彭加兵,洪榮晶,劉洋河,胡 敏,丁亞凱

(南京工業(yè)大學機械與動力工程學院,南京 211899)

0 引言

大規(guī)格高精度齒輪廣泛應用于船舶、風電齒輪箱、重型機械等高端裝備中,直接影響機械設備的可靠性和平穩(wěn)性。磨齒作為齒輪加工最后一道工序,其精度往往直接決定了齒輪的性能。大型數(shù)控成形磨齒機存在結構尺寸大,行程長、自由度多的特點,使得機床的誤差項眾多[1],機床的幾何誤差、熱誤差、刀具磨損誤差、工件裝夾誤差等都會對齒距精度產生影響[2-3],因此需要通過敏感性分析方法確定出影響齒距精度較大的誤差項,對其進行補償,達到降低齒距誤差的目的。

很多學者對誤差的溯源和補償做了研究。程強等[4]基于多體系理論,通過計算誤差敏感度系數(shù)來識別機床的關鍵性幾何誤差。焦壽峰[5]利用基于經驗模態(tài)分析法對誤差模型進行分析,并對加工誤差進行溯源,通過軟件仿真證明了此方法的可操作性。唐宇航等[6]通過建立五坐標龍門加工中心加工誤差模型,采用蒙特卡洛模擬法識別了影響加工精度的關鍵誤差參數(shù)。LI等[7]以矩陣偏微分方程為基礎,根據(jù)五軸立式加工中心敏感性分析結果對機床進行改進,提高了機床加工精度。武劍等[8]在局部靈敏度分析的基礎上,結合誤差貢獻度判定準則實現(xiàn)了機床關鍵幾何誤差元素溯源。榮茂林等[9]利用Sobol全局靈敏性分析方法對機床的空間誤差建模進行計算,將21項幾何誤差項簡化成12項。黃浩等[10]基于多體系理論,構建了包含幾何誤差的空間位姿誤差模型,采用微分矩陣敏感性分析方法得出了幾何誤差敏感源與配置間的映射關系,可快速對誤差項進行定性判定。GUO、CHENG等[11-12]采用傅里葉幅值靈敏度檢驗擴展法對機床進行敏感性分析,有效識別出關鍵幾何誤差 ,從而提高了機床幾何精度。陽輝等[13]通過討論轉臺的回轉誤差、刀具磨損誤差和機床熱變形誤差對齒距誤差的影響,提出了跨齒加工的加工方法,有效地提高了齒輪齒距類誤差的加工精度。

上述已有研究,分析的目標主要是刀具的空間位姿,或齒面精度,但對于齒距誤差的溯源,國內還鮮有人研究。為此,本文基于多體系理論和空間嚙合原理,建立機床靜態(tài)誤差-齒距誤差的數(shù)學模型,分析機床的45項靜態(tài)誤差對齒距誤差的映射關系,最終通過Morris全局靈敏度分析方法對機床的靜態(tài)誤差進行溯源,可直接辨識出對齒距精度影響最大的誤差項,從而為后續(xù)的補償提供理論基礎。

1 砂輪廓形獲取

1.1 齒面方程建立

由于齒距誤差的評定是在漸開線上進行評價,且對于大型齒輪來說,磨齒往往是加工漸開線部分,故此本文在研究過程中僅僅分析加工漸開線的部分。

對于漸開螺旋面齒輪來說,其特點是端截面為漸開線,如圖1所示。

圖1 漸開螺旋面齒輪端截形

設基圓半徑為rb,齒槽右側的漸開線起點為e,oe與x軸的夾角為σ0(基圓齒槽半角),漸開線上任意一點M的法線與基圓的切點為a,取∠eoa的值u為變量,依據(jù)漸開線的性質,Ma=rbu,故漸開線ef的方程為:

(1)

將漸開線ef繞齒輪的軸線做螺旋運動,即可得到齒輪的右側的螺旋面方程為:

(2)

根據(jù)空間嚙合原理,砂輪與齒輪的接觸線滿足:從刀具座標系的原點Og向螺旋面上的點做徑矢R,如果R和螺旋面上該點處的法線N以及刀具的軸線k′共面,則為螺旋面上的接觸點。其滿足的關系式為:

znx+actgγny+(a-x+Pctgγ)nx=0

(3)

式(3)為關于變量u和θ的一個關系式。

1.2 砂輪廓形方程

圖2為砂輪加工斜齒輪時的接觸示意圖,建立工件坐標系OgXgYgZg,其中Zg軸為齒輪的軸線,Xg軸為均分齒輪齒槽的軸線,Yg軸為垂直于Xg、Yg軸的軸線;砂輪坐標系以Zw軸為砂輪回轉的軸線,Yw軸與Zg軸的夾角為γ(安裝角),Xw軸與Xg軸重合,但方向相反,兩坐標系原點之間的距離為Da。

圖2 成形磨齒坐標系示意圖

使用牛頓迭代法對式(2)和式(3)進行求解,獲得接觸線點集。通過坐標變換將該接觸線由工件坐標系轉到砂輪坐標系,其變換方程為:

(4)

并通過式(5)將其繞砂輪軸線進行回轉即可得到最終砂輪的廓形。

(5)

2 齒距誤差評價模型

2.1 誤差變換矩陣

在磨齒加工的過程中,機床的各項誤差包括幾何誤差、砂輪磨損誤差、熱誤差等最終都會影響砂輪與齒輪的接觸線,將砂輪上的各個點投影至齒輪的端面,得到所加工齒輪的端截形。圖3為在齒輪坐標系中砂輪加工齒輪時的相對位置。

圖3 砂輪與齒輪的相對位置(無誤差) 圖4 砂輪投影與理論齒輪端截形(無誤差)

圖4為不考慮誤差時砂輪投影的端截形和齒輪的端截形,兩者完全重合。

在考慮機床的各項誤差作用下砂輪的位置以及形狀,采用多體系理論的方法將考慮各項誤差影響下的砂輪廓形投影至齒輪坐標系中,表1為在機床加工過程中所需要考慮的各項誤差,主要有:機床的幾何誤差、砂輪的磨損誤差、轉臺的回轉誤差以及工件的安裝誤差等,將表中所示的各項誤差轉變成機床的幾何誤差,通過坐標變換將帶有誤差的砂輪廓形投影至齒輪坐標系中。

表1 機床加工過程中的誤差

圖5為數(shù)控磨齒機的結構示意圖,機床的X、Y、Z、A、C軸各有6個自由度方向的誤差,則由A軸到C軸的坐標變換矩陣為:

圖5 機床結構示意圖

(6)

式中:

式中:εmn表示m軸沿著n方向的角度偏轉,δmn表示m軸沿著n方向的位移變化。

砂輪在加工過程中的磨損Δr可視為定值,則考慮磨損時誤差變換矩陣為:

工件在安裝過程中會產生偏心,將其沿著X和Y方向進行分解,其變換矩陣為:

將上述所有誤差項均考慮在內,建立由刀具坐標系到工件坐標系的變換矩陣:

(7)

使用MATLAB軟件對矩陣進行計算,最終可將考慮誤差的砂輪廓形在齒輪坐標系中進行表示。

將該砂輪廓形投影至齒輪的端面坐標系中,得到如圖6所示的實際齒面端截形和理論齒面端截形。

圖6 砂輪投影與齒輪端截形(考慮誤差)

2.2 單齒距誤差評定

在獲得砂輪投影的端面截形和齒輪理論端面截形以后,求解其與分度圓的交點,將兩交點與齒輪圓心交點連線的夾角求解出,與分度圓半徑相乘即可得到齒距誤差。圖7為齒距誤差評定的示意圖。

圖7 齒距誤差評定

3 敏感性分析

在磨齒加工過程中,會受到眾多誤差項的干擾,且誤差項之間存在耦合效應,將眾多誤差項準確辨識并進行補償是提高磨齒機加工精度經濟、高效的方式。在第2節(jié)中所建立的準靜態(tài)誤差-齒距誤差是一個多輸入單輸出的問題,其中,單齒距誤差fpt作為該模型的輸出項,表1所示的準靜態(tài)誤差作為模型的輸入項(共45項誤差),該模型可簡化為:

fpt=f(G)

(8)

Morris法常用于量化計算輸入?yún)?shù)在全局范圍內對模型輸出的影響程度,Morris法的實現(xiàn)依賴于計算單個參數(shù)的“基本效應”(elementary effect,EE),每次計算時所有輸入?yún)?shù)中僅有某一項取值不同。在基于GE-TSEM進行敏感誤差溯源時,若有xi～Fi(μi,σi),即可采用Fi分布的均值μi和標準差σi作為敏感指數(shù)來量化第i項幾何誤差元素xi相對于齒距誤差的敏感性大小。μi值越大表明xi對齒距誤差的影響越顯著,σi值越大表明xi與其余誤差元素之間的耦合作用越強。此外,考慮到Morris法會產生隨機誤差,在敏感指數(shù)的計算中,需要獨立重復多次求取平均值。

在基于Morris法進行齒面敏感誤差溯源分析時,需要先將每項輸入誤差元素的取值范圍映射到區(qū)間[0,1]中,并等距離散化為{0,Δ,2Δ,…,1},每項誤差元素只能在其間采樣取值。其中,Δ表示采樣間隔,且Δ=1/(q-1),q表示采樣數(shù)。由此,可構造隨機采樣矩陣:

G0=(x1,x2,…,xm)T

(9)

若僅僅使誤差元素xi的取值存在差異Δ,則可根據(jù)下式計算xi的“基本效應”。

基于Morris法計算敏感指數(shù)的具體過程為:

E*=(2S-E)·D*+E

(10)

步驟2:構建幾何誤差向量G*,取值在{0,Δ,2Δ,…,1}中隨機均勻采樣。

(11)

由于D*、G*、P*均為隨機矩陣且相互獨立,因此S*也是隨機矩陣。此外,該矩陣的相鄰兩行之間僅有某項誤差元素取值不同,若某相鄰兩行的第i列對應的誤差元素相差Δ,可計算xi的“基本效應”為:

EEi=[f(x1,x2,x3,…,xi1,…,xm)-
f(x1,x2,x3,…,xi2,…,xm)]/Δ

(12)

步驟4:設定循環(huán)采樣次數(shù)為SN,按步驟1～步驟3多次計算,可得到每項誤差元素的SN個“基本效應”。

步驟5:分析每項誤差元素“基本效應”的分布情況,根據(jù)式(13)計算分布的均值μi和標準差σi,記作誤差元素對齒面誤差的敏感指數(shù)。

(13)

步驟6:根據(jù)敏感指數(shù)比較幾何誤差元素的敏感性強弱,溯源得到敏感誤差。

4 實例計算

在進行靈敏度分析之前,需要對誤差的范圍進行辨識。如圖8所示,使用雷尼紹XM-60激光干涉儀對機床的X、Y、Z三個直線軸進行測量,該激光干涉儀可直接測量出直線軸6個自由度方向的誤差。

圖8 精度測量 圖9 X軸測量結果

圖10 Y軸測量結果 圖11 Z軸測量結果

測量結果如表2所示。

表2 磨齒機運動軸幾何誤差元素辨識

由于在加工時,砂輪的廓形由齒輪的參數(shù)以及加工條件所決定,故在進行仿真計算時,以表3所示的齒輪進行計算。

表3 齒輪參數(shù)

砂輪加工工件時與工件的位置關系為:中心距(Da)為150 mm,砂輪偏轉角(γ)為70°,對于機床直線軸的幾何誤差可參考表3,對于A軸和C軸,可將其直線誤差和角度誤差視為分布在[0,20] μm和[0,20] μrad。運動軸之間的垂直度誤差取值為50 μrad,砂輪的磨損誤差Δr在加工單齒過程中可視為靜態(tài),取值為30 μm,齒輪在裝夾過程中的偏差Δx、Δy取值為20 μm,將各個數(shù)值分別帶入公式中,可獲得對應誤差下的齒距誤差。以45項靜態(tài)誤差所構成的誤差序列為橫坐標,均值效應和標準差效應為縱坐標,繪制齒距誤差的敏感指數(shù)圖,其最終溯源結果如圖12和圖13所示。在橫坐標的誤差序列中,第1～6項為X軸的6項幾何誤差δx(X),δy(X),δz(X),εy(X),εx(X),εz(X);第7～12項為Y軸的6項幾何誤差δx(Y),δy(Y),δz(Y),εy(Y),εx(Y),εz(Y);第13～18項為Z軸的幾何誤差δx(Z),δy(Z),δz(Z),εy(Z),εx(Z),εz(Z);第19～24項為A軸的幾何誤差δx(A),δy(A),δz(A),εy(A),εx(A),εz(A);第25～30項為C軸的幾何誤差δx(C),δy(C),δz(C),εy(C),εx(C),εz(C);第31～33項為機床直線軸間的垂直度誤差Syx、Szx、Syz;第34～37為C軸的安裝誤差δCx、δCy、αCY、βCX;第38～41項為A軸的安裝誤差δAY、δAZ、βAZ、γAY;第42項為砂輪磨損誤差Δr;第43～44項為工件的安裝誤差Δx、Δy;第45項為轉臺回轉誤差Δθ,最終溯源結果如圖12和圖13所示。

圖12 誤差的均值效應 圖13 誤差的標準差效應

由圖12的結果可得出結論:轉臺的回轉角度誤差Δθ對于齒距誤差的影響因素最大,達到了0.097,在實際加工中,也確實如此,因為齒距誤差直接受到轉臺回轉精度的影響,其次是C軸沿著Z方向的偏擺,為0.089。對45項誤差的敏感指數(shù)進行排序,將前7位誤差項列出:Δθ>εz(C)>βa(Z)>εz(X)>Sy(X)>εy(X)>εy(A)。

由圖13可得出結論:Szx與其他誤差項的耦合作用最明顯,其余誤差項中,敏感指數(shù)較大的前7項為:Sz(X)>εz(X)>Δθ>εy(Y)>εx(A)>εx(Y)>εz(C)。

5 結論

通過建立機床靜態(tài)誤差-齒距誤差的多輸入單輸出的誤差模型,使用Morris敏感性分析算法,對45項機床靜態(tài)誤差進行分析,獲得了各個誤差項的敏感指數(shù)。所得結論如下:

(1)偏轉誤差為主要誤差源,對齒距精度具有顯著影響,而直線誤差的敏感系數(shù)均較小。

(2)轉臺的回轉誤差在所有的誤差項中個體效應最明顯,對齒距精度的影響最大。

(3)各運動軸的偏轉誤差以及垂直度誤差與其他誤差的耦合效應較為明顯,在后續(xù)的補償中,需要對其進行解耦分析。

(4)利用本文的誤差溯源模型及算法,可較快地獲得影響齒距精度的誤差項,對于生產實踐具有一定的指導意義。