摘要：為了有效防控禽流感，建立了一個禽流感在家禽-野鳥中傳播的模型。證明了模型解的非負(fù)性和有界性，定義了模型的基本再生數(shù)，證明了模型無病平衡點的全局穩(wěn)定性及疾病的持久性。隨后建立了禽流感最優(yōu)控制模型，利用最優(yōu)控制理論分析了使得經(jīng)濟(jì)成本最低的控制方法。最后通過數(shù)值模擬分析了正平衡點的穩(wěn)定性和最優(yōu)控制措施對疾病傳播的影響。研究結(jié)果表明，對疫情只采取單一的控制措施是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，多種控制措施相結(jié)合才是抑制疾病流行的最佳策略。

關(guān)鍵詞：禽流感；撲殺率；穩(wěn)定性；持久性；最優(yōu)控制

中圖分類號： O175.1；S855.3" " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號： １６７３－２３４０（２０24）０4－００85－10

Analysis of an avian influenza model with different interventions

CHENG Chaoyue， LIU Junli*， TIAN Miaomiao

（School of Science， Xi′an Polytechnic University， Xi′an 710048， China）

Abstract： In order to effectively prevent and control avian influenza， this study develops a model of avian influenza that considers the transmission between poultry and wild birds. The non-negativity and boundedness of the model solution are proved， the basic reproduction number of the model is defined， and the global stability of the disease-free equilibrium of the model and the persistence of the disease are proved. The optimal control model is established， and the optimal control method that has the lowest economic cost is analyzed using optimal control theory. Finally， the stability of the positive equilibrium and the influence of optimal control measures on disease transmission are investigated. The results show that a single control measure is far from sufficient to contain the epidemic; the combination of multiple control measures is the best strategy to suppress the disease epidemic.

Key words： avian influenza; culling rate; stability; persistence; optimum control

禽流感作為一種在禽類中廣泛傳播的傳染病，嚴(yán)重影響著禽類的健康，并對社會經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了重要影響；尤其是當(dāng)?shù)匾扒葜兴僚暗那萘鞲胁《緯仪菰斐蓢?yán)重災(zāi)害。因此，對野禽的及時觀測和對家禽的嚴(yán)格控制顯得尤為重要。

近年來，眾多學(xué)者提出了不同的數(shù)學(xué)模型[1-6]來刻畫禽流感的傳播。Iwami等[1]建立了一個禽-人模型來研究禽流感的傳播，研究表明遏制禽流感的傳播不僅需要消滅染病禽鳥，還需要對染病的人進(jìn)行隔離。Liu等[2]研究了不同禽-人之間傳播的禽流感模型，分析了其動力學(xué)行為。Rohani等[7]提出了一個環(huán)境病毒在禽類傳播的模型。Chong等[8]研究了一個對易感和染病鳥類進(jìn)行捕殺的Filippov模型。Liu等[9]從活禽市場、活禽運輸?shù)壬鐣?jīng)濟(jì)特征，采用撲殺、疫苗接種等措施，對禽流感疫情進(jìn)行分析。Gulbudak等[10]建立了一個具有疫苗接種的年齡結(jié)構(gòu)的家禽禽流感模型，研究了疫苗效力對疾病流行率和最低臨界疫苗接種覆蓋率的影響。Liu等[11]基于H5N1的傳播周期和傳播模式，重點研究了家禽、野生鳥類和環(huán)境之間的相互作用，并評估了各種控制策略的有效性。Tang等[12]研究了活肉雞流動對禽流感控制的影響。Gulbudak等[13]研究了禽流感在不同撲殺策略下的動態(tài)，以便對疾病進(jìn)行更好的控制。Bourouiba等[14]研究了候鳥在H5N1禽流感傳播中的作用，重點分析了候鳥與非候鳥家禽的相互作用。此外，Bourouiba等[15]基于低致病性禽流感毒株可誘導(dǎo)一些野生鳥類對高致病性禽流感毒株的部分免疫，研究了部分免疫對候鳥種群禽流感病毒暴發(fā)的影響。Vaidya等[16]建立數(shù)學(xué)模型研究了環(huán)境條件（主要是溫度）對禽流感傳播與流行的影響。

本文參考文獻(xiàn)[11]，根據(jù)禽流感在家禽和野鳥中的傳播機(jī)制，以染病后野禽是否存活為依據(jù)，將野禽分為兩類；并考慮疫苗接種、撲殺和環(huán)境清潔等控制禽流感疫情的重要措施，建立了一個高維的數(shù)學(xué)模型，對模型進(jìn)行了理論分析及模擬干預(yù)措施對疾病流行的影響，以探討最優(yōu)控制策略。

1" "模型的建立

根據(jù)禽流感在家禽和野鳥中的傳播機(jī)制，把家禽分為3個倉室：易感家禽S（t）、接種家禽V（t）和染病家禽I（t），則家禽總量N（t） = S（t） + V（t） + I（t）；把染病后不恢復(fù)的野鳥記為第一類野鳥，這類野鳥分為易感野鳥S（t）、潛伏期野鳥E（t）和染病野鳥I（t） 3類，則其總量為N（t） = S（t） + E（t） + I（t）；把染病后可以恢復(fù)的野鳥記為第二類野鳥，分為易感野鳥S（t）、染病野鳥I（t）和恢復(fù)野鳥R（t） 3類，則其總量為N（t） = S（t） + I（t） + R（t）。由于H5N1對禽類是致命的，故在家禽和第一類野鳥中不考慮恢復(fù)類，病毒可以在水、排泄物和宿主外存活，因此引入V（t）來表示環(huán)境中禽流感病毒的數(shù)量。假設(shè)Λ、Λ和Λ表示家禽、第一類野鳥和第二類野鳥的出生率；β和λ分別表示染病家禽和環(huán)境中病毒對易感家禽的傳染率，θ∈（0，1）和θ∈（0，1）均為一常數(shù)，θβ和θλ分別表示染病家禽和環(huán)境中病毒對接種家禽的傳染率；p表示疫苗接種率；μ和μ分別表示家禽和野鳥的自然死亡率；α和α分別表示染病家禽和染病野鳥的因病死亡率；c表示對染病家禽的撲殺率；β、 β和λ分別表示第一類野鳥中潛伏者、染病者和病毒對易感者的傳染率；ρ表示潛伏期野鳥到染病野鳥的轉(zhuǎn)移率；β和λ分別表示第二類野鳥中，染病野鳥和病毒對易感野鳥的傳染率；ξ表示染病后免疫喪失率；δ表示染病野鳥的恢復(fù)率；r、r、r和r分別表示染病家禽、第一類野鳥中的潛伏者和染病者、第二類野鳥中的染病者在環(huán)境中釋放病毒的速率；d和d分別表示環(huán)境的自我恢復(fù)率和人為干預(yù)促使環(huán)境的恢復(fù)率。根據(jù)以上假設(shè)，建立如下模型：

dS/dt = Λ - βSI - λSV - （p + μ）SdV/dt = pS - θβVI - θλVV - μVdI/dt = βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + c）IdS/dt = Λ - βSE - βSI -" "λSV - μSdE/dt = βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdS/dt = Λ - βSI - λSV + ξR - μSdI/dt = βSI + λSV - （δ + μ）IdR/dt = δI - （ξ + μ）RdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（1）

模型（1）的初始條件為

S（0）≥0，V（0）≥0，I（0）≥0，S（0）≥0，

E（0）≥0，I（0）≥0，S（0）≥0，I（0）≥0，

R（0）≥0，V（0）≥0。（2）

假設(shè)所有參數(shù)均為正常數(shù)。下面研究模型（1）在條件（2）下解的非負(fù)性和有界性，記

Γ = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈R：

S + V + I≤Λ/μ，S + E + I≤Λ/μ，

S + I + R≤Λ/μ，V≤3rΛ/[μ（d + d）]}。

其中Λ/μ = max{Λ/μ，Λ/μ，Λ/μ}，r = max{r，r，r，r}。由下面的定理1可知Γ為模型（1）的正向不變集。易知下面的結(jié)論成立。

定理1" "對于任意的t≥0，模型（1）具有初始條件（2）的解是非負(fù)的、有界的。

證明：下面證明解的有界性。家禽總數(shù)N（t）滿足微分方程

dN/dt = Λ - μN - （α + c）I≤Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。則如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

染病后死亡的野鳥總數(shù)N（t）滿足微分方程

dN/dt = Λ - μN - αI≤Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。則如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

染病后存活的野鳥總數(shù)N（t）滿足微分方程

dN/dt = Λ - μN，

解得N（t）≤（N（0） - Λ/μ）e + Λ/μ。則如果N（0）≤Λ/μ，得N（t）≤Λ/μ。

環(huán)境中的病毒總數(shù)V（t）滿足微分方程

dV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V≤

3rΛ/μ - （d + d）V，

其中Λ/μ = max{Λ/μ，Λ/μ}，r = max{r，r，r，r}，解得V（t）≤{V（0） - 3rΛ/[μ（d + d）]}e + 3rΛ/[μ（d + d）]。則如果V（0）≤3rΛ/[μ（d + d）]，得V（t）≤3rΛ/[μ（d + d）]。從而集合Γ為模型（1）的正向不變集。證畢。

2" "平衡點的存在性及穩(wěn)定性

模型（1）始終存在無病平衡點E = {S，V，0， S，0，0，S，0，0，0}，其中S = Λ/μ，S = Λ/μ，S = Λ/（μ + p），V = pΛ/[μ（μ + p）]。

為了計算基本再生數(shù)R，即在下一代再生矩陣中，當(dāng)所有禽類都是易感者時，一只染病禽類在其平均染病期間所能傳染禽類的均值，根據(jù)文獻(xiàn)[17]，定義

F =

βS + θβV" " " 0" " " " " 0" " " " 0" " " λS + θλV" " " " 0" " " " " " βS" " βS" " "0" " " " " "λS" " " " 0" " " " " " " "0" " " " " 0" " " " 0" " " " " " " 0" " " " 0" " " " " " " "0" " " " " 0" " " βS" " " " "λS" " " " r" " " " " " "r" " " " r" " " "r" " " " " " "0，

V =

μ + α + c" " " "0" " " " " " 0" " " " " "0" " " " " "0" " " " 0" " " " "ρ + μ" " " "0" " " " " "0" " " " " "0" " " " 0" " " " " "-ρ" " " μ + α" " " 0" " " " " "0" " " " 0" " " " " "0" " " " " " 0" " " " "δ + μ" " " "0" " " " 0" " " " " "0" " " " " " 0" " " " " "0" " " " d + d。

則R = ρ（FV），其中ρ（FV）為矩陣FV的譜半徑。

引理1" "R lt; 1 ？圳 s（F - V） lt; 0；R gt; 1 ？圳 s（F - V） gt; 0。其中s（F - V）表示矩陣F - V的譜界。

證明：假設(shè)10維向量x = （x，…，x）中的每個分量x≥0，X為所有無病狀態(tài)的集合，即X = {x≥0x = 0，i = 3，5，6，8，10}。模型（1）可表示為

= f（x） = F（x） - V（x），i = 1，…，10，

其中x = S，x = V，x = I，x = S，x = E，x = I，x = S，x = I，x = R，x = V，

V（x） = V" （x） - V" （x）。

F = 0，V" "= Λ，

V" "= βSI + λSV + （p + μ）S；

F = 0，V" "= pS，

V" "= θβVI + θλVV + μV；

F = βSI + λSV + θβVI + θλVV，

V" "= 0，V" "= （μ + α + c）I；

F = 0，V" "= Λ，

V" "= βSE + βSI + λSV + μS；

F = βSE + βSI + λSV，

V" "= 0，V" "= （ρ + μ）E；

F = 0，V" "= ρE，V" "= （μ + α）I；

F = 0，V" "= Λ + ξR，

V" "= βSI + λSV + μS；

F = βSI + λSV，

V" "= 0，V" "= （δ + μ）I；

F = 0，V" "= δI，V" "= （ξ + μ）R；

F = rI + rE + rI + rI，

V" "= 0，V" "= （d + d）V。

下面驗證文獻(xiàn)[17]中定理2的條件（A1）—（A5）成立。顯然，當(dāng)x≥0時，有F≥0，V" ≥0，V" ≥0，i = 1，…，10，則條件（A1）成立。當(dāng)x = 0（i = 3，5， 6，8，10）時，有V" （x） = 0，則條件（A2）成立。當(dāng)x = 0（i = 1，2，4，7，9）時，有F（x） = 0，則條件（A3）成立。當(dāng)x = 0（i = 3，5，6，8，10）時，有F（x） = 0，V" （x） = 0，則條件（A4）成立。如果F （x） = 0，則Df（x）為矩陣-V，其所有特征根均為負(fù)值，其中Df（x）為無病平衡點x處的雅可比矩陣，則條件（A5）成立。則由文獻(xiàn)[17]中的定理2知引理1成立。證畢。

定理2" "當(dāng)R lt; 1時，無病平衡點E = （S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R gt; 1時，E是不穩(wěn)定的。

定理3" "當(dāng)R lt; 1時，E = （S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。

證明：由模型（1）的第1式、第2式、第4式、第7式和第10式及定理1可知，

limsupS（t）≤Λ/（μ + p） = S，

limsupV（t）≤pΛ/[μ（μ + p）] = V，

limsupS（t）≤Λ/μ = S，

limsupS（t）≤Λ/μ = S，

limsupV（t）≤3rΛ/[μ（d + d）]，

則當(dāng)t充分大時，有

dI/dt≤βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + c）IdE/dt≤βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdI/dt≤βSI + λSV - （δ + μ）IdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（3）

式（3）右邊的系數(shù)矩陣為F-V，由引理1知，當(dāng)R lt; 1時，則F-V的所有特征根均具有負(fù)實部，則由比較原理知，當(dāng)t→∞時，（I（t），E（t），I（t），I（t），V（t））→（0，0，0，0，0），則S→S，V→V，S→S，S→S，R→0。證畢。

下面的定理4給出了疾病的持久性。

定理4" "當(dāng)R gt; 1時，存在ε gt; 0，使得對于模型（1）具有初值條件（2）且I（0） gt; 0、I（0） gt; 0、I（0） gt; 0的解（S（t），V（t），I（t），S（t），E（t），I（t），S（t），I（t），R（t），V（t））滿足

liminf（I（t），I（t），I（t））≥（ε，ε，ε）。

證明：定義

X = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈R：

S≥0，V≥0，I≥0，S≥0，E≥0，I≥0，

S≥0，I≥0，R≥0，V≥0}，

X = {（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V）∈X：

I gt; 0，I gt; 0，I gt; 0}，

？墜X = X＼X。

易證X和X是正不變的，？墜X為X中的閉集。令

x（t） = （S（t），V（t），I（t），S（t），E（t），I（t），

S（t），I（t），R（t），V（t）），

x = （S（0），V（0），I（0），S（0），E（0），I（0），

S（0），I（0），R（0），V（0）），

ω（x）表示從x出發(fā)的模型（1）解的ω極限集。定義

M ＝ {xx∈？墜X：x（t）∈？墜X，？坌t≥0}。容易證明

M = {（S，V，0，S，0，0，S，0，0，0）S≥0，V≥0，

S≥0，S≥0}，Ω = {E}，

則E為Ω的一個覆蓋，E是孤立的和非循環(huán)的。如果可以證明E為X的一個弱排斥子，即從初值x∈X出發(fā)的解x（t）滿足

limsupd（x（t），E） gt; 0，（4）

則定理4得證。由文獻(xiàn)[18]知，欲使式（4）成立，只需證明

W（E）∩X = ，（5）

其中W（E）表示E的穩(wěn)定流形。使用反證法，假設(shè)W（E）∩X≠，則存在解x（t）∈X，使得當(dāng)t→∞時有

S（t）→S，V（t）→V，S（t）→S，S（t）→S，

I（t）→0，E（t）→0，I（t）→0，I（t）→0，

R（t）→0，V（t）→0。（6）

存在一個充分小的η gt; 0，使得

S（t） gt; S - η，V（t） gt; V - η，S（t） gt; S - η，

S（t） gt; S - η，0 lt; I（t），I（t），I（t） lt; η，

0≤E（t），R（t），V（t） lt; η。

由模型（1）得

dI/dt≥β（S - η）I + λ（S - η）V +" "θβ（V - η）I + θλ（V - η）V -" "（μ + α + c）IdE/dt≥β（S - η）E + β（S - η）I +" "λ（S - η）V - （ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdI/dt≥β（S - η）I + λ（S - η）V -" "（δ + μ）IdV/dt = rI + rE + rI + rI - （d + d）V。

（7）

定義

N = β + θβ" " "0" " "0" " "0" " λ + θλ" " "0" " " " "β" "β" "0" " " " λ" " "0" " " " " 0" " "0" " "0" " " " 0" " "0" " " " " 0" " "0" " β" " " "λ" " "0" " " " " 0" " "0" " "0" " " " 0，

則模型（7）可以寫成

（I′，E′，I′，I′，V′）≥

（F - V + ηN）（I，E，I，I，V）。

當(dāng)R gt; 1時，由引理1知，s（F - V） gt; 0，則存在任意小的η gt; 0，使得s（F - V + ηN） gt; 0，因此I（t）→∞，E（t）→∞，I（t）→∞，I（t）→∞，V（t）→∞，與式（6）矛盾，則式（5）成立。證畢。

定理2和定理3討論了無病平衡點的穩(wěn)定性，而模型正平衡點的穩(wěn)定性不易得到，因此在第4節(jié)將通過數(shù)值模擬來研究其穩(wěn)定性。

3" "最優(yōu)控制模型

考慮到對易感家禽進(jìn)行疫苗接種、對染病家禽進(jìn)行撲殺以及對環(huán)境進(jìn)行清潔的過程都需要高額的成本，為了使得防控成本最低，考慮用最優(yōu)控制函數(shù)μ（t）、 μ（t）和μ（t）分別代替疫苗接種率p、撲殺率c和環(huán)境的清潔率d，進(jìn)行最優(yōu)控制理論分析。

首先，考慮總成本函數(shù)

J （μ（·），μ（·），μ（·）） =

（I（t） + I（t） + I（t） + Bμ（t） +

Bμ（t） + Bμ（t））dt，（8）

其中：t為控制措施的結(jié)束時間，假設(shè)所花費用為非線性二次函數(shù)；B、B、B為權(quán)重系數(shù)，體現(xiàn)成本的大小和重要性。

控制模型為

dS/dt = Λ - βSI - λSV - （μ（t） + μ）SdV/dt = μ（t）S - θβVI - θλVV - μVdI/dt = βSI + λSV + θβVI + θλVV -" "（μ + α + μ（t））IdS/dt = Λ - βSE - βSI - λSV - μSdE/dt = βSE + βSI + λSV -" "（ρ + μ）EdI/dt = ρE - （μ + α）IdS/dt = Λ - βSI - λSV + ξR - μSdI/dt = βSI + λSV - （δ + μ）IdR/dt = δI - （ξ + μ）RdV/dt = rI + rE + rI + rI -" "（d + μ（t））V。

（9）

模型（9）的初始條件與模型（1）的初始條件相同。

最優(yōu)控制問題的拉格朗日函數(shù)為

L（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V，μ，μ，μ） =

I（t） + I（t） + I（t） +

Bμ（t） + Bμ（t） + Bμ（t）。

控制變量μ（t）、 μ（t）和μ（t）滿足控制集

U = {（μ，μ，μ）∈L（0，t）0≤μ（t）≤1，

i = 1，2，3}。

由定理1知，模型（9）是有界的，且由式（4）可知，被積函數(shù)關(guān)于μ（t）、 μ（t）和μ（t）具有凸性，則存在最優(yōu)控制μ（t）、 μ（t）和μ（t）使得

J（μ，μ，μ） = {min J（μ，μ，μ）}。

定理5" "給定最優(yōu)控制μ、 μ、 μ和相應(yīng)狀態(tài)的解，存在伴隨變量λ（i = 1，…，10），則哈密爾頓函數(shù)H為

H（S，V，I，S，E，I，S，I，R，V， μ，μ，μ，

λ） = I（t） + I（t） + I（t） + Bμ（t） +

Bμ（t） + Bμ（t） + ∑λ f（t），

其中f（t）為模型（9）第i個方程等號右邊的表達(dá)式。進(jìn)而得到如下模型：

dλ/dt = -？墜H/？墜S = λβI + λλV + λμ +" "λμ - λμ - λβI - λλVdλ/dt = -？墜H/？墜V = λθβI + λθλV + λμ -" "λθβI - λθλVdλ/dt = -？墜H/？墜I = λβS + λθβV - λβS -" "λθβV + λμ + λα + λμ - λr - 1dλ/dt = -？墜H/？墜S = λβE + λβI + λλV +" "λμ - λβE - λβI - λλVdλ/dt = -？墜H/？墜E = λβS - λβS + λρ +" "λμ - λρ - λrdλ/dt = -？墜H/？墜I = λβS - λβS + λμ +" " λα - λr - 1dλ/dt = -？墜H/？墜S = λβI + λλV + λμ -" " λβI - λλVdλ/dt = -？墜H/？墜I = λβS - λβS + λδ +" " λμ - λδ - λr - 1dλ/dt = -？墜H/？墜R = -λξ + λξ + λμdλ/dt = -？墜H/？墜V = λλS + λθλV - λλS -" "λθλV + λλS - λλS + λλS -" " λλS + λd + λμ。

（10）

模型（10）滿足橫截性條件λ（t） = 0，i = 1，…，10，且μ = max{min{（S/2B）（λ - λ），1}，0}，μ = max{min{λI/（2B），1}，0}，μ = max{min{λV/（2B），1}，0}。

證明：根據(jù)控制條件和哈密爾頓函數(shù)有

（？墜H/？墜μ） = 2Bμ - λS + λS = 0，

（？墜H/？墜μ） = 2Bμ - λI = 0，

（？墜H/？墜μ） = 2Bμ - λV = 0。

解得μ = （S/（2B））（λ - λ），μ = λI/（2B），μ = λV/（2B）。最優(yōu)控制解μ具有以下3種情況：

μ = 0，？墜H/？墜μ lt; 00 lt; μ lt; 1，？墜H/？墜μ = 01，？墜H/？墜μ gt; 0。

最優(yōu)控制解μ和μ的取值情況與最優(yōu)控制解μ的情況類似，則

μ = max{min{（S/（2B））（λ - λ），1}，0}，

μ = max{min{λI/（2B），1}，0}，

μ = max{min{λV/（2B），1}，0}，

其中S、I和V為相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)變量。證畢。

為了進(jìn)一步反映最優(yōu)控制函數(shù)μ（t）、 μ（t）和μ（t）對疾病傳播的控制效果，在下一節(jié)進(jìn)行數(shù)值模擬研究。

4" "數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值擬合來研究參數(shù)對R的影響和正平衡點的穩(wěn)定性情況，并對最優(yōu)控制函數(shù)進(jìn)行模擬。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，取β = 0.03，λ = 4 × 10-16，α = 1/3，β = 0.000 1，δ = 0.05，λ = 4 × 10-16，α = 0.2，ρ = 0.2，β = 0.000 2，λ = 4 × 10-16，ξ = 0.1，r = 10EID，r = 10EID，r = 10EID，r = 10EID，d = 0.1 + 10；根據(jù)文獻(xiàn)[19]，取μ = 0.01，μ = 0.01；根據(jù)文獻(xiàn)[20]，取c∈[0，0.4]，d∈[0.1，6]，p∈[0，1]。其中EID為雞胚半數(shù)感染量，其他參數(shù)為估計值。

理論分析表明，基本再生數(shù)R對疾病是否流行具有重要作用。為了檢驗R對參數(shù)的依賴性，利用上述參數(shù)，令Λ = 10，Λ = 10，使用偏秩相關(guān)系數(shù)對R中的參數(shù)進(jìn)行分析。偏秩相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，表明參數(shù)對R的影響越大。選取參數(shù)β，λ，p，θ，c，θ，β，β，λ，β，λ和d進(jìn)行分析，結(jié)果見圖1。

從圖1可以看出，參數(shù)β，λ，θ，p，c和d是最重要的控制參數(shù)。因此，及時清理染病家禽尸體和糞便，及時對健康家禽進(jìn)行疫苗接種和對染病家禽進(jìn)行撲殺，對禽類生活環(huán)境及時進(jìn)行清潔是控制禽流感傳播的有效措施。

假設(shè)Λ = 10，Λ = 3，θ = 0.1，θ = 0.1，p = 0.1，c = 0.2，d = 0.9，取初值為（70，10，50，60，40， 50，60，50，10，10），則R = 10.039 2 gt; 1，模型（1）的解隨時間變化如圖2所示，解趨于一個正平衡點，疾病在家禽與野鳥中均流行，需要對其實施控制措施來遏制疾病的傳播。

下面對最優(yōu)控制函數(shù)μ（t）、 μ（t）和μ（t）進(jìn)行數(shù)值模擬。利用上述參數(shù)，假設(shè)Λ = 10，Λ = 10，θ = 0.1，θ = 0.1，B = 1 000，B = 1 000，B = 1 000，取初值為（40，50，20，10，10，10，30，10，10，10）。由圖3可知，當(dāng)疾病出現(xiàn)時，如果不采取控制措施，疾病將暴發(fā)并流行，而當(dāng)疫苗接種、撲殺和環(huán)境清潔3種控制措施同時實施時，可以有效減少感染家禽的數(shù)量，抑制疾病的傳播，并使得疾病最終消亡。剛開始時，μ（t）、 μ（t）和μ（t）以最大值持續(xù)對疾病進(jìn)行控制，一段時間之后，控制措施減弱，直到最后下降到0，表明經(jīng)過開始階段的嚴(yán)厲措施后，隨著時間的延長，控制強度可以慢慢降低趨于常態(tài)化，且μ衰減最慢，即實際禽流感的阻斷需要對染病家禽撲殺所投入的成本最大，而疫苗的接種率和有效性次之，環(huán)境清潔最少。

取初值為（40，70，20，10，10，10，30，10，10，10），比較只采取疫苗接種這種控制措施與不采取任何控制措施時染病家禽數(shù)量的變化（見圖4）。由圖4（a）可以看出，疫苗接種可以有效降低感染家禽的數(shù)量，抑制疾病的傳播，但是并不能使得疾病消亡。由圖4（b）可以看出，控制函數(shù) μ（t）從開始就以最大值對疾病進(jìn)行控制，在一段時間后急速下降到0，說明當(dāng)家禽中出現(xiàn)禽流感時，為了防止易感禽類的感染，就必須持續(xù)以最大值對易感家禽進(jìn)行接種，隨著時間的延長，控制強度可以慢慢降低趨于常態(tài)化。

取初值為（40，70，120，10，10，10，30，10，10，10），將只采取撲殺這一種控制措施與不采取任何控制措施對染病家禽數(shù)量的影響進(jìn)行對比，得到圖5（a），可以看出，撲殺可以有效降低染病家禽的數(shù)量，抑制疾病的傳播。μ（t）隨時間的變化如圖5（b）所示，可以看出，控制函數(shù)μ（t）從開始就以最大值對疾病進(jìn)行控制，在一段時間后急速下降到0，說明當(dāng)家禽中出現(xiàn)禽流感時，為了控制疫情，就必須不間斷地以最大值對染病家禽進(jìn)行撲殺。

只采取環(huán)境清潔這種控制措施與不采取任何控制措施對染病家禽數(shù)量的影響并不大，只采取環(huán)境清潔不能很好地抑制疾病的傳播，需要結(jié)合其他控制措施來控制疾病的傳播。

綜上，當(dāng)禽流感疫情出現(xiàn)時，如果對疫情不采取任何控制措施，那么疫情將會暴發(fā)并蔓延，而采取一定的控制措施后，能夠有效地抑制疫情的流行暴發(fā)，甚至使得疫情消亡。而在對疫情的控制效果上，采取多種防控措施相結(jié)合的方法比只采取單一的控制措施效果更加明顯。

5" "結(jié)束語

本文研究了一個家禽-野鳥的禽流感模型，模型中考慮了疫苗接種、撲殺和對環(huán)境進(jìn)行清潔等因素。通過定義模型的基本再生數(shù)，對模型平衡點的存在性和無病平衡點的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并證明了疾病的持久性，對正平衡點的穩(wěn)定性進(jìn)行了數(shù)值模擬。隨后建立了最優(yōu)控制模型，以疫苗接種、撲殺和環(huán)境清潔作為3種控制措施，利用龐特里亞金最大值原理得到了最優(yōu)控制策略。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，當(dāng)疾病暴發(fā)時，只采取單一的控制措施可能達(dá)不到控制疾病的效果，應(yīng)該采取多種控制措施相結(jié)合的策略，從不同方面對禽流感疫情進(jìn)行控制，使得防控成本最低、疫情的危害最小。

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（責(zé)任編輯：張燕）