王苗苗 梁婕

摘?要：設(shè)V是除環(huán)K的全賦值環(huán)，Aut（K）是K的自同構(gòu)群，Z是整數(shù)加群，σ：Z（n）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài)。K［Z（n），σ］是Z（n）在K上的斜群環(huán)，K（Z（n），σ）是K［Z（n），σ］的商除環(huán).設(shè)單同態(tài)i：Z（n-1）→Z（n），將Z（n-1）自然地嵌入Z（n）的前n-1個(gè)分量，則τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài)，此時(shí)斜群環(huán)K［Z（n-1），τ］可以自然地看作是KZ（n），σ的子環(huán).令D=K（Z（n-1），τ），則D是K［Z（n-1），τ］的商除環(huán).令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.假設(shè)A是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張，Jg（A）是A的分次Jacobson根，則AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴(kuò)張.假設(shè)AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，可以得出B是S0在DY，Y-1；θ上的分次擴(kuò)張.

關(guān)鍵詞：全賦值環(huán)；分次擴(kuò)張；高斯擴(kuò)張；商除環(huán)

中圖分類號(hào)：O153.3??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?AMS（2000）主題分類號(hào)：16W50

Abstract：Let?V?be?a?total?valuation?ring?of?a?division?ring?K，Aut（K）?be?the?group?of?automorphisms?of?K，Z?be?the?additive?group?of?integers，and?σ：Z（n）→Aut（K）?be?a?group?homomorphism.Let?KZ（n），σ?be?the?skew?group?ring?of?Z（n）?over?K，K（Z（n），σ）?be?the?quotient?division?ring?of?KZ（n），σ.Let?the?injective?i：Z（n-1）→Z（n）?embed?Z（n-1）?naturally?into?the?front?n-1?components?of?Z（n），then?τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K）?is?a?group?homomorphism，and?the?skew?group?ring?K［Z（n-1），τ］?can?be?naturally?regarded?as?a?subring?of?KZ（n），σ.Let?D=K（Z（n-1），τ），then?D?is?the?quotient?division?ring?of?K［Z（n-1），τ］.Let?Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.Suppose?that?A?is?a?graded?extension?of?V?in?KZ（n），σ?and?Jg（A）?is?the?graded?Jacobson?radical?of?A，then?AJg（A）?is?a?Gauss?extension?of?V?in?K（Z（n），σ）.Assuming?AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，it?follows?that?B?is?a?graded?extension?of?S0?in?D［Y，Y-1；θ］.

Keywords：total?valuation?ring；graded?extension；gauss?extension；quotient?division?ring

1?概述

設(shè)V是除環(huán)K的全賦值環(huán)，σ：Z（n）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài).本文將研究K［Z（n），σ］上的分次擴(kuò)張。2007年，Brungs等人在文獻(xiàn)［1］中提出了張量積中全賦值環(huán)的分次擴(kuò)張問題，并證明了分次擴(kuò)張的集合與高斯擴(kuò)張的集合之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，故為了研究高斯擴(kuò)張，可以研究與其對(duì)應(yīng)的分次擴(kuò)張.另外，分次擴(kuò)張是一類重要的分次代數(shù)，其本身也具有重要的研究?jī)r(jià)值.他們研究了分次擴(kuò)張A與之對(duì)應(yīng)的高斯擴(kuò)張的性質(zhì)，之后出現(xiàn)了許多相關(guān)問題的研究.2007年，謝光明和Marubayashi在文獻(xiàn)［2］中詳細(xì)地研究了K（X，σ）上的高斯擴(kuò)張.斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)是一類重要的環(huán)，謝光明和Marubayashi對(duì)斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)K［X，X-1；σ］上分次擴(kuò)張的完全分類進(jìn)行了研究，得到了很多有價(jià)值的研究成果.在文獻(xiàn)［3］和［4］中，他們根據(jù)A1和A-1的性質(zhì)，把斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)K［X，X-1；σ］上的分次擴(kuò)張，分成了8種不同的類型，分別是（a）類，（b）類，（c）類，（d）類，（e）類，（f）類，（g）類和（h）類分次擴(kuò)張，并對(duì)每一類分次擴(kuò)張的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了詳細(xì)的刻畫.2010年，謝光明等人在文獻(xiàn)［5］中對(duì)分次擴(kuò)張的性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)的討論，他們把K［X，X-1；σ］上的分次擴(kuò)張分為類型（Ⅰ）和類型（Ⅱ），并證明了：A是類型（Ⅰ）的分次擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)A是（a）類，（b）類，（c）類，（d）類，（f）類或（g）類分次擴(kuò)張，A是類型（Ⅱ）的分次擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)A是（e）類或（h）類分次擴(kuò)張.2010—2012年之間，謝光明等人在文獻(xiàn)［67］中對(duì)K（X，σ）上高斯擴(kuò)張的商除環(huán)等問題進(jìn)行了探討.2009年，謝光明等人在文獻(xiàn)［8］中對(duì)K［Z（2），σ］上的平凡分次擴(kuò)張進(jìn)行了完全的刻畫，但對(duì)KZ（2），σ上一般類型的分次擴(kuò)張，現(xiàn)在的研究還相對(duì)較少.2017年，李海賀在文獻(xiàn)［9］中研究了域上群環(huán)KZ（n）上分次擴(kuò)張問題，并完全刻畫了KZ（n）上的分次擴(kuò)張.2021年，羅鑫鑫在文獻(xiàn)［10］中對(duì)斜群環(huán)K［Z（n），σ］上的平凡分次擴(kuò)張進(jìn)行了刻畫.但對(duì)K［Z（n），σ］上一般類型的分次擴(kuò)張，目前研究的非常少，本文將探索相關(guān)問題.

2?預(yù)備知識(shí)

本小節(jié)，將介紹一些相關(guān)的重要概念.

定義1［3］：設(shè)K是一個(gè)除環(huán)，若對(duì)k∈K，k≠0，有k∈V或k-1∈V，則稱V是K的一個(gè)全賦值環(huán).

定義2［3］：設(shè)A是K［Z（n），σ］的子環(huán)，若對(duì)0≠α∈A，設(shè)α=a1Xk1+…+anXkn，有ajXkj∈A（1SymbolcB@

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n），則稱A是K［Z（n），σ］上的分次子環(huán).

定義3［3］：設(shè)A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次子環(huán)，若對(duì)aXμ∈K［Z（n），σ］，有aXμ∈A或（aXμ）-1∈A，則稱A是K［Z（n），σ］上的分次全賦值環(huán).

定義4［3］：設(shè)A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次全賦值環(huán)，若A0=V，則稱A是V在K［Z（n），σ］上的分次擴(kuò)張.

定義5［11］：設(shè)A=μ∈Z（n）AμXμ是V在K［Z（n），σ］上的分次擴(kuò)張，則稱A的分次極大左理想的交Jg（A）是A的分次Jacobson根.

定義6［1］：設(shè)R是K（Z（n），σ）上的一個(gè)全賦值環(huán)，R∩K=V.如果R滿足下述條件：對(duì)α=a1Xμ1+a2Xμ2+…+amXμm∈K［Z（n），σ］，當(dāng)aiXμiRajXμjR（1SymbolcB@

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m）時(shí)，必定有αR=aiXμiR.則稱R是V在K（Z（n），σ）上的一個(gè)高斯擴(kuò)張.

定義7［11］：設(shè)R是整環(huán)，若對(duì)任意的a，b∈R，b≠0，存在c，d∈R，d≠0.使得da=cb，則稱R滿足左Ore條件或稱R是一個(gè)左Ore集.

3?K［Z（n），σ］上的分次擴(kuò)張

設(shè)V是除環(huán)K的全賦值環(huán)，σ：Z（n）→Aut（K）是一個(gè)群同態(tài)，KZ（n），σ=∑mi=1aiXui|ai∈K，ui∈Z（n）是Z（n）在K上的斜群環(huán)，則對(duì)任意的a∈K，u∈Z（n），Xua=σ（u）（a）Xu.KZ（n），σ有一個(gè)商環(huán)K（Z（n），σ）.設(shè)l：Z（n-1）→Z（n）自然地將Z（n-1）嵌入Z（n）的前n-1個(gè)分量.令τ=σ°l：Z（n-1）→Aut（K），則有環(huán)的單同態(tài)：

f：K［Z（n-1），τ］→KZ（n），σ；

∑aiXμi→∑aiXl（μi）.

所以我們可以將K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一個(gè)子環(huán).設(shè)D=K（Z（n-1），τ），則D可自然地看作K（Z（n），σ）的一個(gè)子除環(huán).在本文中，令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1），則KZ（n），σ可看作是D上的斜羅朗多項(xiàng)式環(huán)，即KZ（n），σ=D［Y，Y-1；θ］.在本文中，我們將研究KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張與D［Y，Y-1；θ］上分次擴(kuò)張的密切聯(lián)系.

引理1［11］：設(shè)R是一個(gè)整環(huán)且R是一個(gè)左Ore集.則對(duì)任意的δ1，δ2，…，δn∈R且δ1≠0，δ2≠0，…，δn≠0，存在η1，η2，…，ηn∈R且η1≠0，η2≠0，…，ηn≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηnδn.

引理2［1］：設(shè)A=μ∈Z（n）AμXμ是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張，A0=V，Jg（A）是A的分次Jacobson根，那么Jg（A）是可局部化的，并且R=AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴(kuò)張.

引理3［1］：設(shè)R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴(kuò)張，那么A=R∩KZ（n），σ是V在KZ（n），σ上的一個(gè)分次擴(kuò)張，并且Jg（A）=J（R）∩KZ（n），σ，R=AJg（A）.

引理4［1］：V在KZ（n），σ上的所有分次擴(kuò)張組成的集合與V在K（Z（n），σ）上的所有高斯擴(kuò)張組成的集合之間存在一個(gè)雙射φ，且具體的映射方式為φ：A→φ（A）=AJg（A），φ-1：R→φ-1（R）=R∩KZ（n），σ.

其中A是V在KZ（n），σ上的一個(gè)分次擴(kuò)張，R是V在K（Z（n），σ）上的一個(gè)高斯擴(kuò)張.

引理5：設(shè)A是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張，R=AJg（A），將D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除環(huán).則對(duì)λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

證明：對(duì)λ∈D，λ≠0.顯然（λR）∩Dλ（R∩D）成立.另一方面，對(duì)α∈（λR）∩D，存在β∈R，使得α=λβ，則β=λ-1α∈D，故α=λβ∈λ（R∩D），從而（λR）∩Dλ（R∩D）.因此對(duì)λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

類似于參考文獻(xiàn)［3］中引理1.1的證明，我們可得下面的引理6和引理7.

引理6：B=j∈ZSjYj是D［Y，Y-1；θ］上的一個(gè)子集，S0是D的全賦值環(huán)，則B是S0在D［Y，Y-1；θ］上的一個(gè)分次擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)

（1）對(duì)任意的j∈Z，Sj是D的一個(gè)加法子群；

（2）對(duì)任意的j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2；

（3）對(duì)任意的j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D.

引理7：設(shè)A=μ∈Z（n）AμXμ是KZ（n），σ的一個(gè)子集，A（0，0，…，0）=V，則A是V在KZ（n），σ的一個(gè)分次擴(kuò)張當(dāng)且僅當(dāng)

（1）對(duì)任意的μ∈Z（n），Aμ是K的一個(gè)加法子群；

（2）對(duì)任意的μ1，μ2∈Z（n），Aμ1σ（μ1）（Aμ2）Aμ1+μ2；

（3）對(duì)任意的μ∈Z（n），Aμ∪σ（μ）（A--μ）=K.

定理1：設(shè)A是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張，R=AJg（A），將K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一個(gè)子環(huán)，將D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除環(huán).令R∩DYj=SjYj，則：

（1）S0是V在D上的高斯擴(kuò)張；

（2）B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.

證明（1）當(dāng)j=0時(shí)，R∩D=S0.由引理2可得，R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴(kuò)張，則R是K（Z（n），σ）上的一個(gè)全賦值環(huán).對(duì)λ∈D，有λ∈R或λ-1∈R，從而λ∈S0或λ-1∈S0，故S0是D的全賦值環(huán).并且S0∩K=（R∩D）∩K=R∩（D∩K）=R∩K=V.對(duì)0≠λ′∈KZ（n-1），τ，設(shè)λ′=a1Xk1+…+asXks，則存在t，使得atXktRajXkjR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）的高斯擴(kuò)張，則λ′R=atXktR，由引理5可得λ′S0=λ′（R∩D）=（λ′R）∩D=（atXktR）∩D=atXkt（R∩D）=atXktS0.

因此S0是V在D上的高斯擴(kuò)張.

（2）由題設(shè)條件可知，B=R∩DY，Y-1；θ，B=∑ajYj|aj∈D，∑ajYj∈R.對(duì)0≠α∈B，設(shè)α=δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls，其中δ1，…，δs，γ1，…γs∈K［Z（n-1），τ］且δ1≠0，…，δs≠0.由引理1可得，存在η1，η2，…，ηs∈KZ（n-1），τ且η1≠0，η2≠0，…，ηs≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηsδs.則

（η1δ1）α=（η1δ1）（δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls）

=η1γ1Yl1+…+ηsγsYls

α′∈KZ（n-1），τY，Y-1；θ=KZ（n），σ.

從而存在m，使得ηmγmYlmRηjγjYljR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴(kuò)張，則α′R=ηmγmYlmR.因αR=（η1δ1）-1α′R=（η1δ1）-1ηmγmYlmR=δ-1mγmYlmR，并且δ-1jγjYljRδ-1mγmYlmR=αRR.則δ-1jγjYlj∈R，故δ-1jγjYlj∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一個(gè)分次子環(huán).

因DY，Y-1；θ=KZ（n），σK（Z（n），σ），則對(duì)βYj∈D［Y，Y-1；θ］，有βYj∈R或（βYj）-1∈R，從而βYj∈B或（βYj）-1∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一個(gè)分次全賦值環(huán).故B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.

根據(jù)引理4和定理1可得，R=AJg（A）且R=BJg（B），所以AJg（A）=BJg（B）.

上述定理的逆命題也成立.

定理2：將K［Z（n-1），τ］看作K［Z（n），σ］的子環(huán).設(shè)S0是V在D=K（Z（n-1），τ）上的高斯擴(kuò)張，B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.令Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，υ∈Z（n-1）.則A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張，并且AJg（A）=BJg（B）.

證明：因B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次擴(kuò)張.由引理6可得，則對(duì)j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，且對(duì)j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2.因Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，則A（0，0，…，0）=S0∩K=V，且對(duì)υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有

A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））Xυ1+υ2=（A（υ1，j1）Xυ1）θj1（A（υ2，j2）Xυ2）

=（Sj1∩KXυ1）θj1（Sj2∩KXυ2）

Sj1θj1（Sj2）∩KXυ1+υ2

Sj1+j2∩KXυ1+υ2

=A（υ1+υ2，j1+j2）Xυ1+υ2.

則對(duì)υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））A（υ1+υ2，j1+j2）.

對(duì)υ∈Z（n-1），j∈Z，0≠a∈K.假設(shè)aA（υ，j），則aXυA（υ，j）Xυ=Sj∩KXυ，故aXυSj.因j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，則aXυ∈θj（S--j），故（θ-j（aXυ））-1=θ-j（X-υa-1）=θ-j（τ（-υ）（a-1）X-υ）=σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j.

從而σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j∩KX-υ=A（-υ，-j）X-υ，則a∈σ（υ，j）（A-（-υ，-j））.因此對(duì)υ∈Z（n-1），j∈Z，都有A（υ，j）∪σ（υ，j）（A-（-υ，-j））=K.

由引理7可得，A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張.由引理4和定理1可知，AJg（A）=BJg（B）.

結(jié)語(yǔ)

本文主要討論了KZ（n），σ上的分次擴(kuò)張與D［Y，Y-1；θ］上分次擴(kuò)張的密切聯(lián)系.通過定理1可得，已知KZ（n），σ上的一個(gè)分次擴(kuò)張A，可以構(gòu)造出D［Y，Y-1；θ］上的一個(gè)分次擴(kuò)張B，通過定理2可得，已知D［Y，Y-1；θ］上的一個(gè)分次擴(kuò)張B，可以構(gòu)造出KZ（n），σ上的一個(gè)分次擴(kuò)張A.并且滿足性質(zhì)AJg（A）=BJg（B）.比較定理1與定理2可得，定理1與定理2互為逆命題.

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作者簡(jiǎn)介：王苗苗（1995—?），女，漢族，河南周口人，碩士，現(xiàn)就讀于廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用。