiàn)［2］中的誤差模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過補(bǔ)償仿真出來的誤差來驗(yàn)證所述算法的有效性，并計(jì)算各個(gè)算法的耗時(shí)。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的D-H參數(shù)如表1所示。

機(jī)器人通過D-H建模得到的正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型用f（a，d，α，θ）來表示，其中，a為包含各連桿長度的向量，d為包含各連桿偏置的向量，α為包含各連桿扭曲的向量，θ為各關(guān)節(jié)角角度向量。上述變量均屬于R6。

參考文獻(xiàn)［2］，本次仿真實(shí)驗(yàn)中主要對幾何參數(shù)誤差以及受機(jī)器人自重等影響造成的關(guān)節(jié)柔性誤差進(jìn)行仿真。此時(shí)式（5）中計(jì)算實(shí)際位姿的AP（·）函數(shù)應(yīng)該是根據(jù)正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型進(jìn)行修正后得到的模型，可以表示為

AP（θ）=f（a+Δa，d+Δd，α+Δα，θ+Δθ+δθ）（20）

δθ=（δθ1，δθ2，δθ3，δθ4，δθ5，δθ6）T

式中，Δa、Δd、Δα、Δθ為機(jī)械臂的幾何參數(shù)誤差；δθ為關(guān)節(jié)柔性誤差，即機(jī)械臂自重等原因造成的額外關(guān)節(jié)角誤差。

本次仿真中，機(jī)器人幾何參數(shù)誤差的取值如表2所示。

關(guān)節(jié)柔性誤差主要考慮受機(jī)械臂自重影響明顯的關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3，其他柔性誤差視為0，即δθ1=δθ4=δθ5=δθ6=0。δθ2和δθ3的計(jì)算如下式所示：

δθ2=k1sin θ2+k2sin（θ2+θ3）+k3cos（θ2+θ3）（21）

δθ3=k4sin（θ2+θ3）+k5cos（θ2+θ3）（22）

其中，θi（i=1，2，…，6）為第i個(gè)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角；本次仿真中其他常數(shù)選取較小值k1=1×10－3，k2=k3=k4=k5=5×10－4。

偽目標(biāo)生成算法的迭代過程中誤差計(jì)算函數(shù)使用式（7），該公式用于計(jì)算末端位置誤差，表示優(yōu)先以最小化位置誤差為補(bǔ)償目標(biāo)。本文還將計(jì)算位姿誤差來方便對比，位姿誤差使用式（8）進(jìn)行計(jì)算。

逆運(yùn)動(dòng)學(xué)函數(shù)IIK（·）選用文獻(xiàn)［15］中改進(jìn)的Levenberg-Marquardt（LM）算法，該逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法需要如下幾個(gè)參數(shù)：標(biāo)志迭代結(jié)束的閾值參數(shù)ΘIIK、最大迭代次數(shù)、防止計(jì)算過程中雅可比矩陣出現(xiàn)奇異值的極小偏置值ω-N。本次仿真中的相關(guān)參數(shù)取值和關(guān)節(jié)角數(shù)據(jù)采集范圍選取如表3所示。

在關(guān)節(jié)角范圍內(nèi)隨機(jī)選取1000組關(guān)節(jié)角，使用本文算法求解修正后的關(guān)節(jié)角，并記錄對應(yīng)的誤差，結(jié)果如表4所示。

結(jié)果表明，本文提出的算法均能夠有效地通過修正關(guān)節(jié)角來補(bǔ)償位置誤差，并且耗時(shí)短，算法效率高。其中，值得注意的是：

（1）固定姿態(tài)法的耗時(shí)最短，因?yàn)槠溥\(yùn)算量最小，同時(shí)該算法的位置誤差補(bǔ)償效果也最好。不足之處在于位姿誤差的補(bǔ)償效果相對較差。

（2）其他方法的補(bǔ)償效果和耗時(shí)都相近。由于歐拉角法和導(dǎo)航角法有兩次轉(zhuǎn)換過程，故耗時(shí)相對較長。考慮到第2節(jié)關(guān)于直接加減法、三角度法的局限性分析，建議優(yōu)先使用直接相乘法和單位四元數(shù)法這兩種方法。

（3）雖然幾種方法的誤差補(bǔ)償效果的整體平均值相近，但各種方法在各個(gè)位置點(diǎn)上的補(bǔ)償效果并不相同，所以為了發(fā)揮各種方法的補(bǔ)償優(yōu)勢，需要考慮使用集成算法。

現(xiàn)比較文獻(xiàn)［13］方法、單位四元數(shù)法以及綜合以上兩種方法的集成算法三者的補(bǔ)償效果，結(jié)果如圖3所示。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，集成算法在1000組修正關(guān)節(jié)角的選擇中，有521組選用的是單位四元數(shù)的修正結(jié)果。結(jié)果表明，集成算法能非常有效地提高位姿誤差補(bǔ)償效果，所以在需要位姿補(bǔ)償?shù)膱鼍翱梢詢?yōu)先考慮使用集成算法。

為了驗(yàn)證本文算法的軌跡修正效果，在工作空間內(nèi)指定一條如圖4所示的圓周軌跡，末端姿態(tài)是固定值，軌跡規(guī)劃使用梯形速度法，共使用2000個(gè)采樣點(diǎn)。

首先對期望軌跡上每個(gè)末端點(diǎn)進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)算，得到一組關(guān)節(jié)角序列，并將其代入式（20）得到修正前的軌跡；然后使用基于直接相乘法和單位四元數(shù)法的集成算法對每個(gè)軌跡點(diǎn)對應(yīng)的關(guān)節(jié)角進(jìn)行修正，將修正后的關(guān)節(jié)角代入式（20）得到修正后的軌跡，效果如圖4所示，軌跡上每隔80個(gè)采樣點(diǎn)作一個(gè)標(biāo)記。

仿真結(jié)果中，修正前軌跡的平均位置誤差為14.21 mm，修正后軌跡的平均位置誤差為0.002 mm。結(jié)果表明，本文所提算法能很好地通過修正關(guān)節(jié)角對連續(xù)的軌跡點(diǎn)進(jìn)行修正，修正后的軌跡表現(xiàn)穩(wěn)定且貼近期望軌跡。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法的有效性，實(shí)驗(yàn)中直接使用實(shí)際采集到的末端位姿數(shù)據(jù)作為第1節(jié)誤差補(bǔ)償算法步驟（2）中的實(shí)際末端位姿，即該步驟變?yōu)槊看螌㈥P(guān)節(jié)角θ（k）a輸入機(jī)器人，測量得到實(shí)際末端位姿T（k）a。本次實(shí)驗(yàn)的操作對象為UR10機(jī)器人（重復(fù)定位精度為±0.03 mm），測量設(shè)備使用Leica AT901-MR激光跟蹤儀系統(tǒng)（測量精度為±15 μm+6 μm/m），在機(jī)器人末端安裝3個(gè)靶球用于位姿測量，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場如圖5所示。

在機(jī)器人工作空間內(nèi)隨機(jī)選擇若干位姿作為目標(biāo)位姿Td，實(shí)驗(yàn)過程按照第1節(jié)補(bǔ)償算法流程進(jìn)行，并測量記錄實(shí)際位姿誤差。圖6展示了某個(gè)目標(biāo)位姿的誤差補(bǔ)償過程，姿態(tài)表示使用Z-Y-Z序列歐拉角，偽目標(biāo)生成方式選用歐拉角法。

由圖6可知，第一次補(bǔ)償已經(jīng)能夠大幅度降低誤差，多次補(bǔ)償后位姿精度得到明顯提高。位置誤差從0.8756 mm降低到0.0359 mm，姿態(tài)誤差從0.3930°減小到0.0084°（取三個(gè)分量平方和的開方）。下面選取多組不同目標(biāo)位姿進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行2次補(bǔ)償，偽目標(biāo)生成法使用歐拉角法，記錄補(bǔ)償前后的誤差，結(jié)果如圖7所示。為了更好地觀察補(bǔ)償效果，圖中補(bǔ)償前誤差均取絕對值。

經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，平均位置誤差從1.1257 mm減小到0.0262 mm，最大位置誤差減小到0.0577 mm。平均姿態(tài)誤差從0.3155°減小到0.012°，最大姿態(tài)誤差減小到0.0247°。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的誤差補(bǔ)償算法能夠有效地補(bǔ)償機(jī)器人末端位姿誤差，并且補(bǔ)償效率高。

5 結(jié)論

本文提出的誤差補(bǔ)償算法能夠通過修正關(guān)節(jié)角來補(bǔ)償辨識出的誤差，誤差補(bǔ)償仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

（1）算法誤差補(bǔ)償效果很好，實(shí)驗(yàn)中能使機(jī)器人的末端位置誤差最大值保持在0.06 mm以內(nèi)，并且算法耗時(shí)短、效率高。仿真結(jié)果表明算法能有效減小軌跡的平均位置誤差，且修正后的軌跡表現(xiàn)穩(wěn)定。

（2）本文算法可以用于任何形式的誤差辨識后的誤差補(bǔ)償步驟，有較廣的應(yīng)用前景。不同的偽目標(biāo)生成算法各有特點(diǎn)，可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場景和具體需求來進(jìn)行選擇。在只考慮位置誤差的情況下，應(yīng)該優(yōu)先考慮使用計(jì)算量少的固定姿態(tài)法；在考慮位姿誤差的情況下，可以優(yōu)先使用單位四元數(shù)法和直接相乘法；在時(shí)間允許的情況下，可以選擇集成多種算法進(jìn)一步提高補(bǔ)償效果。

（3）如果機(jī)器人在點(diǎn)位控制中可以實(shí)時(shí)測量反饋末端實(shí)際位姿并允許迭代補(bǔ)償，那么可以將實(shí)際測量的位姿替換算法中通過函數(shù)預(yù)測的實(shí)際位姿，實(shí)現(xiàn)更精確的實(shí)時(shí)補(bǔ)償功能。

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