郭永勝

在解決某些最值問題時(shí)，我們可以通過構(gòu)造二次函數(shù)模型，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解。現(xiàn)將這類最值問題歸納整理如下，希望對(duì)同學(xué)們解決此類問題有所幫助。

一、求代數(shù)式的最值

例1 已知實(shí)數(shù)m、n滿足n-m=1，則代數(shù)式m2+2n-6m+7的最小值是 。

【分析】n-m=1變形可得n=m+1，替換所求代數(shù)式中的n，得到關(guān)于m的二次多項(xiàng)式。

解：令y=m2+2n-6m+7。

∵n-m=1，∴n=m+1。

∴y=m2+2n-6m+7=m2+2（m+1）-6m+7=m2+2m+2-6m+7=m2-4m+4+5=（m-2）2+5。

∵此拋物線開口向上，∴當(dāng)m=2時(shí)，y取最小值，最小值為5。

變式 已知實(shí)數(shù)a、b滿足a-b2=4，則代數(shù)式a2-3b2+a-14的最小值是。

【分析】a-b2=4變形得到b2=a-4，替換所求代數(shù)式中的b2，得到關(guān)于a的二次多項(xiàng)式。但要注意b2=a-4≥0。

解：令y=a2-3b2+a-14。

∵a-b2=4，∴b2=a-4。

∴y=a2-3（a-4）+a-14=a2-3a+12+a-14=a2-2a+1-3=（a-1）2-3。

此拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線a=1。又b2=a-4≥0，即a≥4，∴當(dāng)a≥4時(shí)，y隨著a的增大而增大?！喈?dāng)a=4時(shí)，y取最小值為6。

【反思】以上問題屬于由已知等式求未知代數(shù)式的最值。每個(gè)題目中含有兩個(gè)字母，類比解方程組的“代入消元法”將所求代數(shù)式變?yōu)橹缓幸粋€(gè)字母的二次多項(xiàng)式。同學(xué)們要注意，我們必須先明確字母的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)準(zhǔn)確求值。

二、求幾何圖形的最值

例2 如圖1，正方形ABCD的邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，則CN的最大值是。

【分析】由圖可知，點(diǎn)N隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，CN的長度隨之改變。設(shè)BM=x，用含x的代數(shù)式表示CN，將CN看作關(guān)于x的二次函數(shù)。

解：設(shè)BM=x，則MC=4-x。

根據(jù)“一線三等角”易證△ABM∽△MCN。

∴[ABMC]=[BMCN]，即[44-x]=[xCN]。

解得CN=[x（4-x）4]。

∴CN=[x（4-x）4]=[-14]（x2-4x）=[-14]（x-2）2+1。

∵[-14]＜0，∴拋物線開口向下。

∴當(dāng)x=2時(shí)，CN取最大值，最大值為1。

變式 如圖2，D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，其中BC=8，BC邊上的高為6，且DE∥BC，則△DEF面積的最大值是。

【分析】由圖可知，求△DEF的面積就是求邊DE的長度及DE邊上的高。邊DE的高隨DE長度的變化而變化，設(shè)DE=a，用含a的代數(shù)式表示DE上的高，則△DEF的面積可看作關(guān)于a的二次函數(shù)。

解：如圖3，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE。

設(shè)DE=a。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC。

∴[DEBC]=[ANAM]，即[a8]=[AN6]。

∴AN=[34]a?！郙N=6[-34]a。

∴S△DEF=[12]×DE×MN=[12]a（6[-34]a）

=[-38]a2+3a=[-38]（a-4）2+6。

∵[-38]＜0，∴拋物線開口向下。

∴當(dāng)a=4時(shí)，S有最大值6。

【反思】以上問題屬于幾何圖形中常見的求線段、面積最值的題目。解題時(shí)常利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、勾股定理、面積公式、三角函數(shù)等知識(shí)建立各個(gè)量之間的關(guān)系，再設(shè)未知數(shù)進(jìn)行“量化”，得到相應(yīng)的二次函數(shù)。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學(xué)湖東路校區(qū)）