摘 要：為解決學生對“高等代數”中眾多抽象的定義、定理難以理解的情況，本文將數字圖像融入“高等代數”課程，旨在運用直觀生動的圖像改進“高等代數”中對于概念的傳統教學模式，增強學生學習數學的興趣，進一步提升學生發(fā)散思維與創(chuàng)新能力。

關鍵詞：高等代數；數字圖像；抽象概念；課程融入

"Advanced Algebra" Case Analysis Combining Digital Images

Yang Tianji

Lianyungang Normal College JiangsuLianyungang 222000

Abstract：To solve the problem of students having difficulty understanding the numerous abstract definitions and theorems in "Advanced Algebra"，this article integrates digital images into the "Advanced Algebra" course，aiming to use intuitive and vivid images to improve the traditional teaching mode of concepts in "Advanced Algebra"，enhance students' interest in learning mathematics，and further enhance their divergent thinking and innovation abilities.

Keywords：Advanced Algebra；Digital images；Abstract definitions；Course integration

1 概述

Algebra（代數）這一詞匯，最早由清代傳入中國，并在1859年被著名數學家、翻譯家李善蘭正式翻譯為“代數”，一直沿用至今?！案叩却鷶怠弊鳛閿祵W系三大專業(yè)基礎課程之一，是“抽象代數”“離散數學”“微分方程”“泛函分析”“計算方法”等后繼課程的理論基礎，重要性不言而喻。

“高等代數”具有從初等代數向高等代數的過渡作用，其教學目的側重從概念、理論以及抽象的代數方法出發(fā)，培養(yǎng)學生一定的數學素養(yǎng)。對比“初等代數”側重學習數與數的運算性質，高等代數的“數”上升到更廣泛的數學對象，例如：多項式、向量、矩陣、變換等。尤為重要的一點，“高等代數”教學的重心從代數系統的元素特性轉移到代數系統自身和相互之間的聯系，強調須證明給出新定義的運算法則和規(guī)律。

然而，“高等代數”究竟有什么用，對開設課程的大一學生來說卻是一個困擾的問題。學生學習“高等代數”課程談及最大作用只局限于解題、升學考試的需要，難以從抽象的概念中理解知識的銜接性、現實性。“數學是科學技術的本質，高新技術的發(fā)展離不開數學”這一論據，學生對此似懂非懂，很難憑借學習過的理論知識論證數學的重要性。

2 “高等代數”課程教學改革

隨著信息化時代的發(fā)展，現今的數學在生活中不再是買賣物品等計算的簡單工具，而是作為核心支撐，成為新時代重要競爭力學科，廣泛直接地在眾多技術領域滲透，比如金融風險評估、人工智能機器人研發(fā)、醫(yī)學圖像分割、遙感監(jiān)控圖像的去模糊處理、人臉識別、航天飛船軌跡追蹤等。

以時代為契機，“高等代數”的課堂教學應當同步改革［12］，借助數字媒體工具和信息化軟件［3］結合教學也是大勢所趨。

2.1 可行性與必要性

1987年，錢天白教授發(fā)出我國第一封電子郵件“越過長城，通向世界”，揭開了中國人使用Internet的序幕，標志著中國邁入互聯網時代。至今，信息化技術已日漸成熟，眾多行業(yè)都有一定的信息化需求，而數學與計算機的交叉學科更是受到社會的廣泛關注。雖然，基礎數學是現代科學研究發(fā)展的基石，丘成桐院士也曾針對數學人才的培養(yǎng)目標，指出基礎科學的基礎是基礎數學，政府應當將目標從短期的經濟效益，轉變?yōu)殚L遠培養(yǎng)一流的基礎數學人才。但同時，丘院士也表明，不是所有的年輕人都符合條件，需要集中精力培養(yǎng)一批特別有才華、又對數學有濃厚興趣的年輕人。針對這一狀況，普通高校數學專業(yè)的發(fā)展，更應立足于應用數學等方向的二級學科。

2.2 教學方法探討

“高等代數”的教學存在兩個重要且嚴肅的問題：（1）“高等代數”的學習對生活有著什么實際意義。（2）如何能夠教好“高等代數”課程，讓學生愿意學、喜歡學。針對上述兩個問題，眾多專家、教師深入一線教學并實踐教學，給出了許多不同的答案。

部分教師傾向于傳統教學方法，沿襲中學數學的學習模式，通過大量習題作業(yè)幫助學生鞏固知識。其初衷是將學習的重心放在應試上，如果學生存在不理解的概念、定理等內容，若不影響題目的解答，教師便選擇忽略。然而，“高等代數”作為高校數學專業(yè)的必修課科目，其難度大、內容多、授課時間短，很難做到新授課為輔、習題課為主的教學模式，且解題思路更加多元化，并非中學時期的“套路”模式，很多學生出現不理解知識點就無法形成體系，無法形成體系就難以聯系先驗知識解題的情況。

對此，有學者提出必須要給學生講解抽象概念和嚴謹證明，針對學生難以理解的情況，可以通過構造反例來加以解決。數學學科具有嚴謹性，驗證一個命題的正確性需要給出嚴格的證明，可是驗證一個命題是錯誤的，僅僅需要構造反例［4］?！案叩却鷶怠钡恼n堂教學中，列舉具體的反例可以幫助學生解決許多抽象的數學問題。比如：判斷一個對應關系是不是映射、一個變換是不是線性變換等問題，要證明不是，只要部分定義不滿足條件即可證明，往往數值代入法是一個簡單恰當的證明方法。確實，反例法體現了逆向思維的運用，可以與正向思維進行互補，搭建橋梁，簡化問題難度，加深概念理解，強化學生信心，促進課堂氛圍。

然而，反例法只是在教學方法中進行改善，適當減輕學生證明方面的壓力，讓學生愿意去學。要想讓學生喜歡學習“高等代數”課程，教師必須從根本出發(fā)，深化教學改革，融入恰當的學科知識，做到讓學生懂這門學科的現實意義。只有把抽象的概念轉化成直觀可見的內容，把枯燥難解的定理運用到生活，才能真正讓學生喜歡學。事實上，解決本節(jié)提出的第二個問題只需要解決第一個問題便可水到渠成。

2.3 學生問卷反饋

針對“高等代數”怎么教學才能更受學生歡迎的問題，學生給出的答案比教師更有說服力。通過對連云港師范高等專科學校2020、2021、2022屆小學數學教育（師范類）學生進行問卷調查（200名學生參與），其中，85%的學生認為高等代數是一門越學越難的學科，認可度最高的理由是課程知識從直觀的計算過渡到各種線性抽象概念的理解。作為一門只在大一教學的專業(yè)課程，60%的同學認為真正學好“高等代數”這一門課程卻是在大二甚至大三，理由主要是學習過后續(xù)其他課程才更清晰“高等代數”的現實意義，只有面對轉本考試的壓力才有學習“高等代數”的動力。

3 教學案例分析

通過問卷調查，發(fā)現學生更喜歡直觀可見的數學知識，且很多學生具有明確的學習性——為用而學。對此，考慮將數字圖像融入“高等代數”課程教學［5］中，用圖像聯系代數知識，用圖像吸引學生學習興趣。

3.1 教學案例

在高等代數線性變換的定義教學中，定義的給定非常簡單。但如何用定義判斷一個變換是否為線性變換，尤其與線性空間的同構進行對比時，不少學生容易出現混淆。為解決這一問題，幫助學生從概念上真正理解，可將數學矩陣用圖像適當引入。

案例1：把V（實數域上n維向量空間）中每一向量繞坐標原點旋轉θ角，就是一個線性變換。已知旋轉角，對應旋轉矩陣為：

cosθ-sinθ

sinθcosθ

一個向量可以看作是一個n階行矩陣或者n階列矩陣，而矩陣在計算機語言中可以看作一個圖像，這一點在“高等代數”的課程中卻很少會提及。本文結合MATLAB，將案例1的向量線性變換用圖像表示，如下圖所示。

其中，A表示原始圖像，B表示將原始圖片逆時針旋轉45°，C表示將原始圖片順時針旋轉45°。

案例2：對于實現圖像去噪、去模糊、分割等程序，其中數值求解的部分往往需要結合矩陣來推導數學算法。在課堂教學中，可以強調高等代數中Cramer法則和Laplace算法等重要性。同時適當普及數字圖像中卷積的相關知識，并用程序實現圖像，通過對圖像和矩陣數表的觀察，幫助學生了解“高等代數”在數字圖像的重要地位。

事實上，“高等代數”中矩陣的初等變換以及課程中許多的線性性質都可以用圖像來實現。由于在MATLAB中，彩色圖像可以進行通道分解，每個通道對應的灰色圖像都有相應的數值，將其進行0—1分布，矩陣中的每一個數值便可以對應黑白顏色，即從圖像的變化中也可以間接反映數字變化的大致結果。

3.2 效果分析與思考

相比于傳統“高等代數”課程的教學模式，結合數字圖像融入課程教學有著顯著優(yōu)勢。通過圖像，學生可以直觀感受“高等代數”在現實社會中的存在價值，并增強學習興趣，同時能夠更好地理解“行列式是一個數值，矩陣是一個數表”這句話的意義。而實現這一效果，需要編寫的計算機程序相對較少，不必擔心學生的基礎薄弱。

通過與代課班級的學生交流，學生對新教學模式的感覺良好，不僅對抽象的代數概念有了更鮮明的了解，更有個別學生對數字圖像產生了一定的興趣，課后會從線上平臺觀看相關的課程視頻。當然，教學模式的轉變也是一把雙刃劍，在“高等代數”中融入數字圖像知識，雖然可以豐富課程內容，但仍有幾個問題需要考慮：

（1）新教學模式對師生的要求更高。教師需要有扎實的學術功底，對任教課程以及融合課程［67］都相當熟悉；學生也需要具備一定的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維，勇于突破，不能局限于教什么學什么的狀態(tài)。

（2）教材是學生學習知識的重要材料，其編寫具有規(guī)范、嚴謹的特征。而《高等代數》包含大量的定義、定理、數字符號，證明推導的內容相對枯燥繁多，書本上的實例又往往需要結合一定的理論知識，存在例題陳舊、跟不上時代發(fā)展等情況，需要教師適當把控改進。

（3）不是所有的“高等代數”課程都可以或適合融入數字圖像。數字圖像只是一個巧妙的手段，輔助學生學習、理解“高等代數”課程?？紤]“高等代數”課程在大一開設的緣故，其初衷永遠讓學生是學懂、學好當下專業(yè)課程，同時為部分希望研究數學的學生提供一定的方向，因此，有合適的其他課程也可以融入教學。

（4）新模式教學要有一定的適應周期，教師必須綜合所有因素（尤其學生情況）考慮是否開展或者如何把握數字圖像知識融入的度。

3.3 結合課程思政和勞動教育

新時代教學發(fā)展，離不開課程思政和勞動教育的主題［8］?！案叩却鷶怠弊鳛橐婚T數學課程，與生活緊密聯系，課程思政和勞動教育兩大元素可以自然地融入。

案例3：“高等代數”有一節(jié)介紹集合與映射的預備知識，集合與映射這兩個概念非常有趣，體現了動靜結合的思想。五育并舉，即德、智、體、美、勞全面發(fā)展。通常，教室的智育學習和戶外的體育學習體現了一靜、一動，而集合體現了靜態(tài)關系（集合的元素具有確定性）；映射體現了動態(tài)特征（映射是一種對應法則）；將集合的元素進行映射（動靜結合）。

映射，有單射、滿射、雙射、非單非滿四種類型。對于社會而言，人才亦如此。每個人競選工作崗位，實現“滿射”，而且是非雙射的滿射，代表獲取心儀的工作。

結語

在信息化發(fā)展的時代背景下，“高等代數”的課程教學也需要與時俱進。本文將矩陣與圖像相聯系，論述了數字圖像融入“高等代數”課程教學模式的實踐探索。針對高等代數概念抽象難以理解等問題，設計精巧適當的教學案例予以輔助，重視知識的與社會實踐相結合，旨在激發(fā)學生的學習興趣，提升創(chuàng)新能力。

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作者簡介：楊天驥（1997— ），男，漢族，江蘇連云港人，碩士研究生，助教，研究方向：代數學、圖像處理等。