■吳 艷

三角函數(shù)中的公式較多,應(yīng)用比較靈活,不少同學(xué)由于公式使用不當(dāng),常常陷入復(fù)雜的運(yùn)算中。在解答某些三角函數(shù)問(wèn)題時(shí),若能仔細(xì)觀察題目,注意與已知條件的聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化,采用整體思想進(jìn)行求解,往往能起到很好的效果。

應(yīng)用1:整體思想在姊妹關(guān)系sinx±cosx,sinxcosx 中的應(yīng)用

解:由(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2=2,直接使用整體思想求解。

提 升:已 知sinx±cosx的 值,求sinxcosx或cos2x的值時(shí),可利用(cosα+sinα)2+(cosα-sinα)2=2,結(jié)合cos2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)求解,凸顯整體思想在姊妹關(guān)系sinx±cosx,sinxcosx中的應(yīng)用。

應(yīng)用2:整體思想在三角函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

提升:解答這類問(wèn)題,可通過(guò)誘導(dǎo)公式或三角恒等變換,將其轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式,結(jié)合正余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解。

應(yīng)用3:整體思想在三角函數(shù)的最值或值域中的應(yīng)用

例3 函數(shù)y=-sin2x+4cosx-6 的值域是( )。

A.[2,10] B.[0,10]

C.[- 2,10] D.[-10,-2]

解:由sin2x+cos2x=1,可得y=-sin2x+4cosx-6=cos2x+4cosx-7。令cosx=t,則t∈[-1,1],所以原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(t)=t2+4t-7。

因?yàn)槎魏瘮?shù)f(t)=t2+4t-7關(guān)于直線t=-2 對(duì)稱,且圖像的開口向上,所以函數(shù)f(t)=t2+4t-7在t∈[-1,1]上單調(diào)遞增,所以ymin=f(-1)=(-1)2+4×(-1)-7=-10,ymax=f(1)=12+4-7=-2,所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-10,-2]。應(yīng)選D。