■陶江華

2023 年高考對三角函數的考查主要圍繞“三角函數的圖像與性質”展開,考查重點為函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、圖像變換和零點,并常與三角恒等變換交匯命題。

聚焦1:三角函數的周期性和對稱性的應用

例1 (2023年高考全國卷)若f(x)=為偶函數,則a=____。

解:函數f(x)=x2+(a-2)x+1+cosx為偶函數,其定義域為R。因為偶函數+偶函數=偶函數,余弦函數y=cosx為偶函數,所以二次函數y=x2+(a-2)x+1為偶函數,所以a-2=0,可得a=2。

體驗:f(x)為奇函數?f(x)的圖像關于原點對稱,f(x)為偶函數?f(x)的圖像關于y軸對稱。如果函數f(x)是偶函數,那么f(x)=f(|x|)。既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型,即f(x)=0,x∈D,其中定義域D是關于原點對稱的非空數集。

聚焦2:三角函數在區(qū)間上的單調性和最值

例2 (2023年高考上海卷)已知a∈R,記y=sinx在[a,2a]上的最小值為sa,在[2a,3a]上的最小值為ta,則下列情況不可能的是( )。

A.sa>0,ta>0 B.sa<0,ta<0

C.sa>0,ta<0 D.sa<0,ta>0

解:由給定區(qū)間,可知a>0。作出函數y=sinx的部分圖像,如圖1所示。

圖1

區(qū)間[a,2a]與區(qū)間[2a,3a]相鄰,且區(qū)間長度相同。

結合選項可得,不可能成立的是sa<0,ta>0。應選D。

體驗:本題主要考查正弦函數在所給相鄰區(qū)間上的單調性和值域。

聚焦3:利用三角換元法和輔助角公式求最值

例3 (2023 年高考全國卷)已知實數x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是( )。

體驗:本題的實質是點在圓上運動求點的橫、縱坐標的差的最值。上述解法是通過三角換元,結合余弦函數的有界性求解的。

聚焦4:三角函數的探索性問題

例4 (2023 年高考北京卷)已知函數

(2)因為f(x)=sinωxcosφ+cosωx·sinφ,所以f(x)=sin(ωx+φ),所以f(x)的最大值為1,最小值為-1。

選擇條件①。因為f(x)=sin(ωx+φ)的最大值為1,最小值為-1,所以2無解,條件①不能使函數f(x)存在。

體驗:本題主要考查三角函數的圖像與性質的應用,考查運算求解能力。