吳 坤,王明威,周 康

(1.鄭州工商學(xué)院工學(xué)院,鄭州 454000;2.鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院,鄭州 450001)

0 引言

SCARA是現(xiàn)代工業(yè)中廣泛應(yīng)用的一種機(jī)器人,其具有結(jié)構(gòu)緊湊、高速度、高精度等優(yōu)勢(shì),在電子制造業(yè)中被廣泛應(yīng)用,如電子元件的組裝、集成電路封裝等[1-2]。振動(dòng)是影響電子制造產(chǎn)業(yè)SCARA機(jī)器人性能的主要因素,會(huì)降低定位精度、增加定位時(shí)間,從而直接導(dǎo)致所制造產(chǎn)品的質(zhì)量下降和成本增加[3]。因此對(duì)SCARA機(jī)器人振動(dòng)抑制的研究,是提高SCARA機(jī)器人效率和定位精度的一個(gè)重要課題。

運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是減小SCARA機(jī)器人振動(dòng)的有效方法。目前,SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃研究多以基于D-H參數(shù)法的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析為基礎(chǔ),然后結(jié)合MATLAB Robotics和MATLAB/SimMechanics等工具箱進(jìn)行運(yùn)動(dòng)軌跡的規(guī)劃[4-10]。這一類研究多基于剛體模型,僅通過運(yùn)動(dòng)學(xué)分析對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡曲線進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計(jì),能夠在一定程度上改善SCARA機(jī)器人振動(dòng)特性,但是更深層次的振動(dòng)抑制還需要考慮關(guān)節(jié)的柔性,從力學(xué)原理著手展開研究。

柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模的理論基礎(chǔ)[11-13],從動(dòng)力學(xué)模型所采用的廣義坐標(biāo)來分,柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)最常用的兩種表示方法是絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[14]和浮動(dòng)坐標(biāo)法[15]。其中絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法對(duì)構(gòu)件的大變形具有更好的模擬精度,且具有常數(shù)質(zhì)量矩陣和不含科氏力等應(yīng)用優(yōu)勢(shì),但是其廣義坐標(biāo)數(shù)量較多,形成的系統(tǒng)方程組模型較大,需要花費(fèi)大量的求解時(shí)間。浮動(dòng)坐標(biāo)法對(duì)構(gòu)件的小變形具有很好的表達(dá)能力,且使用的廣義坐標(biāo)數(shù)量較少,能夠節(jié)省求解時(shí)間。對(duì)于高速輕載的SCARA機(jī)器人而言,浮動(dòng)坐標(biāo)法具有更好的適用性。

高階多項(xiàng)式曲線在運(yùn)動(dòng)規(guī)劃中具有沖擊小、過渡平滑等優(yōu)點(diǎn),能夠有效減小機(jī)械設(shè)備在運(yùn)動(dòng)過程中的振動(dòng)。林俊享等[16]提出了一種用于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的n階S形曲線構(gòu)造方法,本文基于該方法對(duì)SCARA機(jī)器人進(jìn)行振動(dòng)抑制運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。首先,基于浮動(dòng)坐標(biāo)法建立了考慮關(guān)節(jié)柔性的SCARA機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型;然后,以n階S形曲線為基礎(chǔ),建立了SCARA機(jī)器人抑振運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題的多目標(biāo)優(yōu)化模型;最后,采用基于Kriging模型的NSGA-Ⅱ算法對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解,得到更符合工程應(yīng)用需求的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方案。本文從動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃模型、優(yōu)化模型快速求解等方面建立了SCARA機(jī)器人振動(dòng)抑制運(yùn)動(dòng)規(guī)劃的方法體系,為SCARA機(jī)器人的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。

1 SCARA機(jī)器人簡(jiǎn)化浮動(dòng)坐標(biāo)法模型

圖1 SCARA機(jī)器人原理模型

(1)

為更精確地對(duì)關(guān)節(jié)變形量進(jìn)行分析,根據(jù)浮動(dòng)坐標(biāo)法原理取θ1、Δ1、θ2、Δ2為SCARA機(jī)器人的廣義坐標(biāo),記廣義坐標(biāo)向量為:

q=[q1q2q3q4]T=[θ1Δ1θ1Δ1]T

(2)

SCARA機(jī)器人的平面簡(jiǎn)化模型如圖2所示,圖中o-x-y為慣性坐標(biāo)系,ci,(i=1～4)各輸入、輸出端的質(zhì)心,ci-xi-yi為對(duì)應(yīng)的連體坐標(biāo)系。設(shè)mi和Ji分別為對(duì)應(yīng)部分的質(zhì)量和關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,ri為ci的位置矢量,其中r1為固定值。設(shè)大、小臂的臂長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1和L2,其質(zhì)心到對(duì)應(yīng)根關(guān)節(jié)中心的距離分別為h1和h2,由幾何關(guān)系可以求出其他幾個(gè)質(zhì)心的位置矢量為:

圖2 SCARA機(jī)器人平面簡(jiǎn)化模型

(3)

(4)

(5)

另外,小臂末端的位置矢量為:

(6)

對(duì)位置矢量求導(dǎo)可得質(zhì)心的速度矢量,將其組裝得:

(7)

式中:

(8)

式中:

si=sin(θi+Δi)
ci=cos(θi+Δi) (i=1,2)

(9)

基于上述運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,設(shè)兩個(gè)關(guān)節(jié)的柔性環(huán)節(jié)的剛度分別為k1和k2,qi上作用的力矩為Qi,則由拉格朗日方程可得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為:

(10)

式中:

(11)

(12)

(13)

Q=[Q1Q2Q3Q4]T

(14)

式(11)和式(12)中:

(15)

(16)

式中:

(17)

2 抑振運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

2.1 n階S形曲線構(gòu)造

工程上常用二階S形曲線和三階S形曲線進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃,分別能夠獲得連續(xù)的速度和加速度。為得到更好的光滑性,林俊享等[16]提出一種n階S形曲線的構(gòu)造方法,現(xiàn)將其構(gòu)造過程簡(jiǎn)述為:

一條完整的n階S形曲線包含ns=2n-1個(gè)分段,每個(gè)分段都可以表達(dá)為n階多項(xiàng)式Si(t),(i=1,2,…,ns),其表達(dá)式為:

Si(t)=ai,0+ai,1t+ai,2t2+ai,3t3+…+ai,ntn

(18)

式子:ai,0,ai,1,ai,2,…,ai,n表示第i段曲線表達(dá)式的待定系數(shù),t為時(shí)間。n階S形曲線將運(yùn)動(dòng)的時(shí)間區(qū)間劃分為ns個(gè)分段,因此有ns+1=2n個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn),記為ti,(i=0,1,…,ns),則時(shí)間區(qū)間[ti-1,ti],(i=1,2,…,ns)即為第i段n階S形曲線所對(duì)應(yīng)的分段,區(qū)間長(zhǎng)度記為Δti=ti-ti-1。

第i段曲線表達(dá)式Si(t)及各階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為:

(19)

n階S形曲線為2n-1段為n次多項(xiàng)式的表達(dá)式,每一分段表達(dá)式包含n+1個(gè)待定系數(shù),總待定系數(shù)個(gè)數(shù)為:

nv=(2n-1)(n+1)

(20)

因此需要構(gòu)造nv個(gè)方程用于確定nv個(gè)待定系數(shù)。方程的構(gòu)造方法為:

(1)初始條件。n階S形曲線在t0時(shí)刻0～n-1階導(dǎo)數(shù)均為0,共計(jì)n個(gè)方程,即:

(21)

(2)終止條件。n階S形曲線在tn時(shí)刻函數(shù)值為確定的行程s,第1～第n-1階導(dǎo)數(shù)為0,共計(jì)n個(gè)方程,即:

(22)

(3)連續(xù)性條件。n階S形曲線的0階導(dǎo)～(n-1)階導(dǎo)在每個(gè)中間時(shí)間節(jié)點(diǎn)處應(yīng)當(dāng)是連續(xù)的,共計(jì)(2n-2)×n個(gè)方程,即:

(23)

(4)特殊條件。n階S形曲線的2階導(dǎo)～n階導(dǎo)需要滿足的特殊約束條件,在某些曲線段恒等于0,而這些曲線段的索引存在一定的規(guī)律。可以通過二階S形曲線、三階S形曲線和四階S形曲線中2階導(dǎo)～n階導(dǎo)恒等于0的曲線段索引的規(guī)律進(jìn)行歸納,得到n階S形曲線應(yīng)滿足的特殊條件為:

(24)

上述4類條件得到的總方程數(shù)為:

n+n+(2n-2)×n+2n-n-1=(2n-1)(n+1)

(25)

與待定系數(shù)個(gè)數(shù)相同,因此聯(lián)立以上各方程,即可求得各分段的待定系數(shù)xi。

由上述構(gòu)造過程可知,n階S形曲線的參數(shù)包括行程s和時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti,(i=1,2,…,ns)。為便于確定參數(shù)的取值范圍,使用時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度參數(shù)Δti代替時(shí)間節(jié)點(diǎn)參數(shù)ti,n階S形曲線可以記為:

S(t)=Sn(t,s,ΔT)

(26)

式中:ΔT=[Δt1Δt2… Δtns]。

2.2 運(yùn)動(dòng)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型

在第1節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型中,θ1和θ2為驅(qū)動(dòng)自由度,設(shè)SCARA機(jī)器人的末端目標(biāo)位置為rt,則根據(jù)式(6),由re=rt可求得θ1和θ2的目標(biāo)值,記為s1、s2。因此,SCARA抑振運(yùn)動(dòng)規(guī)劃可簡(jiǎn)單表述為:已知SCARA機(jī)器人末端的目標(biāo)位置rt和對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移目標(biāo)值s1、s3,尋找合適的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃曲線θ1(t)、θ2(t),使得SCARA獲得最佳的工作性能。同時(shí)考慮SCARA機(jī)器人的末端定位時(shí)間和受到的沖擊,采用四階S形曲線對(duì)θ1(t)和θ2(t)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)規(guī)劃,構(gòu)造如下抑振運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題的多目標(biāo)優(yōu)化模型:

(1)設(shè)計(jì)變量。取θ1(t)和θ2(t)的時(shí)間區(qū)間參數(shù)ΔT1、ΔT3為設(shè)計(jì)變量,對(duì)于四階S形曲線,ΔT1和ΔT3中各包含了15個(gè)分量,對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃為:

θ1(t)=S4(t,ΔT1,s1)
θ2(t)=S4(t,ΔT3,s2)

(27)

(2)目標(biāo)函數(shù)。為同步優(yōu)化SCARA機(jī)器人的定位效率和受到的沖擊,選取末端定位時(shí)間和加速度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)。設(shè)定位精度為ε,則定位時(shí)間可用公式表達(dá)為:

(28)

末端加速度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可表達(dá)為:

(29)

(3)約束條件。兩個(gè)驅(qū)動(dòng)自由度的速度、加速度、急動(dòng)度及急動(dòng)度導(dǎo)數(shù)均不能超過給定的最大值,對(duì)應(yīng)為vm、am、jm、dm,因此,約束條件可以表達(dá)為:

(30)

綜上所述,SCARA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為:

(31)

求解式(31)時(shí)需要進(jìn)行大量的動(dòng)力學(xué)仿真分析,計(jì)算效率較為低下。因此,本文采用基于Kriging代理模型的NSGA-Ⅱ算法對(duì)式(31)進(jìn)行求解,通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的Kriging模型代替原函數(shù),提升優(yōu)化過程的計(jì)算效率。

3 仿真驗(yàn)證

SCARA機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示,目標(biāo)位置與運(yùn)動(dòng)學(xué)約束等優(yōu)化參數(shù)如表2所示,目標(biāo)位置為rt=[0.3 0.4]T,對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位移為Q1=0.453 8 rad,Q2=1.317 1 rad,機(jī)械臂末端的定位精度取為ε=1×10-9m。

表1 SCARA機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 SCARA機(jī)器人末端目標(biāo)位置及運(yùn)動(dòng)學(xué)約束參數(shù)

調(diào)用MATLAB軟件的“gamultiobj”函數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃問題式(31)進(jìn)行求解,算法的參數(shù)設(shè)置如表3所示。為便于對(duì)比,采用工程中廣泛應(yīng)用的三階S形曲線構(gòu)造與式(31)類似的多目標(biāo)優(yōu)化問題并進(jìn)行求解。三階S形曲線和四階S形曲線得到的Pareto前沿分別如圖3和圖4所示,對(duì)應(yīng)的優(yōu)化目標(biāo)和約束函數(shù)值分別如表4和表5所示,表中obj-1為定位時(shí)間,obj-2為末端加速度的時(shí)間導(dǎo)數(shù),con-1、con-2、con-3分別為關(guān)節(jié)1的速度、加速度、急動(dòng)度約束,con-4、con-5、con-6分別為關(guān)節(jié)2的速度、加速度、急動(dòng)度約束。

表3 多目標(biāo)優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置

表4 三階S形曲線優(yōu)化目標(biāo)與約束函數(shù)值

表5 四階S形曲線優(yōu)化目標(biāo)與約束函數(shù)值

圖3 三階S形曲線Pareto前沿 圖4 四階S形曲線Pareto前沿

由表4和表5數(shù)據(jù)可以看出,三階S形曲線和四階S形曲線得到的Pareto前沿都滿足約束條件。從定位時(shí)間來看,三階S形曲線的最優(yōu)解為0.340 3 s,略少于四階S形曲線的最優(yōu)解0.349 0 s,定位時(shí)間的最大值和平均值方面也是三階S形曲線的結(jié)果略優(yōu)。從機(jī)器人受到的沖擊來看,三階S形曲線的最優(yōu)解為510.083 6 m/s3,遠(yuǎn)大于四階S形曲線的最優(yōu)解156.066 1 m/s3。從沖擊的最大值和平均值來看,也是本四階S形曲線勝出。

分別取三階S形曲線和四階S曲線的最短定位時(shí)間解進(jìn)行仿真分析,得到的關(guān)節(jié)變形量、末端定位過程和受到的沖擊分別如圖5～圖7所示。由圖5可知由于關(guān)節(jié)柔性的存在會(huì)導(dǎo)致一定的變形量,三階曲線和四階曲線得到的變形量大致相當(dāng),其中關(guān)節(jié)1的最大變形量約為關(guān)節(jié)2的2倍。由圖6可知,三階S形曲線和四階S形曲線都能使SCAARA機(jī)器人準(zhǔn)確定位到目標(biāo)位置,其中四階S形曲線引起的殘余振動(dòng)遠(yuǎn)小于三階S形曲線。由圖7可知,三階S形曲線引起了數(shù)值較大的高頻沖擊,而四階S形曲線引起的沖擊數(shù)值較小,頻率也較低。

圖5 關(guān)節(jié)變形量曲線 圖6 末端定位過程曲線

圖7 末端沖擊曲線

4 結(jié)論

本文建立了用于振動(dòng)分析的SCARA機(jī)器人簡(jiǎn)化浮動(dòng)坐標(biāo)法動(dòng)力學(xué)模型,并利用n階S形曲線和基于Kriging模型的多目標(biāo)優(yōu)化方法對(duì)其進(jìn)行振動(dòng)抑制運(yùn)動(dòng)規(guī)劃。數(shù)值仿真結(jié)果表明,相比于三階S形曲線,四階S形曲線能夠更有效地減少SCARA機(jī)器人運(yùn)行過程中的沖擊,從而實(shí)現(xiàn)更加平滑的運(yùn)動(dòng)過程,達(dá)到振動(dòng)抑制的目的。定位時(shí)間方面,四階S形曲線比三階S形曲線沒有明顯的增加,由此可見四階S形曲線在定位效率和振動(dòng)抑制方面具有性能上的優(yōu)越性,在工程中具備廣泛的應(yīng)用價(jià)值。