劉展鵬 周金宇

（1.鹽城工學(xué)院，鹽城 224000；2.金陵科技學(xué)院，南京 211169）

主題詞：碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料 通用生成函數(shù)法 耐撞性 可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化 非均勻聚類Kriging模型

1 前言

防撞梁在汽車的安全性設(shè)計(jì)中有著重要的地位，汽車防撞梁可以吸收碰撞時(shí)的能量，給予車身緩沖，對(duì)汽車的主體結(jié)構(gòu)起到防護(hù)作用。汽車的碰撞過程是高度非線性的復(fù)雜過程，設(shè)計(jì)變量、隨機(jī)變量與功能函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)之間不存在顯式的函數(shù)關(guān)系式，常用的方法是構(gòu)建功能函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)的代理模型，從而對(duì)汽車耐撞性與安全性進(jìn)行優(yōu)化。眾多學(xué)者以此展開研究，仲偉東等[1]結(jié)合響應(yīng)面模型和多目標(biāo)遺傳算法對(duì)防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。王爽等[2]采用灰色關(guān)聯(lián)及熵權(quán)法對(duì)碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料（Carbon Fibre Reinforced Plastics，CFRP）防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。謝暉等[3]采用響應(yīng)面法和自適應(yīng)模擬退火（Adaptive Simulated Annealing，ASA）算法對(duì)防撞梁進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化。張?chǎng)蔚萚4]采用Hyperkriging模型和遺傳算法對(duì)防撞梁厚度進(jìn)行優(yōu)化。陳靜等[5]通過對(duì)復(fù)合材料防撞梁厚度進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，使得防撞梁質(zhì)量明顯減輕。Belingardi[6]從材料、結(jié)構(gòu)兩方面對(duì)汽車前防撞梁進(jìn)行了優(yōu)化，改善了前防撞梁的吸能效果。曹立波等[7]采用中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和自適應(yīng)響應(yīng)面法對(duì)防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。童小偉等[8]采用Hyperkriging 方法結(jié)合遺傳算法對(duì)碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。王慶等[9]采用Kriging 代理模型方法和遺傳算法對(duì)碳纖維增強(qiáng)樹脂復(fù)合材料防撞梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。Duan[10]等將響應(yīng)面分析法（Response Surface Methodology，RSM）和非支配遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-Ⅱ）相結(jié)合，對(duì)復(fù)合材料防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。Jalauddin[11]等研究不同材料的防撞梁的耐撞性和輕量化程度，最后得出碳纖維增強(qiáng)樹脂復(fù)合材料的耐撞性與輕量化更好。Liu[12]等結(jié)合Kriging近似模型和多目標(biāo)優(yōu)化算法對(duì)防撞梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。J.Hilmann等[13]使用遺傳算法對(duì)防撞梁進(jìn)行低速碰撞研究并對(duì)防撞梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。Simon 等[14]使用LS-DYNA 對(duì)質(zhì)量相同的鋼制和鋁合金制防撞梁進(jìn)行低速碰撞仿真分析，結(jié)果表明鋁合金防撞梁的比吸能更高。上述文獻(xiàn)主要采用傳統(tǒng)的優(yōu)化算法進(jìn)行確定性的優(yōu)化設(shè)計(jì)，但在實(shí)際工程中存在大量的不確定性，所以對(duì)復(fù)合材料防撞梁進(jìn)行碰撞結(jié)構(gòu)可靠性分析十分必要。

本文采用二次樣條曲線對(duì)防撞梁輪廓進(jìn)行描述，輪廓的形狀主要由各個(gè)控制點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行控制，故選取輪廓曲線控制點(diǎn)橫坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量，同時(shí)選取厚度與鋪層角度作為設(shè)計(jì)變量，以此建立數(shù)學(xué)模型。由于目標(biāo)函數(shù)及功能函數(shù)為隱式函數(shù)，故使用有限元建模與代理模型法擬合出顯式關(guān)系式。最后在可靠性分析環(huán)節(jié)引入通用生成函數(shù)（Universal Generating Function，UGF）法，使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。

2 CFRP防撞梁的碰撞RBDO數(shù)學(xué)模型

根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 17354—1998，以防撞梁輪廓曲線控制點(diǎn)橫坐標(biāo)xi（i=1,2）、厚度t以及復(fù)合材料鋪層角度θj為設(shè)計(jì)參數(shù)，以防撞梁碰撞力峰值Fmax作為約束條件，以最大化比吸能ESEA為設(shè)計(jì)目標(biāo)，構(gòu)建防撞梁的碰撞可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)（Reliability-Based Design Optimization，RBDO）RBDO數(shù)學(xué)模型。防撞梁的截面尺寸如圖1所示。

圖1 防撞梁截面

2.1 建立RBDO數(shù)學(xué)模型

為了使數(shù)學(xué)模型的表達(dá)更加清晰，鋪層角度值采用公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將角度值用0，1，2，3來表示。鋪層角度θj可由公式表示為：

式中，xj+3的取值范圍為{0，1，2，3}。

通過式（1）即可轉(zhuǎn)換成鋪層角度的取值。鋪層角度如圖2所示。

圖2 鋪層角度

復(fù)合材料的彈性模量和剪切模量是非常重要的參數(shù)，將彈性模量E1、E2和剪切模量G1、G2設(shè)定為隨機(jī)參數(shù)。假設(shè)各隨機(jī)參數(shù)相互獨(dú)立，其中E1、E2服從正態(tài)分布，G1、G2服從隨機(jī)分布，參數(shù)信息如表1所示。從耐撞性角度考慮，需要防撞梁的總吸能E盡可能大，碰撞力峰值Fmax盡可能?。粡妮p量化角度考慮，需要防撞梁質(zhì)量m盡可能小。因此，為了同時(shí)滿足防撞梁耐撞性以及輕量化的要求，將比吸能ESEA作為優(yōu)化目標(biāo)，以碰撞力峰值Fmax作為約束，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型如下：

表1 隨機(jī)參數(shù)信息表

式中，d為確定性設(shè)計(jì)變量；P=(E1,E2,G1,G2)為隨機(jī)參數(shù)向量；Pr{G(d,P)≤0} 為結(jié)構(gòu)失效概率；Φ()為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，許用可靠度指標(biāo)βT=2；x3為防撞梁厚度。

2.2 耐撞性與輕量化評(píng)價(jià)

通常將吸能量H、比吸能ESEA、碰撞力峰值Fmax、平均碰撞力Fave、防撞梁侵入量D等參數(shù)作為結(jié)構(gòu)耐撞性的評(píng)價(jià)參數(shù)。其中吸能量H是在碰撞過程中，防撞梁變形所吸收的能量，數(shù)值越大，說明防撞梁吸能效果越好；比吸能ESEA為防撞梁?jiǎn)挝毁|(zhì)量的吸能量，為總吸能量與質(zhì)量的比值，優(yōu)化比吸能可以同時(shí)優(yōu)化耐撞性和實(shí)現(xiàn)輕量化，具有重大的意義。碰撞力峰值Fmax是碰撞過程中防撞梁結(jié)構(gòu)所受的最大沖擊力，數(shù)值越小，說明防撞梁所受的沖擊力越小，安全性能越強(qiáng)。

3 CFRP防撞梁碰撞工況有限元仿真

3.1 CFRP防撞梁有限元建模

由于汽車CFRP防撞梁的輪廓曲線為左右對(duì)稱的自由曲線，可用二次B樣條（B-Spline）曲線進(jìn)行描述，用控制點(diǎn)來改變輪廓曲線的形狀。對(duì)B-Spline曲線的描述由MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，二次均勻B-Spline曲線可以表示為：

式中，u為描述曲線的控制點(diǎn)橫坐標(biāo);n為控制點(diǎn)數(shù)量；a、b分別為防撞梁長(zhǎng)度的上、下限；Pi為B-Spline 曲線控制點(diǎn)坐標(biāo)；Ni,p(u)為B-Spline曲線函數(shù)，其中i為樣條曲線基函數(shù)的個(gè)數(shù)，p為樣條曲線的次數(shù)，其表達(dá)式為：

基于上述公式由B-Spline 曲線描述的CFRP 防撞梁輪廓如圖3所示。由圖3可知，OA段由直線構(gòu)成，AC段曲線是由點(diǎn)B控制的二次均勻B-Spline 曲線，BD段曲線是由點(diǎn)C控制的二次均勻B-Spline 曲線，CE段曲線是由D點(diǎn)控制的二次均勻B-Spline 曲線。B、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量中的曲線關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)。

圖3 組合B-Spline曲線

3.2 CFRP防撞梁碰撞工況仿真

當(dāng)前，防撞梁正面碰撞工況仿真模型有2種建模方式：一是將防撞梁進(jìn)行固定，賦予剛性墻一定的速度和質(zhì)量，使剛性墻撞擊防撞梁；二是將剛性墻固定不動(dòng)，使防撞梁以一定的速度進(jìn)行撞擊。由于第2種方案更加貼近實(shí)際的碰撞情況，故本文采用第2種方案進(jìn)行仿真。

將防撞梁以4 km/h的速度撞擊固定的剛性墻，防撞梁與剛性墻的接觸形式為自動(dòng)面面接觸，將靜摩擦因數(shù)設(shè)定為0.3，動(dòng)摩擦因數(shù)設(shè)定為0.2時(shí)模型不會(huì)出現(xiàn)穿透現(xiàn)象[15]。

利用MATLAB 與Ansys 進(jìn)行聯(lián)合仿真，首先在MATLAB中輸入防撞梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)，采用二次B-Spline曲線完成對(duì)防撞梁輪廓曲線的描述，將輪廓曲線的坐標(biāo)以txt格式輸入Ansys進(jìn)行有限元建模。由于Ansys庫(kù)中沒有所需的材料模型，而LS-DYNA的材料庫(kù)較為齊全，所以需在LS-DYNA 中進(jìn)行建模。建模完成后，在LS-PrePost中進(jìn)行碰撞仿真，得到目標(biāo)數(shù)據(jù)后再通過txt格式輸出到MATLAB 中進(jìn)行計(jì)算，最終得到碰撞力和比吸能數(shù)據(jù)。具體有限元碰撞仿真過程如圖4所示。

圖4 有限元碰撞仿真過程

4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法與克里金代理模型

本節(jié)通過拉丁超立方試驗(yàn)法選取樣本點(diǎn)，再通過上節(jié)介紹的CFRP 防撞梁的碰撞工況有限元仿真獲取樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，之后便可通過克里金（Kriging）代理模型來建立目標(biāo)函數(shù)以及功能函數(shù)的代理模型。

4.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

汽車碰撞問題為高度非線性問題，單次的碰撞仿真會(huì)消耗大量的時(shí)間，優(yōu)化設(shè)計(jì)需要多次迭代并調(diào)用仿真數(shù)據(jù)。解決該問題的通常做法是選取適當(dāng)?shù)脑囼?yàn)設(shè)計(jì)方法，在樣本空間中生成足夠的樣本，通過這些樣本得到近似模型，完成優(yōu)化設(shè)計(jì)，而非碰撞仿真。試驗(yàn)設(shè)計(jì)的選擇標(biāo)準(zhǔn)為：生成的樣本足夠多且均勻。最理想的試驗(yàn)設(shè)計(jì)是以較少的樣本點(diǎn)得到較為精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)結(jié)果，多數(shù)學(xué)者在處理碰撞仿真等非線性問題時(shí)，常采用拉丁超立方法。

進(jìn)行n次抽樣，拉丁超立方法將m個(gè)隨機(jī)變量分別等分為n個(gè)區(qū)間，樣本空間即被分為n個(gè)m維區(qū)間。對(duì)于每個(gè)變量，可以保證n次隨機(jī)抽樣分別落在各小區(qū)間，樣本點(diǎn)可等概率地分布到整個(gè)隨機(jī)空間內(nèi)。通過拉丁超立方法生成了120個(gè)數(shù)據(jù)，同時(shí)根據(jù)復(fù)合材料鋪層的鋪設(shè)原則，應(yīng)避免將同一鋪層角度的鋪層連續(xù)放置，一般不超過3層，以避免出現(xiàn)應(yīng)力集中和內(nèi)部微裂紋，根據(jù)此原則對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行刪除。由于篇幅有限僅展示部分結(jié)果，如表2所示。

表2 拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)表

4.2 建立Kriging代理模型

在實(shí)際工程問題中，通常需要使用有限元的方式對(duì)工程進(jìn)行分析，但會(huì)缺少顯式的極限狀態(tài)函數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)，造成可靠度計(jì)算的困難。為解決該問題，需引入代理模型法，常見的代理模型有響應(yīng)面模型、Kriging 代理模型、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等。其中Kriging近似模型有較好的全局?jǐn)M合精度，且考慮了局部偏差，可以較為精準(zhǔn)地?cái)M合變量值與響應(yīng)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，使得優(yōu)化設(shè)計(jì)的計(jì)算成本降低。半?yún)?shù)化的Kriging 模型不需要建立一個(gè)顯式的數(shù)學(xué)模型，相較于參數(shù)化模型，如響應(yīng)面模型，半?yún)?shù)化的Kriging 模型的應(yīng)用更加靈活。

Kriging 近似模型由一個(gè)參數(shù)模型和一個(gè)非參數(shù)隨機(jī)過程構(gòu)成：

式中，F(xiàn)(K)為參數(shù)模型，形式為多項(xiàng)式回歸方程；Z(K)為模型局部偏差的隨機(jī)項(xiàng)，其均值為0，方差、協(xié)方差不為0。

5 RBDO分析

基于前文所得到的數(shù)學(xué)模型和隱式函數(shù)對(duì)CFRP防撞梁進(jìn)行可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化。傳統(tǒng)的可靠性設(shè)計(jì)優(yōu)化問題的本質(zhì)為兩層嵌套的雙循環(huán)優(yōu)化問題，分別為內(nèi)層可靠性分析循環(huán)和外層優(yōu)化循環(huán)?？煽啃苑治龇椒ㄖ饕譃? 類：近似解析法、數(shù)值模擬法和間接代理法。近似解析法包括一階可靠性法、二階可靠性法等，但該類方法具有固有局限性，在進(jìn)行可靠性分析時(shí)精度偏低，當(dāng)隨機(jī)變量為非正態(tài)、功能函數(shù)高度非線性時(shí)，無法得到可行解。數(shù)值模擬法的典型方法有蒙特卡羅模擬法，雖然該方法適用范圍廣、精度高，但在處理小失效概率問題時(shí)計(jì)算成本極高，無法解決大型工程結(jié)構(gòu)中的可靠性分析問題?；谝陨峡紤]，本文將通用生成函數(shù)法引入防撞梁碰撞可靠性分析，在隨機(jī)變量非正態(tài)、功能函數(shù)高度非線性的情況下得到更加精準(zhǔn)的結(jié)果。

5.1 基于UGF的可靠性分析

對(duì)于連續(xù)變量S，假設(shè)其累積分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分別為FS(s)和fS(s),將該變量在其定義域（smin，smax）內(nèi)均勻離散成m個(gè)點(diǎn)，而每個(gè)離散點(diǎn)Si對(duì)應(yīng)的概率值Pi為：

式中，δ=(smax-smin)/m為離散步長(zhǎng)。

通過式（6）計(jì)算可得離散數(shù)據(jù)集{(Si,Pi)|i=1,2,..,m},從而定義連續(xù)型隨機(jī)變量S的UGF為：

式中，US(z)為隨機(jī)變量S的UGF；z為離散后隨機(jī)變量組成的多項(xiàng)式。

對(duì)于擁有n維連續(xù)型隨機(jī)向量S的工程結(jié)構(gòu)，需要在可靠性分析時(shí)根據(jù)式（6）、式（7）獲得S各分量的UGF，記為：

式中，指數(shù)項(xiàng)siji為隨機(jī)變量Si的第ji個(gè)狀態(tài)值；Piji為其對(duì)應(yīng)的概率值。

設(shè)G(S)為工程結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，則G(S)≥0 時(shí)結(jié)構(gòu)可靠，G(S)＜0 時(shí)結(jié)構(gòu)失效。為了獲得結(jié)構(gòu)的總體UGF，需要對(duì)每個(gè)變量的UGF進(jìn)行復(fù)合運(yùn)算，表達(dá)式為：

式中，UG(z)為針對(duì)功能函數(shù)G(S)的結(jié)構(gòu)UGF；?G為復(fù)合算子。

式（9）可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

式中，M為隨機(jī)變量離散狀態(tài)組合總數(shù)。

最后對(duì)UGF 的系數(shù)項(xiàng)求和，即可得到最終可靠度R：

式中，ψ()為條件求和算子；I()為示性函數(shù)，當(dāng)Gi＜0時(shí)取0，否則取1。

5.2 UGF-直接映射方法

RBDO 問題是一個(gè)雙層嵌套問題，針對(duì)RBDO 的求解效率問題，當(dāng)前研究已提出了解耦算法，其思路是將RBDO的嵌套解耦成一系列確定性設(shè)計(jì)優(yōu)化和可靠性分析組成的迭代過程。其代表方法是序列優(yōu)化與可靠性評(píng)估（Sequential Optimization and Reliability Assessment，SORA）方法，通過引入偏移向量使最可能失效點(diǎn)（Most Probable Point，MPP）落在可行域內(nèi)，由于引入了偏移向量，稱為間接映射。采用UGF-直接映射方法[16]，可通過響應(yīng)面模型來擬合設(shè)計(jì)變量與可靠度指標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，避開MPP 且不需要偏移向量。由于SORA 法對(duì)初始偏移向量較為敏感，若不能確定初始偏移向量，則會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果不穩(wěn)定，同時(shí)，基于MPP 來求解初始偏移向量存在原理性誤差，不適用于非正態(tài)變量和非線性極限狀態(tài)問題，故采用UGF-直接映射法可提高求解效率。

UGF-直接映射法的原理為通過構(gòu)建響應(yīng)面模型來擬合設(shè)計(jì)點(diǎn)和可靠度指標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系，生成的函數(shù)定義為指標(biāo)函數(shù)，將指標(biāo)函數(shù)帶入RBDO 的概率約束，將含有概率約束的不確定優(yōu)化轉(zhuǎn)化為確定性優(yōu)化，轉(zhuǎn)化后的UGF-直接映射法的可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可表示為

式中，(d,P)為指標(biāo)函數(shù)；許用可靠度指標(biāo)βT=2。

5.3 非均勻聚類技術(shù)

UGF可靠性分析法將隨機(jī)變量離散化后，需將離散后的狀態(tài)項(xiàng)進(jìn)行狀態(tài)組合，但在實(shí)際工程中隨機(jī)變量較多，會(huì)產(chǎn)生過多的狀態(tài)組合，使功能函數(shù)的評(píng)估次數(shù)隨之增多，導(dǎo)致可靠性分析求解效率極低，此時(shí)可通過非均勻聚類技術(shù)解決此問題。

非均勻聚類算法對(duì)傳統(tǒng)K-均值（K-Means）聚類算法的聚類中心更新策略進(jìn)行了改進(jìn)，提出了簇心概率加權(quán)方法。在可靠性分析中，極限狀態(tài)空間附近的點(diǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)的失效或可靠性分析更加敏感，另外，概率密度大的點(diǎn)對(duì)可靠性分析的結(jié)果影響也較大，基于這兩點(diǎn)對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)，使得數(shù)據(jù)點(diǎn)在極限狀態(tài)曲面附近的同時(shí)也要向概率密度大的區(qū)域集中，可以使需要的設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)量減少且提高可靠性分析的精度。

簇心概率加權(quán)方法的具體操作為：為了考慮概率密度的影響，先對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)概率加權(quán)，即在劃分高維空間坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的簇時(shí)，將同一簇的坐標(biāo)點(diǎn)乘以對(duì)應(yīng)的取值概率，得到坐標(biāo)向量后進(jìn)行求和，所得的向量記作E1。將各坐標(biāo)點(diǎn)的取值概率求和，所得的值為P；為了向極限狀態(tài)空間附近靠近，則對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)的功能函數(shù)值加權(quán)，功能函數(shù)值加權(quán)系數(shù)j為：

然后將同一簇的坐標(biāo)點(diǎn)乘以每個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值加權(quán)系數(shù)，將得到的值進(jìn)行累加，所得的向量記作E2。將各功能函數(shù)值加權(quán)系數(shù)進(jìn)行求和，記作g；最后對(duì)中心點(diǎn)進(jìn)行概率加權(quán)更新：

式中，G為各坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值；B為簇心概率加權(quán)系數(shù)；f為組合系數(shù)，通常取0.3。

具體流程如圖5所示，以本文4個(gè)隨機(jī)變量為例，將各變量離散成20個(gè)狀態(tài)項(xiàng)。通過非均勻聚類算法的兩步聚類，將160 000 個(gè)狀態(tài)項(xiàng)縮減至8 000 個(gè)，在可靠性分析環(huán)節(jié)中，只需對(duì)全空間聚類所得到的8 000個(gè)狀態(tài)項(xiàng)進(jìn)行功能函數(shù)評(píng)估，相比較不使用非均勻聚類方法的160 000 次功能函數(shù)評(píng)估，效率大幅提升。同時(shí)，在進(jìn)行高維聚類時(shí)，通常會(huì)用到大量的多重循環(huán)語句，導(dǎo)致代碼運(yùn)行過慢，針對(duì)這一問題，本文采用矢量化編程技術(shù)來避免大量循環(huán)，從而提高代碼運(yùn)行效率。

圖5 非均勻聚類流程

6 CFRP防撞梁碰撞RBDO流程

在CFRP 防撞梁的RBDO 問題中，設(shè)計(jì)變量為控制點(diǎn)橫坐標(biāo)、防撞梁厚度以及復(fù)合材料鋪層角度。其中控制點(diǎn)橫坐標(biāo)為連續(xù)型設(shè)計(jì)變量，厚度和鋪層角度為離散型設(shè)計(jì)變量，且厚度和鋪層角度要求為整數(shù)，針對(duì)上述的混合整數(shù)非線性優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法無法得到結(jié)果，本文擬采用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化。

6.1 優(yōu)化流程

CFRP防撞梁碰撞結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)具體步驟如下：

a.通過拉丁超立方設(shè)計(jì)方法對(duì)所有設(shè)計(jì)變量進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，生成樣本點(diǎn)；

b.基于生成的樣本點(diǎn)，同時(shí)結(jié)合MATLAB與Ansys的相互調(diào)用進(jìn)行防撞梁的有限元碰撞仿真；

c.基于生成的樣本點(diǎn)，通過MATLAB 與Ansys 計(jì)算相應(yīng)的目標(biāo)值；

d.基于計(jì)算出的目標(biāo)值，通過Matlab 中的Kriging工具箱，即可構(gòu)建有關(guān)目標(biāo)函數(shù)及功能函數(shù)的Kriging代理模型，并驗(yàn)證其精度，若不滿足要求則補(bǔ)充樣本點(diǎn)并回到步驟c，若滿足要求則進(jìn)行下一步；

e.確定初始設(shè)計(jì)點(diǎn)D0，并通過UGF 法求解對(duì)應(yīng)可靠度指標(biāo)；

f.構(gòu)建可靠度指標(biāo)響應(yīng)面。

g.使用遺傳算法計(jì)算當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)Dk，采用非均勻聚類技術(shù)并結(jié)合UGF法計(jì)算對(duì)應(yīng)的可靠度指標(biāo)；

h.驗(yàn)證結(jié)果是否收斂，若不收斂，則將初始設(shè)計(jì)點(diǎn)和當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)合并，返回步驟f，若結(jié)果收斂，則輸出最優(yōu)結(jié)果。

優(yōu)化流程如圖6所示。

圖6 優(yōu)化流程

6.2 結(jié)果對(duì)比

將傳統(tǒng)矩算法、蒙特卡羅法、UGF 法進(jìn)行比較：算法1 為基于FORM 的雙循環(huán)法；算法2 為基于FORM 的SORA法；算法3為UGF-直接映射法，可靠性分析由UGF法計(jì)算；算法4的可靠性分析由蒙特卡羅法計(jì)算；算法5為UGF-直接映射法的變形，優(yōu)化流程中使用了非均勻聚類技術(shù)。算法1與算法2屬于傳統(tǒng)矩算法，算法4屬于蒙特卡羅法，算法3和算法5屬于UGF法。相對(duì)誤差ε為：

式中，β為目標(biāo)設(shè)計(jì)點(diǎn)的可靠度指標(biāo)；βT為許用可靠度指標(biāo)，取值為2。

不同算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表3所示。

表3 不同算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由表3可知，當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)高度非線性及隨機(jī)變量非正態(tài)時(shí)，基于FORM 的雙循環(huán)法、基于FORM 的SORA法無法收斂，UGF-直接映射法、MCS-直接映射法以及基于非均勻聚類算法的UGF-直接映射法的可靠度指標(biāo)均滿足許用可靠度指標(biāo)要求。由于每次迭代過程中，均需對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行調(diào)用計(jì)算，所以可將功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)作為衡量算法效率的指標(biāo)。由此可得，基于非均勻聚類算法的UGF-直接映射法效率最高，普通UGF-直接映射法效率次之，而MCS-直接映射法的效率最低。

7 結(jié)束語

本文對(duì)CFRP 防撞梁進(jìn)行了可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)傳統(tǒng)矩方法、SORA 法、UGF-直接映射法、MCS-直接映射法、結(jié)合非均勻聚類法的UGF-直接映射法進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，傳統(tǒng)矩方法無法收斂；MCS-直接映射法求解精度最高，但計(jì)算成本過高；UGF-直接映射法可以穩(wěn)定收斂，且求解精度較高，計(jì)算成本較小。結(jié)合非均勻聚類法的UGF-直接映射法的精度略低，但求解效率得到了極大提升，在應(yīng)對(duì)更多隨機(jī)變量的RBDO問題時(shí)更加適用。將初始設(shè)計(jì)點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)后可得初始目標(biāo)值為81.22 J/kg，經(jīng)過算法5 的優(yōu)化后得到的目標(biāo)為103.64 J/kg，增幅為21.6%，達(dá)到預(yù)期優(yōu)化效果。關(guān)于樣件試制與試驗(yàn)的問題，劉成龍[17]通過對(duì)復(fù)合材料樣件進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，將計(jì)算試樣的可靠度與理論仿真的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示，理論結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果僅存在6.8%的誤差，可間接驗(yàn)證UGF 的合理性和有效性。但關(guān)于碰撞吸能試驗(yàn)因條件不足，直接驗(yàn)證存在難度，需后續(xù)加以深度研究。