林新才,張會林,祝童童,張建平

(上海理工大學(xué)機械工程學(xué)院,上海 200093)

0 引言

由于永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有高功率和小體積等優(yōu)點,因此廣泛應(yīng)用在機器人和電動汽車等多個領(lǐng)域[1]。目前PMSM的調(diào)速系統(tǒng)通常采用PI控制器,但PMSM是一個強耦合的多變量系統(tǒng),簡單的PI控制器難以實現(xiàn)電機的高性能控制[2]。因此需要研究更加高效的PMSM控制方案。

滑?？刂埔蚱渌惴ê唵?、魯棒性強等優(yōu)點被廣泛用于改進PMSM的調(diào)速系統(tǒng)[3]。WANG等[4]采用連續(xù)終端滑?？刂聘倪MPMSM的調(diào)速系統(tǒng),使得電機在受到擾動的情況下仍能穩(wěn)定跟蹤轉(zhuǎn)速,但存在奇異現(xiàn)象并且抖振問題沒有得到明顯的改善。陸婋泉等[5]采用飽和函數(shù)替代開關(guān)函數(shù),在一定程度上削弱了抖振,但犧牲了控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和魯棒性。LIU等[6]將自適應(yīng)算法和非奇異快速終端滑模結(jié)合,通過設(shè)計自適應(yīng)率來抵消未知擾動的影響,提升了收斂速度。為了使收斂時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān),有學(xué)者提出了固定時間滑?？刂?fix time sliding mode control,FxTSMC),并且在各領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[7-8]。洪夢情等[9]針對雙臂機器人的軌跡跟蹤問題,設(shè)計了改進的固定時間非奇異終端滑模面與固定時間趨近律,提升了系統(tǒng)的控制性能。

基于擾動觀測器(disturbance observer,DO)的控制方法具有魯棒性強的優(yōu)點,因此被廣泛應(yīng)用。侯利民等[10]采用擴張狀態(tài)觀測器對轉(zhuǎn)速環(huán)和電流環(huán)的總擾動進行觀測,并將前饋補償引入控制器,削弱抖振并提升系統(tǒng)的魯棒性。張會林等[11]將一種分?jǐn)?shù)階滑模觀測器應(yīng)用于負(fù)載轉(zhuǎn)矩的在線辨識,同時結(jié)合轉(zhuǎn)速環(huán)分?jǐn)?shù)階滑?？刂破?提升了PMSM調(diào)速系統(tǒng)抗負(fù)載擾動的能力。

為了提升永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)性和魯棒性,本文提出了一種新型的固定時間滑?？刂品椒?。相比于傳統(tǒng)的滑?？刂破?所設(shè)計的滑?？刂破鞑粌H實現(xiàn)了狀態(tài)變量在固定時間內(nèi)收斂,而且簡化了收斂時間公式,同時還解決了快速響應(yīng)和抑制抖振的矛盾。為了進一步提升系統(tǒng)的魯棒性,本文還采用一種固定時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器對速度控制器的擾動進行前饋補償,在提升系統(tǒng)抗干擾性的同時減小開關(guān)函數(shù)增益。最后,通過仿真對該系統(tǒng)的性能進行驗證。

1 PMSM的數(shù)學(xué)模型與基本理論

1.1 PMSM數(shù)學(xué)模型

表貼式永磁同步電機在d-q同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程為:

(1)

PMSM的電磁轉(zhuǎn)矩方程為:

(2)

式中:ud和uq、id和iq分別為d-q軸的電壓與電流,R為定子電阻,Ld和Lq分別為d-q軸的電感(Ld=Lq=Ls),ωe為電機的電角速度,φf為永磁體產(chǎn)生的磁鏈,pn為磁極對數(shù)。

PMSM的動力方程為:

(3)

式中:J為PMSM的轉(zhuǎn)動慣量,B為摩擦系數(shù),ωm為機械角速度。在電機調(diào)速系統(tǒng)中,常將負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL視為擾動,在此采用d(t)表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩,因此式(3)可變?yōu)?

(4)

1.2 基本理論

引理1:假設(shè)存在一個系統(tǒng),該系統(tǒng)的平衡點為零點,同時針對該系統(tǒng)存在一個徑向無界且正定的Lyapunov函數(shù)V(x)滿足如下關(guān)系:

(5)

證明:假設(shè)有如下微分方程:

(6)

式中:o>0。將式(6)轉(zhuǎn)化為:

(7)

對式(7)兩側(cè)進行積分,可得到該系統(tǒng)的收斂時間函數(shù)為:

(8)

引理2[12]:針對上述系統(tǒng),若存在一個徑向無界且正定的Lyapunov函數(shù)V(x)滿足如下關(guān)系:

(9)

式中:c>0,0

(10)

2 固定時間滑?？刂破鞯脑O(shè)計

不論是傳統(tǒng)的有限時間滑?？刂苹蚴枪潭〞r間滑?？刂?對其收斂時間的分析都較為復(fù)雜,具體體現(xiàn)在:其收斂時間的公式往往由某個或多個復(fù)雜的多項式構(gòu)成,如徐馳等[13]分析的收斂時間公式由3個多項式構(gòu)成,包含12個變量,這些變量會影響調(diào)速系統(tǒng)的抖振,過于復(fù)雜的公式導(dǎo)致研究人員難以在保證收斂時間較小的同時抑制抖振。

因此,針對以上缺點,本節(jié)提出一種新型的固定時間滑模控制器。該控制器由固定時間收斂的滑模面和趨近律構(gòu)成,并通過分析證明,該方法成功解耦了參數(shù)關(guān)系,即收斂時間公式僅為兩個參數(shù)之和,可以在保證收斂時間較小的前提下抑制抖振。

定義PMSM系統(tǒng)的狀態(tài)變量為:

(11)

式中:ωref是電機的給定轉(zhuǎn)速,ωm為實際轉(zhuǎn)速。

為保證狀態(tài)變量x1、x2在滑模面上實現(xiàn)固定時間收斂,由單一參數(shù)進行調(diào)節(jié),同時避免奇異現(xiàn)象的產(chǎn)生,設(shè)計的滑模面為:

(12)

定理1:當(dāng)滑模面S=0時,x1和x2將在固定時間Ts內(nèi)收斂到原點。

證明:考慮當(dāng)S=0時有:

(13)

(14)

當(dāng)S=0時,經(jīng)過變換得到:

(15)

為了避免控制量出現(xiàn)奇異,基于式(15)得到:

(16)

(17)

由式(11)可知:

(18)

結(jié)合式(4)、式(16)和式(18)可知,速度控制器的表達式為:

(19)

定理2:針對PMSM控制模型(4),采用式(19)的控制律,誤差變量x1和x2會在t≤Ts+Tc時間內(nèi)收斂。

(20)

當(dāng)S≠0時,將ξ1和ξ2的狀態(tài)空間分成兩個區(qū)域:

(21)

當(dāng)(ξ1,ξ2)位于R1內(nèi)時,Uι=1,從而式(20)為:

(22)

根據(jù)引理1可知系統(tǒng)狀態(tài)將會在時間Tc內(nèi)到達S=0。

如果(ξ1,ξ2)位于R2,考慮ξ2=0時x2=0,對ξ2進行求導(dǎo),并將式(16)代入可得到:

(23)

綜上可知,系統(tǒng)將會在t≤Tc內(nèi)達到S=0,之后x1和x2會在t≤Ts內(nèi)收斂到0。從而t≤Ts+Tc。定理2得證。

綜上所述,傳統(tǒng)滑?？刂仆ǔＶ苯硬捎盟俣日`差作為滑模變量構(gòu)建滑模面,本文在此基礎(chǔ)上采用嵌套變量,即提取速度誤差x1與x2作為第1層變量。其次在速度誤差的基礎(chǔ)上結(jié)合反正切函數(shù),構(gòu)造第2層變量ξ1和ξ2。采用第2層變量構(gòu)建新型的滑模面S,并在其內(nèi)部引入時間參數(shù)Ts。通過分析可以證明:第1層變量與第2層變量均可以在Ts內(nèi)收斂。此外,滑?？刂频氖諗窟^程分為趨近階段與滑動階段,本文巧妙地通過反正切函數(shù)的有界性設(shè)計了一種新型趨近律,并且通過引理1證明該趨近律的趨近過程滿足固定時間收斂的條件,并且該時間僅由另一個時間參數(shù)Tc表示。因此,相比傳統(tǒng)的收斂時間分析,本文極大地簡化了收斂時間公式。

3 基于擴張狀態(tài)觀測器的擾動估計和補償

由式(19)可知,滑?？刂频目刂坡砂?fù)載擾動項d(t),若采用觀測器觀測負(fù)載擾動并對控制器進行前饋補償,以下兩個問題會影響滑?？刂破鞯男阅?①擾動觀測器的觀測精度;②擾動觀測器的響應(yīng)速度。因此,為了提升控制器的魯棒性,緩解快速響應(yīng)與高頻抖振的矛盾,本文采用固定時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器對負(fù)載擾動進行觀測,并前饋補償至控制器。擴張狀態(tài)觀測器能夠在原控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,將擾動和不確定量作為擴張狀態(tài)進行實時計算,從而精確觀測擾動量。

基于文獻[14],本文采用一種雙冪次固定時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器對擾動量進行在線估計,該觀測器形式為:

(24)

式中:非線性函數(shù)表達式為:

(25)

雙冪次擴張狀態(tài)觀測器的收斂性和上述分析的證明見文獻[14],關(guān)于該觀測器,觀測誤差主要由參數(shù)κ1、κ2、a、b、ε決定。通過調(diào)整ε的大小可以對收斂精度進行調(diào)節(jié),從而達到預(yù)期的觀測效果,使觀測誤差趨近于0。

(26)

4 仿真實驗

為了驗證本文提出的固定時間滑模控制方法的正確性,在Simulink環(huán)境內(nèi)搭建仿真模型,進行仿真實驗。選擇id=0的矢量控制方法,構(gòu)建的永磁同步電機矢量控制模型如圖1所示。該電機的具體參數(shù)如表1所示。

表1 永磁同步電機具體參數(shù)

圖1 PMSM調(diào)速系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

令電機空載啟動,將啟動轉(zhuǎn)速設(shè)定為1000 r/min。圖2比較了3種控制方式的性能。表2給出了3種控制方式性能對比的具體數(shù)據(jù)。

表2 空載啟動時3種控制方式性能對比

(a) 速度波形對比 (b) 電磁轉(zhuǎn)矩波形對比圖2 空載啟動時的3種控制方式性能對比

從圖2可知所提的方法在抑制抖振的同時提高了響應(yīng)速度,降低了電磁轉(zhuǎn)矩的波動。結(jié)合表2可以算出FxTSMC+ESO在空載啟動時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)時間分別是FxTSMC、NFTSMC的75.33%和42.21%;FxTSMC+ESO的轉(zhuǎn)速穩(wěn)態(tài)誤差分別是FxTSMC、NFTSMC的51.21%和38.89%;同理,由圖2和表2可以算出FxTSMC+ESO在空載啟動時的電磁轉(zhuǎn)矩波動分別是FxTSMC、NFTSMC的81.82%和64.29%。

為了驗證所提控制方法在階躍負(fù)載下的控制性能,令電機空載啟動,給定轉(zhuǎn)速為1000 r/min,運行至0.25 s時施加10 N·m的負(fù)載,圖3比較了3種控制方式的性能。表3給出了3種控制方式性能對比的具體數(shù)據(jù)。

表3 階躍負(fù)載時3種控制方式性能對比

(a) 速度波形對比 (b) 電磁轉(zhuǎn)矩波形對比圖3 階躍負(fù)載時的3種控制方式性能對比

從圖3a可知所提的FxTSMC+ESO具有較好的抗干擾性,在加載后能快速地跟蹤指定轉(zhuǎn)速,并且抑制了抖振。結(jié)合表3可以算出FxTSMC+ESO的速度恢復(fù)時間是FxTSMC、NFTSMC的53.23%和38.37%;FxTSMC+ESO在加載后的速度穩(wěn)態(tài)誤差是FxTSMC、NFTSMC的51.1%和40.87%;FxTSMC+ESO的速度掉落是FxTSMC、NFTSMC的40.55%和21%;FxTSMC+ESO在加載時的轉(zhuǎn)矩上升時間是FxTSMC、NFTSMC的41.18%和33.33%;FxTSMC+ESO在加載后的轉(zhuǎn)矩穩(wěn)態(tài)誤差分別是FxTSMC、NFTSMC的80.65%和64.1%。

為了驗證本文采用的擴張狀態(tài)觀測器對控制性能的影響,增加了基于SMO的仿真對比,采用圖3a所示的工況。圖4比較了兩種控制方法方式的性能。表4給出了兩種控制方式的具體數(shù)據(jù)。

表4 階躍負(fù)載時兩種控制方式性能對比

(a) 速度波形對比 (b) 電磁轉(zhuǎn)矩波形對比圖4 階躍負(fù)載時的兩種控制方式性能對比

從圖4a可以看出,由于采用了固定時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器對控制器進行補償,使本文提出的控制器在提升響應(yīng)速度的同時抑制了高頻抖振。結(jié)合表4可以算出FxTSMC+ESO的速度恢復(fù)時間是FxTSMC+SMO的97%;FxTSMC+ESO在加載后的速度穩(wěn)態(tài)誤差是FxTSMC+SMO的75.8%;FxTSMC+ESO的速度掉落是FxTSMC+SMO的52.9%;FxTSMC+ESO的轉(zhuǎn)矩上升時間是FxTSMC+SMO的63.6%;FxTSMC+ESO在加載后的轉(zhuǎn)矩穩(wěn)態(tài)誤差是FxTSMC+SMO的90.1%。

圖5對比了兩種觀測器的觀測性能,從局部放大圖可以看出SMO曲線具有較大的抖振,響應(yīng)時間為0.254 s,且觀測誤差大于0.2 N·m;而ESO較好地抑制了抖振,響應(yīng)時間為0.25 s,且觀測誤差小于0.01 N·m,表明了ESO具有良好的跟蹤性能。

圖5 觀測器性能對比

5 結(jié)論

為了提高永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的動態(tài)性,本文提出一種新型的固定時間滑?？刂品椒?相比現(xiàn)有的滑模控制,該控制方法簡化了收斂時間公式,因此可以在抑制抖振的同時快速收斂。為了進一步抑制抖振,本文在所設(shè)計控制器的基礎(chǔ)上,采用固定時間收斂的擴張狀態(tài)觀測器對速度控制器的擾動進行前饋補償,提升了調(diào)速系統(tǒng)的魯棒性。仿真結(jié)果表明,所提方法有效地提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度,抑制轉(zhuǎn)矩抖振,提高對外部負(fù)載的抗干擾性能。