王夢雅,陳婷婷,王立洪

（寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,浙江 寧波 315211）

1973 年,烏克蘭生物學(xué)家Davydov[1-2]提出生物能量和生物信息傳遞的孤子理論,用數(shù)學(xué)模型研究α-螺旋蛋白分子中激發(fā)產(chǎn)生的激子和分子鏈位移變換的運(yùn)動規(guī)律.α-螺旋是蛋白質(zhì)二級結(jié)構(gòu)的主要類型之一[3-5],由肽基團(tuán)(H-N-C=O)組成,均勻地分布在三個氫鍵上,形成螺旋結(jié)構(gòu)[6-7].一般來說,在Davydov 模型的低階連續(xù)近似下,α-螺旋蛋白中沿著氫鍵連接的分子動力學(xué)可推導(dǎo)出非線性薛定諤方程,如文獻(xiàn)[8]中的公式(2.17)、[9]中的公式(3.1).過去對α-螺旋蛋白的動力學(xué)行為進(jìn)行了大量研究,特別是使用簡化為單一分子鏈的單分量模型[10].單一分子鏈沿著氫鍵的動力學(xué)是在連續(xù)極限下考慮的,但忽略了與相鄰氫鍵之間的耦合.實際上,在α-螺旋蛋白模型中,相鄰氫鍵之間的耦合起著重要作用,因此,需要考慮三個螺旋氫鍵對生物能量傳遞機(jī)制的影響.為更貼切地描述α-螺旋蛋白由三個螺旋氫鍵組成分子鏈的形式,文獻(xiàn)[11]分析了α-螺旋蛋白分子三個肽通道組成的結(jié)構(gòu),通過改進(jìn)的Davydov 哈密頓函數(shù)來描述蛋白質(zhì)分子中的孤子傳輸機(jī)制;文獻(xiàn)[12-13]確定了可積分的三分量耦合模型;文獻(xiàn)[7,14]考慮了可積耦合的三分量非線性薛定諤方程來描述生物能量沿蛋白質(zhì)分子鏈以孤子和呼吸子方式傳輸?shù)哪Ｊ?文獻(xiàn)[15]利用Hirota 雙線性法討論了三分量非線性薛定諤方程的怪波(rogue wave)傳播模式.此外,研究者還在Davydov 模型中引入連續(xù)近似中的高階項[8].文獻(xiàn)[16-17]在Davydov-Scott 模型中研究了α-螺旋蛋白中含高階項的孤子動力學(xué),闡明了Davydov 孤子的穩(wěn)定性和動態(tài)特性.本文將運(yùn)用三分量高階非線性薛定諤模型(也稱三耦合Hirota 方程)[16-17]研究α-螺旋蛋白中能量輸運(yùn)的怪波模式.考慮α-螺旋蛋白分子動力學(xué)高階項和相互耦合動力學(xué)特性后,文獻(xiàn)[16-17]給出的方程為

式中: i 為虛數(shù)單位;qj=qj(x,t),j=1,2,3為第j個氫鍵中分子激發(fā)的振幅;參數(shù)γ是實數(shù);波函數(shù)qj加下標(biāo)t和x分別表示其對時間變量t和空間變量x的偏導(dǎo)數(shù);上標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛.

顯然,函數(shù)qj(j=1,2,3)都為0,即生物能量不發(fā)生輸運(yùn)時,是動力學(xué)方程(1)的解.生物能量以孤波方式輸運(yùn)時的解由文獻(xiàn)[16]給出;文獻(xiàn)[17]討論了動力學(xué)方程(1)孤波的彈性碰撞和非彈性碰撞.本文將考慮周期孤波輸運(yùn)能量的極限狀態(tài),采用退化達(dá)布(Darboux)變換導(dǎo)出動力學(xué)方程(1)的怪波解,討論極限狀態(tài)下能量輸運(yùn)的波形演化及其高峰和低谷的極值軌跡.

1 Lax 對表示與達(dá)布變換

根據(jù)文獻(xiàn)[7,16],動力學(xué)方程(1)可轉(zhuǎn)換為譜問題[18],其Lax 對(Lax pair)為

式中:λ是復(fù)的譜參數(shù);列向量φ=(φ1,φ2,φ3,φ4)T是由勢函數(shù)φj(j=1,2,3,4)組成的特征函數(shù),這里,上標(biāo)T 表示轉(zhuǎn)置.

取Lax 對的x部分如下:

其中,0 和I3分別表示零矩陣和三階單位矩陣,q=(q1,q2,q3),上標(biāo)?表示Hermitian 轉(zhuǎn)置.

取Lax 對的t部分如下:

則由零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0或協(xié)調(diào)性條件φxt=φtx可導(dǎo)出動力學(xué)方程(1).這里,矩陣交換子[M,N]≡MN-NM.

因此,函數(shù)q是動力學(xué)方程(1)的解,等價于零曲率方程成立,也等價于Lax 對(2)的特征函數(shù)φ滿足協(xié)調(diào)性條件.

即用q[1]替換U0中的q.同時,Vj(j=0,1,2,3)中的U0和q也做相同的替換獲得,從而獲得V[1].此時,若U[1]和V[1]滿足零曲率方程,或等價地,Lax 對

另一方面,考慮作用于Lax 對(2)的規(guī)范變換[19]

其中,I4是四階單位矩陣,S=(sij)4×4,則

滿足譜問題

和零曲率方程

于是,引入達(dá)布變換T,使得U[1]和V[1]同時滿足零曲率方程和Lax 對形式不變,即

從而,由式(9)和(10)關(guān)于譜參數(shù)λ的各階系數(shù)恒等可得方程組:

這里,式(12)給出了由動力學(xué)方程(1)的一組解q通過一次達(dá)布變換得到一組新解[1]q的計算公式.接下來將利用某個已知的解q=q[0]和λ及其關(guān)聯(lián)的特征函數(shù)φ=φ[0]來構(gòu)造達(dá)布變換中的S矩陣,特別是元素s12,s13,s14的表達(dá)式.

當(dāng)q=q[0]時,記特征函數(shù)φj=(φ1j,φ2j,φ3j,φ4j)T是動力學(xué)方程(1)在譜參數(shù)λ=λj下的解.由λj及其關(guān)聯(lián)的φj構(gòu)造矩陣Σj和Hj,

則對于任意譜參數(shù)λ1?C R,取

直接計算可以驗證,當(dāng)S=S1時,方程(11a)～(11f)均成立.需要特別指出的是,H1矩陣中的第一列是q=q[0]時動力學(xué)方程(1)在λ=λ1時的特征函數(shù),其他幾列通常都不是特征函數(shù),而是與第一列復(fù)正交的向量.

由式(14)可得S1H1=H1Σ1,或

于是,達(dá)布變換中的S1矩陣可以通過方程(15)完全確定.這里,特別地考察待定參數(shù)s12,s13,s14所在的的第一列,于是可得線性方程組

簡記線性方程組(16)的常數(shù)項為

則利用克萊姆法則,由式(12)和(16)可得定理1.

定理1設(shè)是動力學(xué)方程(1)的解,當(dāng)q=q[0]時,φ1是Lax 對(2)中譜參數(shù)λ=λ1?C R 關(guān)聯(lián)的特征函數(shù),則一次達(dá)布變換的表達(dá)式

定理1 給出了從種子解q[0]出發(fā),利用給定譜參數(shù)λ1所關(guān)聯(lián)的特征函數(shù)φ1構(gòu)造一次達(dá)布變換獲得新解q[1]的公式.因此,有了Lax 對的表示形式,動力學(xué)方程(1)可以從一組解對 (φ[0],q[0];λ),通過一次達(dá)布變換構(gòu)造另一組解對 (φ[1],q[1];λ,λ1).接著,若以 (φ[1],q[1];λ,λ1)為種子,用新的譜參數(shù)λ2(≠λ1),第二次使用達(dá)布變換可以構(gòu)造出另一新解對 (φ[2],q[2];λ,λ1,λ2).將第一次達(dá)布變換和第二次達(dá)布變換復(fù)合,稱之為二重達(dá)布變換.以此類推,不妨記n重達(dá)布變換后的解對為 (φ[n],q[n];λ,λ1,…,λn),其中λj(j=1,2,…,n)互不相等.

利用定理1,可以從種子解0 解出發(fā),生成動力學(xué)方程(1)的孤子解(soliton)和退化孤子解(positon)[20],也可以從平面波解出發(fā),生成呼吸子解[21]和退化呼吸子解.本文將以平面波解作為種子解,借助退化的達(dá)布變換構(gòu)造動力學(xué)方程(1)的怪波解.

2 怪波的激發(fā)條件

在下文中,將取定種子解[0]q為平面波解,即

其中ρj=ajx+bjt,aj,bj,cj?R,bj滿足色散關(guān)系:

此時,利用規(guī)范變換可將Lax 對(2)變量分離,并進(jìn)一步給出與種子解關(guān)聯(lián)的特征函數(shù)及怪波激發(fā)的條件.

則由規(guī)范變換φ=Rψ,可得變量已分離的Lax 對

其中多項式系數(shù)分別為

由式(24)容易驗證,[Λ,Ω]=0,即矩陣Λ,Ω可交換.

設(shè)uj(j=1,2,3,4)是矩陣Ω的特征值,則由式(24)可得,矩陣Λ的特征值vj滿足

且uj和vj具有相同的特征向量ηj,

其中θj=exp(ujx+vjt)ηj,j=1,2,3,4,則Ψ與exp(Ωx) exp(Λx)等價,都是式(22)的基解矩陣.因此,

是譜參數(shù)λ和種子解(j=1,2,3)關(guān)聯(lián)的特征函數(shù),其中,ξ是四維的常數(shù)列向量.

兩組Lax 對(2)和(22),它們的特征函數(shù)通過可逆變換R建立了聯(lián)系,而它們各自達(dá)布變換待求的矩陣S的元素也可以通過可逆變換R建立聯(lián)系.由于,可得定理2.

定理2若X=S滿足線性方程組

則X′=S滿足線性方程組

其中,函數(shù)H(?)和β(?)分別由式(13)和(17)定義.

證明考察線性方程組

用H、β和R來表示這兩個線性方程組,可知定理2 成立.證畢.

由于R矩陣的性質(zhì)和H與β函數(shù)構(gòu)造的矩陣的特點,定理2 給出了Lax 對(22)在其達(dá)布變換中求解的s1j與Lax對(2)在其達(dá)布變換中求解的之間的比例關(guān)系,即,j=2,3,4.因此,接下來將集中討論Lax 對(22)中特征函數(shù)ψ的構(gòu)造及其s1j的表示.

為了獲得呼吸波傳播的極限波形態(tài),即怪波解,也稱為Peregrine 孤子[22-23]或(準(zhǔn))有理解,本文考慮共振條件,即特征值uj(j=1,2,3,4)趨向同一值而形成四重根的條件.并且利用在規(guī)范變換(21)中引入的平移參數(shù)u0,將矩陣Ω的特征多項式

的四重根平移到零點.于是,可獲得x部分關(guān)于怪波激發(fā)的條件:

同時,利用平移參數(shù)v0將矩陣Λ的特征值平移至零點.于是,可得其中一組怪波激發(fā)的條件:

和譜參數(shù)λ激發(fā)怪波的臨界值:

當(dāng)激發(fā)條件式(27)和(28)同時成立時,色散關(guān)系式(20)可整理為

3 基礎(chǔ)特征函數(shù)與退化達(dá)布變換

在滿足激發(fā)條件式(27)的情況下,當(dāng)λ=λ0時,矩陣Ω,Λ相似于退化的若當(dāng)塊.現(xiàn)考慮λ0引入微擾量,取

考察λ1關(guān)聯(lián)的特征函數(shù).此時,由式(25),對Lax對(22)的特征函數(shù)ψ=Ψξ關(guān)于?泰勒展開可得

令常數(shù)向量ξ分別為

計算可得一組冪級數(shù)的多項分裂(multisection)構(gòu)成的特征函數(shù):

其 中,φ4j+k=Ψ4j+k ξk(k=0,1,2,3;j=0,1,2,…)是 由關(guān)于x,t的多項式組成的向量.

本文稱

為Lax 對(2)構(gòu)造怪波解的基礎(chǔ)特征函數(shù)組.分別將基礎(chǔ)特征函數(shù)Rψj作為φ,用于達(dá)布變換生成動力學(xué)方程(1)的新解.對于新解,考慮λ1→λ0時的極限,即?→0時動力學(xué)方程(1)的極限狀態(tài).此時根據(jù)定理2 和羅必塔法則,原定理1 可退化為定理3.

定理3設(shè)φk=Rψk(k=1,2,3)由式(21)和(32)定義,是動力學(xué)方程(1)對應(yīng)譜參數(shù)λ1=λ0+c1?4和種子解q[0]關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)特征函數(shù),則下列用行列式形式表出的函數(shù)是動力學(xué)方程(1)的一階怪波解:

證明當(dāng)極限?→0時,由羅必塔法則可得,或等價地直接提取分子分母矩陣中每個元素關(guān)于?最低次冪的系數(shù)可得.

定理3 考慮了極限情況下的解.在此(準(zhǔn))有理解(34)的表達(dá)式中,ψk關(guān)聯(lián)的為有理函數(shù),而因子exp(iρj)來源于定理2 指出的R0.需要說明的是,當(dāng)k=0 時,也可以根據(jù)定理3計算一次達(dá)布變換,獲得的解依舊為平面波解.

4 怪波的波形演化與極值軌跡

怪波也稱為極端波、異常波.為了展示在極限狀態(tài)下,α-螺旋蛋白的生物能量和生物信息傳遞動力學(xué)性質(zhì),本節(jié)利用定理3 給出k=1,2,3時一階怪波解的表達(dá)式,討論參數(shù)在不同數(shù)值下,尤其是a1為零和不為零時,怪波解各個分量的波形演化和波峰波谷軌跡.

4.1 參數(shù)k=1 時的怪波

當(dāng)k=1 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

固定某個時刻t,考察各個分量關(guān)于空間變量x的駐點,可得各個分量關(guān)于時刻t的極值軌跡.

谷值軌跡為

顯然,在t=0時,波形分別在x=(2c1)-1和x=處達(dá)到無量綱化的最大值和最小值0.即當(dāng)t=0 時,有一個三倍于平均振幅的波峰極值出現(xiàn),且兩側(cè)會出現(xiàn)對稱的波谷極值.這種劇烈的生物能量傳遞信號對α-螺旋蛋白的三個氫鍵的動力學(xué)影響有待實驗觀測和研究.當(dāng)t→±∞時,波形趨向為一峰二谷形狀的孤波,且峰值和谷值都趨向于漸近平面高度

種子解中參數(shù)a1是x的系數(shù),a1是否為常數(shù)0對波形有顯著影響.當(dāng)a1=0 時,方程(28)可獲得孤波解.例如,取a1=0,c1=γ=1,的波形演化如圖1 所示,區(qū)域[-2,2]× [-4 0,40]是波形的主體部分,其他區(qū)域已衰減到漸近平面的鄰域.

圖1 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

其極值軌跡如圖1(a)中虛線所示,其中紅色虛線是波峰軌跡線,藍(lán)色虛線是波谷軌跡線.觀察峰值和谷值的表達(dá)式可知,當(dāng)t=0 時,波形達(dá)到了最大值和最小值,分別為3,0,0.

當(dāng)a1≠0 時,方程(35)可獲得時間-空間雙局域的怪波解.例如,取a1=1,c1=γ=1時,波函數(shù)的波形演化如圖2 所示,其中虛線是t時刻極值的軌跡線.兩條極值軌跡的表達(dá)式是

圖2 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

4.2 參數(shù)k=2 時的怪波

當(dāng)k=2 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

其中,

這里,

鑒于k=2 的時候波函數(shù)的極值軌跡線是四次多項式的根,在一般情況下,極值軌跡的顯式表達(dá)式過于繁長,為免贅述,僅在示例中用三維虛線表出.

當(dāng)a1=0,c1=γ=1時,波函數(shù)的波形演化如圖3 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區(qū)域[-5,15]× [-3 00,100]是波形的主體部分,其余區(qū)域的波形已逐漸衰減到漸近平面的鄰域.

圖3 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

當(dāng)a1=1,c1=γ=1時,波函數(shù)的波形演化如圖4 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區(qū)域[-2,2]× [-30,30]是波形的主體部分,其余區(qū)域的波形已快速衰減到漸近平面的鄰域.

圖4 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

4.3 參數(shù)k=3 時的怪波

當(dāng)k=3 時,三分量高階非線性薛定諤方程的一階怪波解為

其中,

這里,

k=3時,波函數(shù)的極值軌跡線是六次多項式的根,在一般情況下,極值軌跡沒有顯式的根式表達(dá)式,文中同樣地僅在示例中用三維虛線表出.

當(dāng)a1=0,c1=γ=1時,波函數(shù)的波形演化如圖5 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區(qū)域[-5,25]× [-5 00,100]是波形的主體部分,其余區(qū)域的波形已逐漸衰減到漸近平面的鄰域.

圖5 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=0,c1=γ=1)

當(dāng)a1=1,c1=γ=1時,波函數(shù)的波形演化如圖6 所示,其中虛線是波峰和波谷所在的極值軌跡線.圖示區(qū)域[-2,2]× [-3 0,30]是波形的主體部分,其余區(qū)域的波形已快速衰減到漸近平面的鄰域.

圖6 一階怪波解各個分量的波形演化(a1=1,c1=γ=1)

在上述分別以k=1,2,3給出的示例圖中,對比a1=0和a1≠ 0的兩種情況可知,a1是否為零對于波形的局域性有顯著的影響.當(dāng)a1≠ 0時,波峰將迅速衰減到漸近水平,波峰觀察的窗口期較短.當(dāng)a1=0時,其波峰衰減速度緩慢,有較長的觀察時間.

文中波形不同于文獻(xiàn)[16-17]展現(xiàn)的孤波,文獻(xiàn)[16-17]的2-孤子在不同參數(shù)下展現(xiàn)了兩孤波之間的彈性碰撞和非彈性碰撞,長時間內(nèi)波高恒定的孤波容易被觀察到,且孤波碰撞的強(qiáng)相互作用區(qū)域容易被預(yù)測,本文討論的怪波的波高不定,波峰振幅巨大,是一種極限形態(tài),這給α-螺旋蛋白激發(fā)孤波傳遞生物能量和生物信息提供了一種新的理論形態(tài).

5 結(jié)論

本文研究了α-螺旋蛋白中生物能量沿蛋白質(zhì)分子鏈以孤波方式傳輸?shù)娜至扛唠A非線性薛定諤方程的控制模型,討論了該模型中三個相互耦合的波函數(shù)在極限狀態(tài)下激發(fā)極限波的形態(tài),即怪波解.基于控制模型Lax 對表示的譜問題,文中給出了以下三點發(fā)現(xiàn):

(1)利用規(guī)范變換得到了三分量高階非線性薛定諤方程的達(dá)布變換,該變換借助譜參數(shù)為某個任意給定的值及其所關(guān)聯(lián)的特征函數(shù),構(gòu)造線性方程組,并利用克萊姆法則,通過行列式形式表出.

(2)通過Lax 對的變量分離和平移參數(shù)的引入,給出了怪波激發(fā)的一組代數(shù)條件,其中包括譜參數(shù)的臨界值.通過對譜參數(shù)臨界值的微擾,利用冪級數(shù)的多項分裂構(gòu)造怪波解的基礎(chǔ)特征函數(shù),并由此導(dǎo)出了退化的達(dá)布變換.

(3)平面波解通過退化的達(dá)布變換獲得三分量高階非線性薛定諤方程的怪波解.在不同的參數(shù)下,用三維圖形示例怪波解的波形演化及其極值軌跡,其中包括時間-空間雙局域的怪波.極值軌跡表明了多個耦合分量之間能量分布和傳輸模式的不同.

本文方法和分析結(jié)果為三分量高階非線性薛定諤方程控制的α-螺旋蛋白中生物能量傳輸?shù)墓植ぐl(fā)實驗研究提供了理論支持,促進(jìn)了對怪波產(chǎn)生機(jī)制和形成效果的理解.特別地,當(dāng)參數(shù)γ等于0 時,控制模型退化為光學(xué)中重要的Manakov系統(tǒng),在光通信的研究中也具有重要的實際意義.