胡波 安錦運 尹來容 周長江

摘要：小模數(shù)齒輪傳動中心距較小，其動態(tài)性能對中心距誤差非常敏感，且中間級齒輪常被設計在固定軸上高速旋轉(zhuǎn)，齒輪中心孔與軸之間存在間隙，考慮這些特征，建立了中心距誤差與軸孔配合間隙影響下的齒輪嚙合特性參數(shù)與時變嚙合剛度計算模型，研究了二者對嚙合剛度的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明：中心距誤差會改變齒輪副的重合度與嚙合剛度；軸孔配合間隙使實際中心距圍繞理論中心距上下周期性波動，導致整個周期內(nèi)嚙合剛度強化區(qū)域與弱化區(qū)域共存；中心距誤差與軸孔配合間隙的影響在不同的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)存在既有相互疊加又有相互削弱的現(xiàn)象，這一現(xiàn)象使得各輪齒的嚙合剛度有差異，存在誘發(fā)更大振動與不同噪聲的風險。

關(guān)鍵詞：小模數(shù)齒輪；時變嚙合剛度；中心距誤差；軸孔配合間隙

中圖分類號：TH112

DOI：10.3969/j.issn.1004132X.2024.01.007

Calculation Method of Time-varying Meshing Stiffness of Small Module

Gear Transmissions

HU Bo1 AN Jinyun1 YIN Lairong1 ZHOU Changjiang2

1.College of Automotive and Mechanical Engineering，Changsha University of Science and

Technology，Changsha，410114

2.College of Mechanical and Vehicle Engineering，Hunan University，Changsha，410082

Abstract： Due to the small center distance， the dynamic performance of small modulus gear transmissions was very sensitive to the center distance errors. In addition， the intermediate gears were often designed to rotate at high speed on the fixed shaft， and there were clearances between the gear center hole and the shaft. Therefore， the calculation model of the gear mesh characteristic parameters and time-varying mesh stiffness under the influences of the center distance errors and the shaft hole fit clearances was established， and the influence laws of the two factors mentioned on the mesh stiffness were investigated. The results show that the center distance errors will change the contact degree and meshing stiffness of the gear pairs. The shaft hole clearance causes the actual center distance to fluctuate periodically around the theoretical center distance， which leads to the coexistence of the strengthening and weakening regions of the meshing stiffness in the whole cycle. The influences of center distance errors and shaft hole fit clearances both superimposed and weakened each other in different angle ranges， resulting in the difference in meshing stiffness of each gear tooth， and the risk of inducing greater vibration and different noise.

Key words： small module gear; time-varying meshing stiffness; center distance error; shaft hole fit clearance

0 引言

隨著智能時代的到來，小模數(shù)齒輪成為了5G通信、無人機、智能家居與服務機器人等戰(zhàn)略新型產(chǎn)業(yè)的核心零部件。然而，隨著零部件體積被極大壓縮［1］，中間級齒輪常被設計在固定軸上高速旋轉(zhuǎn)，導致齒輪中心孔與軸之間存在間隙，形成類滑動軸承結(jié)構(gòu)。小模數(shù)齒輪副的中心距一般極小，對中心距誤差非常敏感。此外，軸孔配合間隙會降低齒輪的重合度，改變時變嚙合剛度，成為引起小模數(shù)齒輪副振動與噪聲的主要原因之一。因此，有必要研究中心距誤差與軸孔配合間隙影響下小模數(shù)齒輪的時變嚙合剛度計算方法。

時變嚙合剛度是齒輪動力學研究中的一個重要參數(shù)，自TUPLIN等［2］通過將輪齒嚙合假定為定剛度的彈簧連接進而提出等效嚙合剛度的概念以來，齒輪嚙合剛度的研究得到了許多學者的關(guān)注，并逐步發(fā)展了解析法、有限元法與實驗法等多種研究方法。早期的齒輪集中質(zhì)量動力學模型中，嚙合剛度常被假設為定值，而實際上隨著齒廓接觸位置的移動，嚙合剛度呈周期性變化。隨后，基于懸臂梯形梁假設的石川剛度模型在一段時間內(nèi)得到了廣泛應用。因考慮了實際齒廓的影響，基于Weber-Banaschek法［3］的勢能法運用非常廣泛。YANG等［4］通過考慮輪齒接觸赫茲勢能、壓縮勢能與彎曲勢能，對齒輪的時變嚙合剛度進行了解析推導。TIAN等［5］結(jié)合漸開線齒輪特性推導了齒輪的剪切變形，改進了齒輪嚙合剛度的計算方法。HADDAR等［6］通過考慮輪齒圓角基體變形，進一步改進了勢能解析法，降低了將輪齒假設為變截面懸臂梁而引起的誤差。此外，勢能法將輪齒假定為固定于基圓上的懸臂梁，針對基圓大于齒根圓的齒輪，忽略了齒根圓至基圓段的變形勢能，導致計算偏差較大。WAN等［7］以及XIANG等［8］通過修正輪齒的勢能公式，使得勢能法適用于基圓大于齒根圓的齒輪副。MA等［9-10］發(fā)現(xiàn)勢能法計算多齒嚙合區(qū)的剛度時存在重復計算基體變形的問題，通過引入修正系數(shù)改進了時變嚙合剛度計算方法。CHEN等［11］和SHAO等［12］通過引入多齒嚙合區(qū)各輪齒的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，計算了含齒頂修形的齒輪時變嚙合剛度。勢能法廣泛應用于含剝落［13］和裂紋［14-15］等損傷齒輪副及含齒頂圓角與摩擦［16］的齒輪嚙合剛度計算中。HU等［17］結(jié)合熱變形與磨損引起的齒廓誤差，基于勢能法計算了高溫與磨損共同作用下齒輪副的時變嚙合剛度。CHEN等［18］結(jié)合有限元法與齒輪有載接觸分析，提出了一種考慮復雜基礎(chǔ)類型和裂紋擴展路徑的齒輪嚙合剛度解析有限元模型。

隨著數(shù)值計算方法的快速發(fā)展，有限元理論在齒輪的嚙合剛度計算中得到廣泛應用。WANG等［19］考慮了齒輪重合度，利用有限元法計算了齒輪嚙合剛度；唐進元等［20］應用有限元法得到了螺旋錐齒輪多齒嚙合剛度；馮正玖等［21］基于有載接觸分析，計算了齒輪的嚙合剛度。針對安裝誤差、修形等影響因素，LI［22］通過有限元法分析了安裝誤差對修形齒輪嚙合剛度的影響；MA等［23］基于有限元理論研究了不同修形量對齒輪嚙合剛度的影響。此外還有采用實驗法測量出齒輪嚙合剛度的研究：MUNRO等［24］利用傳遞誤差特性圖，通過實驗獲取了直齒輪的嚙合剛度；PARK等［25］提出齒輪故障判別算法，并利用實驗測量的正常和故障齒輪副的傳動誤差信號評估了齒輪的嚙合剛度；吳家騰等［26］結(jié)合齒根應變測試技術(shù)和優(yōu)化理論，提出了一種齒輪時變嚙合剛度的反求計算方法；PANDYA等［27］基于光彈性實驗技術(shù)測量了正常與含裂紋齒輪的嚙合剛度；RAGHUWANSHI等［28］結(jié)合應變測量結(jié)果與理論計算，間接得到了含裂紋齒輪的嚙合剛度。

上述工作對齒輪嚙合剛度計算方法研究作出了很大的貢獻，研究了裂紋、修形、高溫與磨損、齒廓誤差等因素對嚙合剛度的影響。因軸孔配合間隙的存在，小模數(shù)齒輪傳動的中心距時刻變化使得嚙合角和重合度具有時變特性，影響齒輪的時變嚙合剛度。針對小模數(shù)齒輪傳動的軸孔配合間隙與中心距誤差非常敏感的特征，鮮有文獻研究它對小模數(shù)齒輪嚙合剛度的影響，因此，本文以小模數(shù)齒輪傳動為研究對象，建立了一種考慮中心距誤差及軸孔配合間隙的齒輪時變嚙合剛度計算模型，旨在探索小模數(shù)齒輪傳動軸孔配合間隙與嚙合剛度的關(guān)聯(lián)規(guī)律，為小模數(shù)齒輪傳動的減振降噪與配合間隙設計提供理論依據(jù)。

1 小模數(shù)齒輪傳動幾何模型

小模數(shù)齒輪傳動的中心距與全齒高都非常小，中心距的變動對其嚙合特性及動態(tài)性能影響較大。因中心距極小，難以布置軸承，因此，中間級齒輪常設計在固定軸上旋轉(zhuǎn)。中間級齒輪與固定軸之間為間隙配合（圖1），間隙通常在0.005～0.03 mm之間。

中心距制造/安裝誤差以及軸孔配合間隙均會引起齒輪嚙合位置的變化，從而改變齒輪的嚙合剛度。小模數(shù)齒輪傳動的中心距變化量可表示為Δδ=Δδ1+Δδ2，其中，Δδ1表示中心距誤差，Δδ2表示軸孔配合間隙（因齒輪中心孔與固定軸接觸位置的變化而呈現(xiàn)時變特性）。

齒輪副的嚙合運動示意如圖2所示，其中，O代表齒輪的幾何中心，rb和r分別為齒輪的基圓與分度圓，P為齒輪的節(jié)點，αs為齒輪的節(jié)圓壓力角，亦即實際嚙合角，αa為齒頂圓壓力角?？紤]中心距誤差及軸孔配合間隙的影響，齒輪副實際嚙合的中心距可表示為

其中，m為齒輪模數(shù)，z1、z2分別為小齒輪和大齒輪的齒數(shù)。齒輪副的實際嚙合角αs可表示為

式中，α0為齒輪節(jié)圓壓力角。

由式（1）～式（4）可知，齒輪存在中心距變化量Δδ時，會影響齒輪的實際嚙合角αs，導致齒輪重合度以及單/雙齒嚙合區(qū)對應的角位移區(qū)間發(fā)生變化，從而改變齒輪副的時變嚙合剛度。不失一般性，本文選取兩級直齒輪減速為研究對象，其中，中間軸固定，雙聯(lián)齒中心孔與中間軸為間隙配合（間隙為Δδ2）。假定齒輪1和齒輪4為理想安裝，中間軸安裝孔位置引起的第一級齒輪副中心距誤差為Δδ1，則第二級齒輪副中心距誤差為-Δδ1。圖3為中心距誤差下的兩級齒輪傳動的嚙合示意圖，其中實線代表理想安裝位置，虛線代表含中心距誤差的實際位置。

小模數(shù)齒輪存在軸孔配合間隙時，其嚙合特性參數(shù)也會發(fā)生變化，如圖4所示。假設齒輪1和齒輪4是理想安裝狀態(tài)，O1、O2（O3）和O4分別為各級齒輪的旋轉(zhuǎn)中心，O21為雙聯(lián)齒2-3的中心孔圓心，O′21表示中心孔圓心O21在水平軸上的投影。θ（即∠O21O2O′21）對應齒輪轉(zhuǎn)動時的角位移，則兩級齒輪的實際中心距可以分別表示為

由式（5）可知，軸孔間隙下當齒輪旋轉(zhuǎn)角位移變化時，齒輪中心距及實際嚙合點也會發(fā)生相應改變，因此在時變嚙合剛度的計算過程中需要計算出當前角位移時刻下的實際嚙合點。圖5進

表示兩級齒輪在不同角位移θ時刻下的實際嚙合角，分別對應于齒輪幾何中心位置O′2（O′3）和O″2（O″3）。

2 考慮中心距變化的嚙合剛度計算模型

勢能法計算圓柱齒輪副嚙合剛度比較高效、準確，本文通過考慮中心距變化對嚙合角、重合度的影響，重新推導勢能法計算公式。將輪齒等效為在齒根圓固結(jié)的懸臂梁，見圖6。

在力F的作用下，輪齒會產(chǎn)生接觸變形、彎曲變形、剪切變形和壓縮變形。此外，輪轂基體也會產(chǎn)生變形。當一對輪齒進入嚙合時，其接觸變形勢能Uh、彎曲變形勢能Ub、剪切變形勢能Us、壓縮變形勢能Ua和基體變形勢能Uf可表示為［9］

其中，F(xiàn)為嚙合齒中的總的接觸力，k為一對嚙合齒對的嚙合剛度，i=1代表小齒輪，i=2代表大齒輪，kh、kb、ks、ka、kf分別為接觸變形剛度、彎曲變形剛度、剪切變形剛度、壓縮變形剛度和基體變形剛度。

由于小模數(shù)直齒輪存在單齒嚙合和雙齒嚙合，在雙齒嚙合區(qū)，需要將參與嚙合的兩齒對嚙合剛度疊加，因此，齒輪副的時變嚙合剛度km可表示為

其中，j代表相同時間內(nèi)嚙合輪齒的數(shù)量，j=1，2。赫茲接觸剛度與基體剛度可表示為

其中，B、E和ν分別為齒寬、齒輪材料的彈性模量和泊松比。式（11）中其他參數(shù)可參考文獻［29］。輪齒的軸向壓縮勢能、彎曲勢能和剪切勢能可表示為

式中，G為剪切模量；Ix1、Ix2、Ax1、Ax2分別為兩輪齒的面積慣性矩和橫截面積；x1、x2為過渡曲線和漸開線上任意點的橫坐標；yi（i=1，2）分別為積分點在齒根過渡曲線和漸開線齒廓段的縱坐標，可由展成法推導其計算公式，見文獻［30］；xp為當前接觸點的橫坐標；xC為漸開線起始點的橫坐標；xD為齒根圓起始點的橫坐標。

由式（12）可得軸向壓縮剛度、彎曲剛度和剪切剛度分別為

3 結(jié)果與討論

為了探究制造/安裝誤差及軸孔配合間隙引起的中心距變化對齒輪嚙合剛度的影響規(guī)律，本文以兩級小模數(shù)齒輪傳動為研究對象，計算了不同中心距誤差與軸孔配合間隙下的齒輪副時變嚙合剛度，兩級齒輪副的基本參數(shù)見表1。

3.1 中心距誤差的影響

根據(jù)本文提出的方法計算了中心距誤差Δδ1為-0.02，0.01，0.02 mm的齒輪副嚙合剛度，并與無中心距誤差的計算結(jié)果進行了對比，如圖7所示。對于第一級齒輪副，隨著中心距誤差增大，時變嚙合剛度在單/雙齒嚙合區(qū)均有所減小。當中心距誤差為0.01 mm時，單/雙齒嚙合區(qū)剛度幅值分別最大減小了1.22 MN/m和0.57 MN/m，降幅分別達到1.81%和1.49%。另外，隨著中心距誤差的增大，單齒嚙合區(qū)在整個嚙合周期中的占比增大。當中心距誤差增至0.02 mm時，重合度由無誤差時的1.640減小至1.542。即中心距增大0.29%，導致重合度減小了5.98%，整個嚙合周期內(nèi)的嚙合剛度均方根值減小了3.22%。第二級齒輪副的中心距會隨著Δδ1的增大而減小，中心距變化對第二級齒輪副嚙合剛度有相同的影響。

上述對比結(jié)果表明：中心距誤差對小模數(shù)齒輪傳動的重合度與嚙合剛度有較大影響；中心距誤差的增大，將降低齒輪副的重合度，弱化嚙合剛度。其主要原因在于：誤差增大會引起中心距變大，導致實際嚙合線長度變短，降低齒輪副的重合度；此外中心距變大引起節(jié)圓增大，實際嚙合角增大，降低了輪齒的彎曲剛度與剪切剛度，從而導致齒輪副的時變嚙合剛度減小。

3.2 軸孔配合間隙的影響

由于存在軸孔配合間隙，因此齒輪在旋轉(zhuǎn)一整圈的過程中，中心距為時刻變化的。計算了軸孔配合間隙Δδ2為0.005，0.018，0.030 mm的齒輪副嚙合剛度，并與無配合間隙的計算結(jié)果進行了對比，結(jié)果如圖8和圖9所示。軸孔配合間隙使得中間級齒輪在固定軸上做偏心轉(zhuǎn)動，致使某一級齒輪副中心距增大，另一級齒輪副中心距減小，因此，中心距減小的齒輪副嚙合剛度會變大，反之，中心距增大的齒輪副嚙合剛度會減小。

這種偏心轉(zhuǎn)動致使中心距以齒輪旋轉(zhuǎn)一周為周期進行變化，使得嚙合剛度不再以嚙合周期重復變化，而是與偏心轉(zhuǎn)動周期形成了調(diào)制現(xiàn)象，如圖8a和圖9a所示。對于第一級齒輪副，偏心轉(zhuǎn)動導致其中心距和嚙合角先小于無軸孔間隙齒輪副的中心距和嚙合角（圖10），在0～90°轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)強化了嚙合剛度，見圖8b；隨后中心距和嚙合角逐漸增大，并在90°～270°轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)弱化了嚙合剛度，見圖8c；當轉(zhuǎn)角繼續(xù)增大超過270°后，其中心距和嚙合角又小于無軸孔間隙齒輪副的中心距和嚙合角，使得嚙合剛度再次小于無軸孔配合間隙齒輪副的嚙合剛度。對于第二級齒輪副，則正好相反，如圖9所示。軸孔配合間隙引起的齒輪偏心轉(zhuǎn)動，會改變雙齒嚙合區(qū)在整個嚙合周期中的占比，變化規(guī)律仍遵循中心距變大，雙齒嚙合區(qū)占比減小的規(guī)律。計算結(jié)果也表明：小模數(shù)齒輪中心距及齒高極小，軸孔間隙引起中心距的微小變動都將顯著影響齒輪副的嚙合剛度。

3.3 中心距誤差與軸孔間隙的綜合影響

在小模數(shù)齒輪傳動系統(tǒng)中，中心距誤差與軸孔配合間隙同時共存，為此本節(jié)對比分析了不同中心距誤差與軸孔配合間隙下齒輪副時變嚙合剛度的變化情況。因中間軸位置變動引起的中心距誤差總是一級齒輪副中心距增大，則另一級中心距減小，因此僅選取中心距誤差為負的情況（第一級中心距減小、第二級中心距增大），對比實例的具體誤差及軸孔間隙見表2。得到軸孔間隙為0.03 mm時兩級齒輪副的中心距與嚙合角如圖10所示。

中心距誤差、軸孔配合間隙及其對嚙合剛度的綜合影響如圖11所示。對比實例1和實例2可知，誤差若使齒輪副中心距減小，則會增大嚙合剛度（圖11a）；反之，將會弱化嚙合剛度（圖11b）。

由實例1和實例3可知，因軸孔配合間隙引起的偏心轉(zhuǎn)動，使齒輪副的中心距圍繞理論中心距上下周期性波動，導致整個周期內(nèi)嚙合剛度強化區(qū)域與弱化區(qū)域共存。具體為：第一級齒輪副的強化區(qū)域為0～90°和270°～360°，弱化區(qū)域為90°～270°；第二級齒輪副強化區(qū)域為90°～270°，弱化區(qū)域為0～90°和270°～360°。

在實例 4中，誤差與軸孔配合間隙同時存在，第一級齒輪副在轉(zhuǎn)角0～90°和270°～360°范圍內(nèi)，兩者都使得中心距變小，導致重合度最大達到了1.894。這種情況下，誤差與軸孔配合間隙對剛度的影響效果疊加，導致嚙合剛度顯著增大；而在90°～270°范圍內(nèi)，誤差的強化作用被軸孔配合間隙減弱。對于第二級齒輪副，在轉(zhuǎn)角0～90°和270°～360°范圍內(nèi)，誤差與軸孔配合間隙都使得中心距變大，使重合度最低降至1.467，導致嚙合剛度顯著減小，但在90°～270°范圍內(nèi)，軸孔配合間隙的影響抑制了誤差的弱化作用。分析結(jié)果表明：中心距誤差與軸孔配合間隙的影響在不同的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)既有相互疊加又有相互削弱的現(xiàn)象，這將導致不同輪齒嚙合時振動特性有差異。

上述研究表明，中心距誤差與軸孔配合間隙對小模數(shù)齒輪副的時變嚙合剛度有明顯影響?？蓮囊韵聝煞矫嫦驕p小這種影響：①防止因熱變形導致的軸與齒輪孔抱死而設計最小配合間隙；②提高加工精度以減小中心距誤差及軸孔配合間隙上限值。另外，也可以嘗試從動力學角度引入隔振與滾動結(jié)構(gòu)，以消除或減小中心距誤差與軸孔間隙對振動噪聲的影響。

4 結(jié)論

本文針對小模數(shù)齒輪傳動中存在的對中心距誤差敏感和軸孔配合存在間隙的特征，利用勢能法建立了中心距誤差與軸孔間隙影響下的齒輪嚙合特性參數(shù)與時變嚙合剛度計算模型，研究了兩者對齒輪副嚙合剛度影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

（1）中心距誤差對小模數(shù)齒輪傳動的重合度與嚙合剛度有較大影響。誤差使中心距增大時，將導致實際嚙合線長度變短與實際嚙合角增大，從而降低齒輪副的重合度，弱化嚙合剛度。反之，將會強化嚙合剛度。

（2）軸孔配合間隙引起齒輪偏心轉(zhuǎn)動，使齒輪副的中心距圍繞理論中心距上下周期性波動，導致整個周期內(nèi)嚙合剛度強化區(qū)域與弱化區(qū)域共存。

（3）中心距誤差與軸孔配合間隙的影響在不同的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)既有相互疊加又有相互削弱的現(xiàn)象，將導致不同輪齒嚙合時振動特性有差異，存在誘發(fā)更大振動與不同噪聲的風險。

（4）建立的嚙合剛度模型有助于小模數(shù)齒輪動力學分析與減振降噪設計。另外，少齒數(shù)小模數(shù)齒輪軸徑受齒根圓尺寸限制而設計較小時，需要考慮支撐軸剛度與軸孔配合間隙對嚙合剛度的綜合影響。

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