付江濤, 楊毅強(qiáng), 蒲 維, 宋 弘

(1.四川輕化工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院 四川 自貢 643000;2.人工智能四川重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 四川 自貢 643000; 3.阿壩師范學(xué)院 四川 阿壩 623002)

0 引言

目前,高增益勵(lì)磁系統(tǒng)在電力系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛,但隨之出現(xiàn)的低頻振蕩也成為電力系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行的一大瓶頸,設(shè)計(jì)合適的阻尼控制器是提升系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要措施[1]。廣域測(cè)量系統(tǒng)(WAMS)的發(fā)展為廣域阻尼控制器(wide area damping control,WADC)的設(shè)計(jì)提供了基礎(chǔ)。WADC與傳統(tǒng)的PSS相比,可以在宏觀上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制,脫離本地信號(hào)的局限。為設(shè)計(jì)合適的阻尼控制器,需要全面了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。但在實(shí)際的電力系統(tǒng)中,系統(tǒng)的全階模型難以得到,而且模型的階數(shù)較高,容易出現(xiàn)“維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題,也不利于后續(xù)的分析與設(shè)計(jì)[2]。故在辨識(shí)模型與系統(tǒng)主模態(tài)相同的條件下,如何設(shè)計(jì)一個(gè)低階系統(tǒng)與待辨識(shí)系統(tǒng)有著同樣的頻率響應(yīng)特性,如何在確保模型精度的情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)降階仍需深入研究[3]。

系統(tǒng)辨識(shí)的主要思想是通過(guò)傳遞函數(shù)來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行表征[4]。在研究系統(tǒng)的過(guò)程中,準(zhǔn)確的系統(tǒng)辨識(shí)有著舉足輕重的地位。1950年便出現(xiàn)了最早的系統(tǒng)辨識(shí),但由于理論不成熟,僅在線性系統(tǒng)中適用,對(duì)于非線性系統(tǒng)的適用性較差[5]。近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)的性能以及優(yōu)化算法、遺傳算法等概念的發(fā)展,許多系統(tǒng)辨識(shí)的方法在非線性系統(tǒng)中也受到青睞。

在系統(tǒng)辨識(shí)的過(guò)程中,模型的階數(shù)過(guò)高會(huì)增加系統(tǒng)的復(fù)雜度和計(jì)算難度。為了更準(zhǔn)確地進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)、簡(jiǎn)化后續(xù)分析的難度,對(duì)模型進(jìn)行降階處理是很有必要的。目前,常見(jiàn)的模型降階方法有:(1)奇異值分解(singular value decomposition,SVD)方法、平衡截?cái)喾?balanced truncation,BT)和交替方向隱式(alternating direction implicit,ADI)截?cái)喾?BT方法在中小模型應(yīng)用較多[6-7];(2) Krylov子空間類似方法:理克雷洛夫算法(rational Krylov,RK)和迭代有理克雷洛夫算法(iterative rational Krylov algorithm,IRKA)[6];(3)模態(tài)選擇法:通過(guò)識(shí)別系統(tǒng)的模態(tài),并且將系統(tǒng)的主導(dǎo)模態(tài)保留下來(lái)的方法[6]。文獻(xiàn)[8]和[9]采用模態(tài)選擇法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行降階處理。文獻(xiàn)[6]和[10]分別采用了平衡截?cái)喾ê徒惶娣较螂[式平衡截?cái)喾▽?duì)并網(wǎng)系統(tǒng)和風(fēng)電場(chǎng)系統(tǒng)進(jìn)行模型降階研究。文獻(xiàn)[11]和[12]通過(guò)使用Krylov子空間方法對(duì)高階系統(tǒng)模型進(jìn)行降階。文獻(xiàn)[13]和[14]采用特征值分析方法對(duì)電機(jī)組模型降階分析。以上的方法從多個(gè)角度對(duì)模型進(jìn)行降階研究,但這些方法存在著計(jì)算效率低及降階模型的變量缺乏實(shí)際的物理意義等問(wèn)題[9]。

針對(duì)存在的不足之處,本文通過(guò)TLS-ESPRIT算法和選擇模態(tài)法[15]來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)和降階處理,將辨識(shí)得到的留數(shù)和極點(diǎn)重新構(gòu)成系統(tǒng)傳遞函數(shù),將系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行降階,使其降階為低階系統(tǒng)。在單機(jī)系統(tǒng)及IEEE四機(jī)系統(tǒng)出現(xiàn)低頻振蕩的場(chǎng)景下,通過(guò)對(duì)比系統(tǒng)降階前后的功率以及角速度的仿真波形的吻合情況,驗(yàn)證方法的合理性和有效性,為后續(xù)阻尼控制器的設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)。

1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的辨識(shí)

1.1 TLS-ESPRIT算法

TLS-ESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn),是用來(lái)諧波恢復(fù)、衰減振蕩信號(hào)參數(shù)估計(jì)的工具[16-17]。與Prony算法相比,該算法在抗噪方面效果顯著[18]。此外,TLS-ESPRIT算法在生物信號(hào)處理、雷達(dá)陣列信號(hào)及語(yǔ)音信號(hào)等場(chǎng)合也得到了廣泛的使用。

假設(shè)x(n)是一組正弦信號(hào)和噪聲信號(hào)的組合,正弦信號(hào)的幅值是按指數(shù)規(guī)律變化的,在時(shí)刻n,其表達(dá)式為

(1)

其中,Ts為采樣周期;階數(shù)p為信號(hào)實(shí)際含有的正弦分量個(gè)數(shù)的2倍;ci=Aiejθi,Ai、ωi、θi、σi分別表示第i個(gè)模態(tài)的幅值、角頻率、相位和衰減因子;w(n)為噪聲信號(hào)。

通過(guò)采樣數(shù)據(jù)序列x(0),x(1),…x(N-1)可以構(gòu)成Hankle矩陣

(2)

式中,L>p;M>p;L+M-1=N。

對(duì)矩陣X奇異值分解可得

(3)

(2)將M可以劃分成4個(gè)p×p的矩陣。

(4)

(5)

(4)在得到采樣信號(hào)中各個(gè)分量的頻率和衰減因子,通過(guò)最小二乘法來(lái)解出幅值和初始角信息。對(duì)于N點(diǎn)的采樣信號(hào)

Y=λc

(6)

(5)采用最小二乘法可以得到解為留數(shù)c=(λHλ)-1λHY,可以得到信號(hào)中各個(gè)分量的幅值和初始角信息分別為

Ap=2|cp|

(7)

φp=arg(cp)

(8)

(6)通過(guò)采用(3)中的λi,可以得到由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的特征值(極點(diǎn))構(gòu)成的向量為

P=log(λi)/T

(9)

其中,T為采樣時(shí)間,i=1,2,…,p。

1.2 系統(tǒng)辨識(shí)

假設(shè)系統(tǒng)是可控可觀測(cè)的,狀態(tài)方程為

(10)

式中,x表示狀態(tài)向量;y表示輸出向量;u表示輸入向量;A表示狀態(tài)矩陣;B表示控制矩陣;C表示輸出矩陣。

與之相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(11)

式中,Λ=ΨTAΦ是由特征值組成的對(duì)角矩陣,對(duì)角元素為特征值;Φ為右特征向量矩陣;Ψ為左特征向量矩陣。因?yàn)棣菍?duì)角矩陣,因此可以化為

(12)

將TLS-ESPRIT中給出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的留數(shù)和極點(diǎn)代入式(12)中,得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達(dá)式。

2 系統(tǒng)降階

對(duì)于小型的電力系統(tǒng)所得的傳遞函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單,但是對(duì)于大型的電力系統(tǒng)來(lái)說(shuō),所得到的傳遞函數(shù)階數(shù)高,主導(dǎo)模態(tài)可能會(huì)被次要模態(tài)掩蓋,給后期的使用和運(yùn)算帶來(lái)許多不便,因此需要在保留主要特征的情況下,將系統(tǒng)的階數(shù)降到一個(gè)合理的數(shù)值。

2.1 模型降階的基本條件

在模型降階的時(shí)候,必須滿足以下條件:

(2)降階系統(tǒng)要保留原系統(tǒng)的性質(zhì),如穩(wěn)定性和無(wú)緣性;

(3)降階的算法或者程序簡(jiǎn)單方便[7]。

2.2 模態(tài)降階法[9]

2.2.1 選擇主導(dǎo)模態(tài)

模態(tài)降階法首先需要找到主導(dǎo)極點(diǎn)或者主導(dǎo)特征值。主導(dǎo)模態(tài)的判別標(biāo)準(zhǔn)為:在復(fù)平面中距離虛軸最近的極點(diǎn)為主導(dǎo)模式極點(diǎn),若存在距離相近的狀態(tài),則通過(guò)比較阻尼比,阻尼比小的為主導(dǎo)模態(tài)。

2.2.2 確定相關(guān)狀態(tài)

采用參與矩陣來(lái)表示模態(tài)與狀態(tài)變量的關(guān)系,矩陣中的元素Pki=ukivki為參與因子,用來(lái)表示第i個(gè)模態(tài)與第k個(gè)狀態(tài)變量之間的參與程度。

(13)

2.2.3 構(gòu)造降階系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(14)

(15)

其結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。其中,實(shí)線框?yàn)橄嚓P(guān)狀態(tài)子系統(tǒng),虛線框?yàn)椴幌嚓P(guān)狀態(tài)子系統(tǒng),對(duì)于不相關(guān)的子系統(tǒng)可以表示為

圖1 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(16)

從圖1中可以得出,相關(guān)狀態(tài)子系統(tǒng)表達(dá)式為

(17)

當(dāng)t≥t0時(shí),不相關(guān)狀態(tài)變量x2的表達(dá)式為

(18)

則相關(guān)狀態(tài)變量x1可以采用主導(dǎo)模式進(jìn)行表示。

(19)

式中,λi表示主導(dǎo)模式;vi表示對(duì)應(yīng)的特征向量(vi只是相關(guān)狀態(tài)變量的部分);li為常數(shù)。將(19)式代入(18)中,可以得出不相關(guān)狀態(tài)表達(dá)式為

(20)

不相關(guān)狀態(tài)子系統(tǒng)輸出的表達(dá)式為

(21)

(22)

式中,M滿足以下條件

M*[v1,v2,…,vh]=[H(λ1)v1,H(λ2)v2,…,
H(λi)vi]

(23)

綜上可以得出,不相關(guān)狀態(tài)子系統(tǒng)對(duì)于相關(guān)狀態(tài)的響應(yīng)表達(dá)式為

yx2=Mx1

(24)

但是需要注意的是,M的存在需要滿足條件Vh為滿秩矩陣,只有Vh為滿秩矩陣時(shí)候,M才有唯一的解。如果矩陣不是滿秩,則會(huì)存在多重解,可以通過(guò)附加條件對(duì)其進(jìn)行消除。將式(24)代入式(17)中,可以得出最終的降階系統(tǒng)

(25)

以上就是系統(tǒng)的降階模型的全過(guò)程,對(duì)于輸入-輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō),可以對(duì)其進(jìn)行以下的分區(qū)操作。

(26)

類似于上述推導(dǎo)構(gòu)造過(guò)程中Ar的降階方法,可以得出系統(tǒng)降階后的模型(Ar,Br,Cr,Dr)。其中,

(27)

采用選擇模態(tài)進(jìn)行系統(tǒng)降階主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):一方面是降階后的模型與原系統(tǒng)模型的主導(dǎo)模態(tài)保持一致;另一方面是降階后模型的各個(gè)狀態(tài)變量的物理意義得到了保留,同時(shí)也是該方法與平衡截?cái)喾ǖ菺ramian算法的優(yōu)勢(shì)所在。

2.3 本文的總體流程

本文總體的流程可以分為兩大部分:系統(tǒng)辨識(shí)及系統(tǒng)降階。具體通過(guò)TLS-ESPRIT算法對(duì)模型辨識(shí),采用模態(tài)降階法將高階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為低階系統(tǒng),具體流程如圖2所示。

圖2 本文總體流程圖

3 算例分析

為了驗(yàn)證所提方法的合理性和可行性,分別對(duì)單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)以及IEEE四機(jī)二區(qū)域系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證;對(duì)于模式未知的模型,對(duì)比原模型與辨識(shí)后模型的時(shí)域仿真波形[20]。

3.1 單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)

采用單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng),系統(tǒng)由發(fā)電機(jī)、勵(lì)磁系統(tǒng)、PSS和無(wú)窮大母線組成,阻尼控制器一般以轉(zhuǎn)子角速度差值Δω作為反饋信號(hào),PSS的輸出作為勵(lì)磁調(diào)節(jié)器的控制信號(hào)。將整個(gè)單機(jī)系統(tǒng)看成黑盒,由小擾動(dòng)信號(hào)作為輸入信號(hào),角速度差值Δω作為輸出信號(hào)構(gòu)成的單輸入單輸出系統(tǒng),單機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示,其中虛線框中的部分為所需要辨識(shí)的部分。

圖3 單機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

設(shè)置采樣頻率為50 Hz,通過(guò)使用第1節(jié)的辨識(shí)方法得到一個(gè)高階系統(tǒng)模型,利用模態(tài)降階法將高階模型轉(zhuǎn)化為低階模型。為驗(yàn)證降階后的模型與原來(lái)的模型具有相同的動(dòng)態(tài)特性,對(duì)單機(jī)系統(tǒng)施加擾動(dòng)信號(hào),大小設(shè)置為0.01倍參考電壓Vref。原系統(tǒng)與辨識(shí)降階后系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)如圖4所示。由圖4可知,辨識(shí)降階后的系統(tǒng)與原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性幾乎一樣,即便存在誤差,其量級(jí)也很小,說(shuō)明了辨識(shí)后的系統(tǒng)可以代替原來(lái)的高階系統(tǒng),簡(jiǎn)化了后續(xù)的計(jì)算與研究。

圖4 單機(jī)系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果

3.2 四機(jī)二區(qū)域系統(tǒng)

IEEE的四機(jī)二區(qū)域系統(tǒng)主要由2個(gè)區(qū)域組成,區(qū)域1由發(fā)電機(jī)G1和發(fā)電機(jī)G2組成,區(qū)域2由發(fā)電機(jī)G3和發(fā)電機(jī)G4組成,四機(jī)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖5所示。通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)和模態(tài)降階法來(lái)對(duì)四機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)和降階,本文主要分析區(qū)域間功率ΔPe和區(qū)域間的轉(zhuǎn)速偏差Δω,原系統(tǒng)與辨識(shí)后的系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)如圖6所示。

圖5 四機(jī)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(a) 功率辨識(shí)結(jié)果

由圖6可知,系統(tǒng)原模型的穩(wěn)態(tài)功率為101.5 MW,降階后的模型穩(wěn)態(tài)功率為102.1 MW,穩(wěn)態(tài)功率之間的誤差僅為0.5%。轉(zhuǎn)速偏差也是與之類似,誤差較小。原系統(tǒng)與降階后的系統(tǒng)轉(zhuǎn)速差和功率的曲線幾乎相同,也就是說(shuō),動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差在可接受的范圍之內(nèi)。誤差的主要原因可能是在對(duì)非線性系統(tǒng)的線性化和系統(tǒng)降階過(guò)程中存在一定的誤差。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,降階后的模型可以較為準(zhǔn)確地還原出原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)行為,其中所存在的誤差在實(shí)際工程中是在可接受范圍之內(nèi)的。

3.3 不同方法的ITAE指標(biāo)比較

采用時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分(ITAE)作為衡量降階系統(tǒng)精度的指標(biāo)。對(duì)于連續(xù)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō),ITAE公式為

(28)

由圖7可以得出,本文采用的方法精度較高,對(duì)于電力系統(tǒng)中的兩種不同的電力系統(tǒng)模型,均優(yōu)于Prony方法和BT方法。對(duì)系統(tǒng)的辨識(shí)和降階有著良好的辨識(shí)精度,同時(shí)也簡(jiǎn)化了后續(xù)研究的運(yùn)算難度。

圖7 ITAE指標(biāo)對(duì)比

4 結(jié)論

隨著電力系統(tǒng)的不斷發(fā)展,構(gòu)建合適的電力系統(tǒng)仿真模型對(duì)電力系統(tǒng)的運(yùn)行有著重大意義。但是對(duì)于規(guī)模日益增大的電力系統(tǒng)來(lái)說(shuō),辨識(shí)得到的全階模型對(duì)于后續(xù)的研究是較為困難的,所以需要對(duì)得到的高階模型進(jìn)行降階處理,在保證穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)行為不變的情況下簡(jiǎn)化后續(xù)的分析。本文提出了基于TLS-ESPRIT算法辨識(shí)和選擇模態(tài)降階的方法對(duì)單機(jī)無(wú)窮大系統(tǒng)和四機(jī)二區(qū)域系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)和降階分析,仿真分析結(jié)果表明:

(1)TLS-ESPRIT算法可以通過(guò)系統(tǒng)的輸出信號(hào)辨識(shí)得出系統(tǒng)模型的傳遞函數(shù),為后續(xù)的系統(tǒng)模型降階奠定了基礎(chǔ)。

(2)基于模態(tài)選擇法降階后的模型相比于全階模型,具有相同的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)行為,且與其他方法相比,精確度較高。